湖南2025-2026学年高二年级下册期中考试数学试卷（试卷+解析）

雅礼中学2026年上学期期中考试试卷

高一新学

时量：120分钟分值：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合[={xeZ|x（x_3）<0},8={x|xW—l或x>2},则力八（针）=（）

A.（0,2]B.（2,3）C.[1,2]D.{1,2}

2.下列命题是真命题的是（）

A.VxGR,X2+x>0;

B.R,x2<x;

C.XEQ是xcZ的充分不必要条件；

D.x>3是x>2的必要不充分条件.

3.已知随机变量X~N（l,cr2）,且P（X〉2）=0.2,则尸（0<XWl）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方

式，并制作出如等高条形图：

现金支付手机支付男生女生

匚二）男生女生匚二I现金支付匚二1手机支付

根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）

A.样本中多数男生喜欢手机支付

B.样本中的女生数量少于男生数量

C.样本中多数女生喜欢现金支付

D.样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量

5.已如数列.〃J是首项为1,公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（）

[2〃+lJ[qj

6.若存在xw（-2,-1）,使得不等式/一履+2＞。成立，则实数〃的取值范围为（）

C.(-3,+co)

7.己知P是抛物线上任意一点，点尸在％轴上的射影为点〃，点/的坐标为（12,6）,则

|21|+|尸"|的最小值是（）

8.已知函数/（x）=xcosx-〃sin2x,若当x£（0,二）时，/（x）＞。，则。的最大值为（）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.小张同学对具有线性相关的两个变量x和V进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得

这组数据拟合出的y关于X的经验回归方程为夕=0.65'-1.8,若Q,h,C成等差数列，则（）

.V4681012

ya2bc6

A.变量x与夕的样本相关系数厂＞0B.b=3

C.当x=6时，残差为—0.1D.当x=20时，V的预测值为11.3

10.已知在+的展开式中，第3项的二项式系数与笫5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有

A.〃=8B.第4项的二项式系数最大

C.f的系数为60D.展开式各项系数之和为64

11.下列说法正确的有（

A.4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种

B.4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种

C.盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直

7

到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是正

D.把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记X为装有球的盒子的个数，则X的期望值为E（X）=^

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知Q＞0,/）＞0»—I—=1＞则。+力的最小值是______.

ab

13.若命题“3r£R,x2+x-〃7＜0”为假命题，则实数〃，的取值范围是.

22

14.已知双曲线。：，一£=1（4＞（）力〉o）的左、右焦点分别为耳，死，过耳作直线/垂直于双曲线的

一条渐近线，直线/与双曲线的两条渐近线分别交于4B两点.若羽=3用，则双曲线。的离心率e

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.若函数/（可=如一欣.

（1）当〃=2时，求函数/（x）在点（1,7（1））处的切线方程；

（2）已知。（。为自然对数函数的底数），若/‘（X）在区间（Qe］上的最小值为3,求实数。的值.

16.如图所示，己知多面体48COK夕中，是正方形，"_L平面N8C。，~DE=-AP.

2

（1）证明：C£7/平面48；

（2）设43=4尸=2,求平面8PC与平面PCE的夹角.

17.随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.

（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方

式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取10（）名市民进行调杳，并对他们选择新能源汽车，还

是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：

选择新能源汽车选择传统汽车总计

40岁以下7030100

"岁及以

4060100

上

总计11090200

（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为P,求P的估计值；

（i：）依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.

（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽

车销售量j（单位：万台）关于年份”的线性回归方程j=4.7x-9495.2,且销售量歹的方差为

｛二50,年份x的方差为4二2.求N与x间的样本相关系数〃，并据此判断该地区新能源汽车销售量>与

✓**

年份X的线性相关性强弱.

附：⑴在线性回归方程3=嬴+，中,

若|r|>0.9,则可判断V与x线性相关性很强;

n(ad-bc)2

(i:i)其中〃=a+b+c+d.

(o+b)(c+d)(a+c)(b+")

a0.10.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

18.雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答

错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为答错的概率为!，且每道题答对与否互不影响.

33

（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；

（2）设小王答4道题后积分为X,求E（X）；

（3）若小王一直答题，直到积分为。或12时停止，记小王的积分为，（，=（）,1,2,…,12）时，最终积分为

12的概率为邛，请直接写出兄和0的值，并求出《的值.

22

19.已知椭圆。：二+==1的右顶点为。（2,0）,离心率为;，过。的左焦点尸的直线与C

a~b~~

交于异于点。的力，B两点.

（1）求椭圆C的方程.

