2026年冀教版七年级数学下册题型归纳 第六章 二元一次方程组（单元复习 3个知识点 9类题型突破）原卷版

第六章二元一次方程组

01思维导图

1二元一次方程组定义

二元一次方程（组）定义z二元一次方自组定义

3.二元一次方程（组）的解

二元一次方程组“二元-次方叫依人消元法

2力口成骨元法

解题步舞

二元一次方程（组）应用的

2尊公式

02知识速记

【知识点01】二元一次方程（组）定义

1.二元一次方程组定义

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是I的方程，叫做二元一次方程.

2.二元一次方程组定义

方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是1，并且•共有两个方程，像这样的方程组叫

,+J=2,

做二元一次方程组.如：把x+>=2和厂产0合在一起写成V-J=°,

3.二元一次方程（组）的解

（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

【知识点02】解二元一次方程组

C）消元思想

二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的

一元一次方程，我们可以先求出•个未知数，然后再求另一个未知数.像这种将未知数的个数由多化少、

逐一解决的思想，叫做消元思想.

（2）代入消元法

把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现

消元，进而求得这个二元•次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

（3）加减消元法

当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减,

就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

【知识点03】二元一次方程（组）应用的

一.解题步骤

1.审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；

2.设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数：

3.列代数式和方程绢：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据撅中给出的等品关系列出方程

组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；

4.解方程组；

5.检验：检验方程的根是否符合题意；

6.作答：检验后作出符合题目要求的答案.

二、基本公式

利润

单价x数量=总价利润=实际售价-成本实际售价=标价（原价）x折扣利润率=成本xlO（J

03题型归纳

题型一二元一次方程（组）的概念

例题：（24-25九年级上•吉林长春•期末）下列算式中，是二元一次方程的是（）

5_5

A.1+17=JB.

23

r（2x+l）（r-2）-2x+6r.i5=0

巩固训练

1.（24-25八年级上•广东佛山•期中）下列是二元一次方程的是（）

2.（24-25八年级上•四川成都•期中）下列方程组是二元一次方程组的是（）

4x-y=-2GJ'=lfr-x-2=0

2r+1

A.L-B.G+『=0c,W=D,U'=

fl1.

3.（23-24七年级下•河北石家庄•期中）在方程组卜+方=3、1「=1、［x+j=l、l3j-x=l

"j=5

J=7十二中，是二元一次方程组的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

题型二二元一次方程（组）的解

例题：（23-24七年级F・河北保定•期末）下列x和y的值不符合二元一次方程=°的是（）

巩固训练

1.（23-24七年级下•浙江宁波•期末）下列各组数是二元一次方程小十1=5的解的是（）

2.（23-24七年级下•河南濮阳・期中）若匕=-1是二元一次方程组的解，则这个方程组是（）

r-3r=5(y=r-3户-J=5x=2y

2-J=5B.L-c.h+J=iD.b=3r+l

fv=-lfx=lfx=3

3.（23-24七年级下•北京海淀•期末）已知1r=3,L'=2,是二元一次方程I+?J=5的三个

r=-1fx=lfx=3[x+2j-5

解，17=-2,lr=2,口=6是二元一次方程2\・『・°的三个解，则二元一次方程组的解是

3二

题型三写出二元一次方程的正整数解

例题：（24-25八年级上•重庆长寿•阶段练习）二元一次方程入+才・16的正整数解为.

巩固训练

1.（24・25七年级上•湖南衡阳•阶段练习）二元一次方程公+『=10共有一组正整数解.

2.（23-24七年级下•全国・期末）写出二元一次方程2"J=5的一个正整数解_.

3.（23・24七年级下•广西桂林•开学考试）二元一次方程3x+〉'=18的所有正整数解为

题型四解二元一次方程组

例题：（24-25八年级上•山东青岛•期末）解方程组

2K+3J=0

3x-y=ll

(i)

0.2r+0.3y=-

(2)-

巩固训练

1.（24-25八年级上•甘肃张掖・期末）解方程组

px+3j=16®

（I卜一2j=l②，

x--y-6①

■

（2）（3K+2J=5®

2.（24-25八年级上•宁夏银川•期末）解方程组：

r-2r=0

（l）13x+2j=8

3x-2（y-l）=ll

⑵143

3.（2024八年级上•全国•专题练习）用加减法解下列方程组

尸丁=1

⑴W+3J=16

'2a-3d=4

一%

（2）123

4.（24-25八年级上•内蒙古包头•期末）解方程组：

3r+4j=2

小2x-r=5

x+1_J'+1

1

题型五构造二元一次方程组求解

例麟（23-24七年级下•全国・单元测试）若W+2h7+5・3”+4y・0,则用♦〃的值为—.

巩固训练

1.（23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如果“与・4/丁”是同类项，那么口“二

2.（22-23八年级上•河南鹤壁•开学考试）在方程）・a+匕中，当“5时，J・6；当X,-3时,

当X=1时，求》的值是

4+bj=qJx=3J4.r+4bj=q_2q

3.（23.24七年级下•湖南•期中）已知方程组〔外1+匆'=0的解是L'=8,则方程组13（+4匆'=6一匕

的解是.

题型六二元一次方程组■同解问题

r-2j=-l|\+j=）符

<<

例题：（23-24七年级下•新疆喀什・期末）已知方程组+和b'"T=-的解相同，则

M-HJ-.

巩固训练

f4r-y=5J3x+y=9

1.（23-24七年级下•重庆万州・期末）若关于x,歹的方程组3+才=2和1取+卬=8的解相同，则

3fl-2b-*

r-2j«-1fr+r=?w

2.（23-24七年级下•全国•期末）已知关于x,y的二元一次方程组卜+和U-J=2的解相同，则

J2x-j=-4阿-妙=一］

3.（23-24七年级下•河南许昌•期末）若关于的二元一次方程组1公+为'=7和Ix+2j=3的解相同，

则为+。・—.

2r-3j=3仅7口+和=3

4.（23-24七年级下•江苏南通・期中）已知关于x7的方程组〔.+4r=T和5+27=11的解相同，则

（加+〃产的值为—.

题型七二元一次方程组■错解复原问题

例题：（24-25八年级上•贵州・期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应

的任务：

2x-y=40

解方程组：H-4J=192

解：①、3,得6x-3j=12③第一步

②■③，得-7j・7,第二步

『'T；第三步

=3

将7代入①，得第四步

卜=彳3

所以，原方程组的解为1r=T第五步

任务一：①这种求解二元一次方程组的方法叫做法，②第步开始出现错误；

任务二：请解该方程组.

巩固训练

-4r+7j=-190

I.(24-25七年级下•全国•期中)下面是两名同学解方程组［一公-»=172时的不完整的解题过程：

甲同学：①-②，得2』=一36,

二J=-18

乙同学：由①，得4K・7『+19,③

将③代入②，得-7j+19-5j・17,

1

(1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因.

(2)请你改正并完善两名同学的解题过程.

2.(2024七年级上•全国•专题练习)在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组

=①

5K-J=5②，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组.小丽和小华解方程组的部分过程如下表：

小丽：②-①，得3K・6

小华.由②得③，把①代入③，得3r-(-l)・5

(1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程，小华的过程；(填“正确

或“不正确”)

,3x-2j=l

(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组t6x-3j=13.

，2r-r=50

3.(24-25八年级上•山西太原•阶段练习)课上同学们用代入消元法解二元一次方程组l&r-tr=九②下

面是两位同学的解题思路，请你认真阅读并完成相应的任务.

小彬：由①，得『=______(3)小颖：由①，得2K=____,③

将③代入②，得…将③代入②，得…

任务：

(1)按照小彬的思路，第一步要用含r的代数式表示J,得到方程③，即『=；

第二步将③代入②，可消去未知数・r.

(2)按照小颖的思路，第一步要用含F的代数式表示得到方程③，即上=

第二步将看作整体，将③代入②，可消去未知数L

(3)按你从以上两种思路中任选一种求此方程组的解.

题型八二元一次方程组应用古代问题

例题：（23-24八年级上•山西运城・期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指

算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头

一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如

果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题.

程大位

巩固训练

1.（23・24七年级上•陕西西安•期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共

车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人

共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

2.（22-23七年级上•云南昆明•期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统

的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算.其中有这

样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个

和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完.试问大、小和尚各多少人？

3.（23-24八年级上•山东青岛・期末）解方程

i+J=5①

⑴®-J=4②

（2）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如:

,从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数

项，即可表示方程工+%=23,以此方式IUUU---------------------------吧J,表示的方程是.请将这

两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解.

4.（23-24七年级下•吉林松原•期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九

两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金儿何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2

头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”

根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用II两银干买牛和羊（要求既有牛也有羊，口银两须全部用完）,请你为商