（2）记直线的斜率为左，直线力。与直线的斜率分别为勺,攵2，

（i）若左［+他=2,求A；

（ii）若lan/408二七与，求的面积.

3

雅礼中学2026年上学期期中考试试卷

InJ4

时量：120分钟分值：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合力={xeZlx（x_3）<0},3={H或x>2},则力八（针）=（）

A.（0,2]B.（2,3）C.[1,2]D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【详解】由x（x-3）<0,解得0<x<3,所以力二{1,2},

又3={x|1或x>2},所以。8=（-1,2],故4C&3）={1,2}.

2.下列命题是真命题的是（）

A.VXGR,x2+x>0;

B.3XGR,x2<x;

C.XEQ是XEZ的充分不必要条件；

D.x>3是x>2的必要不充分条件.

【答案】B

【解析】

【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B,

利用充要条件的判断方法判断C,D两项即可.

【详解】对于A,当x=0,/+%>0显然不成立，故A错误；

对于B,若取x=则/=!，满足/<x，故B正确；

24

对干C,对于xeQ,如!£。，但!任Z,即充分性不成立，故C错误；

对于D,由x>3必能得到x〉2,而由x>2不一定得到x>3,如x=2.5,

故工〉3是x>2的充分不必要条件，即D错误.

故选：B.

3.已知随机变量X~N(l,b2),且P(X>2)=0.2,则尸(O〈XWl)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【答案】B

【解析】

【详解】因为X~N0,cr2),由正态分布的对称性可知，关于工=1对称，

又因为尸(X>2)=0.2,所以尸(X40)=0.2,

则P(0<XW2)=1—0(X〉2)—尸(XW0)=0.6

所以P(0<X«1)=；P(0<¥<2)=0.3

4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方

式，并制作出如等高条形图：

现金支付手机支付

I1男生II女生匚二I现金支付匚二1手机支付

根据图中的信息，卜列结论中不正确的是()

A.样本中多数男生喜欢手机支付

B.样本中的女生数量少于男生数量

C.样本中多数女生喜欢现金支付

D.样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量

【答案】C

【解析】

【分析】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可.

【详解】对于A,由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；

对于B,由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；

对于C,由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；

对于D,由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.

故选:C.

5.已如数列，足首项为1,公差为2的等差数列，则数列的前3项和为()

2/7+1IAJ

3572

A.-B.—C.—D.-

711155

【答案】A

【解析】

凡

【详解】•・.《》是首项为1，公差为2的等差数列,

2w+1

——=1+(/7-l)x2=2w-l,

2/7+1I7

%=(2〃-1)(2〃+1),

11111

a(2«-l)(2w+l)2(2〃-1

n2〃+1

1

•••数列〈•的前3项和为:

1111111113

+—

2113235J215727

6.若存在x€2,-1),使得不军式/一6+2〉0成立，则实数上的取值范围为()

A.^-2-^2,-4-co^B.(f-20)C.(-3,+co)

【答案】C

【解析】

X2+2

【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于工£(-2,-1),k＞成立,

x

令"x)=x+2,利用导数讨论函数的单调性，即可求出.

x

【详解】存在xc(—2,-1),不等式/一米+2＞。成立,

x2+2

则上＞■£＞，xe(—2,-1)能成立，

(2+2}

即对于x£(―2,-1),k＞-X----成立，

X

r222

令“#=:---+--=X+—»XG（-2,-1）,

XX

2r2-2r-

则，（工）=1一一-=——.令r（x）=Onx=±JL

XX

所以当xe（—2,—后），八外＞0,/（X）单调递增，

当了£（一夜,一1）,/'（x）＜0,/⑴单调递减，

又/（一2）=/（-1）=一3,所以询＞一3,

所以％〉—3.

故选:C

7.已知P是抛物线/=4》上任意一点，点?在1轴上的射影为点，，点力的坐标为（12,6）,则

|尸川+|尸〃］的最小值是（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】B

【解析】

【分析】先利用抛物线定义，将“点到坐标轴的距离”转化为“点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴

的距离；再将原目标式转化为“动点到两个定点的距离和（差）”的形式，最后利用“两点之间线段最

短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可.

【详解】因为抛物线方程y=的标准形式为v=4y,

所以焦点准线方程为/：歹二一1,延长产〃交准线于G,连接。/，如图：

根据抛物线的定义得|P川+\PH\=\PA\+\PG\-1=\PA\+\PF\-1>\AF\-1,

当且仅当P,A,尸三点共线时|P*+|PF|=MH，

v\AF\=^122+(6-1)2=13,

.•.归4|+|「〃|的最小值为13—1=12.

8.已知函数/(x)=xcosx-qsin2x,若当工£(0,二)时，/(x)>0,则。的最大值为()

4

A.-lB,0C.yD.I

【答案】C

【解析】

【分析】等价变形给定不等式，构造函数并利用导数分类讨论此函数的单调性求出范围即可.

【详解】函数/(x)=xcosx-。sin2x,由/(x)>0,得xcosX一2〃sinxcosx>0,

TlTI

rtixe(0,—),得cosx>0,则当x£(0,一)时,x-2asinx>0,

44

令函数8。)=工一2届11月入£(0,二)，求导得g'(x)=l-2〃cosx,而1<cosx<l，

42

1兀

当2“(1,即。<一时，2QCOS/C1,g/U)>0,函数g(x)在(0,一)上单调递增，

24

不等式g(M>。恒成立，即/@)>。恒成立，因此awg；

当时，缥g'(x)=l-2a<°,函数g(x)在(0,：)上的图象连续不断，

则存在与>0,使得当。<工<演)时，g'(x)<0,函数g(x)在(0,/)上单调递减，

当0<、</时，g(x)<0,即/*)<0,不符合题意,

所以。的最大值为

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.小张同学对具有线性相关的两个变量X和y进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得

这组数据拟合出的y关于X的经验回归方程为f=0.65x-1.8,若a,b,c成等差数列，则()

X4681012

ya2bc6

A.变量X与y的样本相关系数广>0B.6=3

C.当x=6时，残差为一0.1D.当工二2()时，y的预测值为11.3

【答案】ABC

【《祸斤】

【分析】由经验回归方程为_P=0.65x-1.8即可判断A选项；根据数据先计算结合。，b,。成等

差数列，有a+c=2b,在根据经验回归方程•定经过样本中心(只歹)即可计算出〃的值，即可•判断B选

项，将1=6代入经验回归直线方程中计算出/的值，从而计算出此时的残差即可判断C选项，将x=2()

代人经验回归直线方程中计算出预测值即可判断D选项.

【详解】由于经验回归方程为夕=0.65、-1.8是递增的一次函数，

所以两个变量是正相关，则样本相关系数厂＞0,故A正确；

由表格中的数据可计算平均数：

-4+6+8+10+12°

X==O,

5

-a+2+6+c+68+0+6+c

y=---------------=-----------,

55

又因为b,。成等差数列，

所以。+c=2b,则y=~~~，

根据经验回归方程为y=0.65x-1.8必过点(只歹)，

则号詈=0.65x8—1.8,解得力=3,故B正确；

当工=6时，y=0.65x6—1.8=2.1,

所以残差为2-2.1=-0.1,故C正确；

当工=20时，y=0.65x20-1.8=11.2,

所以V的预测值为11.2,故D错-吴，

故选：ABC.

10.已知在(x+2)的展开式中，第3项的二项式系数与笫5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有

()

A.〃=8B.第4项的二项式系数最大

C.一的系数为60D,展开式各项系数之和为64

【答案】BC

【解析】

【分析】根据二项式系数的性质可求解〃=2+4=6,进而根据选项即可逐一求解.

【详解】由题意得C：=C：,所以〃=2+4=6,故A错误；

因为〃=6时，二项式系数最大的是C：,所以第4项的二项式系数最大，故B正确：

6rr

的展开式的通项公式为7-1=C^-（|）=2「C"6-2r（o<r<6,reN）,

令6—21=2,得厂=2,所以/的系数为2?。；=60,故C正确；

展开式各项系数之和为（1+2）6=36=729,故D错误.

11.下列说法正确的有（）

A.4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种

B.4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种

C.盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直

7

到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是二

30

D.把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记X为装有球的盒子的个数，则*的期望值为

E（X）埸

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据列举法或者排列组合即可求解AB,由全概率公式即可求解C,列出分布列或者利用分布列的

性质即可求解D.

【详解】对于A,选一个盒子装2个小球，剩余两个盒子各装一人小球，故共有3种方法，A选项正确：

对于B,由于小球和盒子都不一样，故选一个盒子装两个小球，剩余两个盒子各装一个小球，共有

C泡A；=36种方法，故B选项不正确；

C选项，法一：相当于把5个球排序，共有C〉C；=30种方法.黄球最先被全部取出，最后一个黄球最晚在

第三次被取出，前两次都是黄球共有3种情况，前两次中有•个红球■个黄球，第三次是黄球共有4种情

7

况，故总共有7种，所以概率为丁.

法二：记“最后一次取出球是红球''为事件"，”最后一次取出球是黑球”为事件C,

显然事件C互斥,记“黄球最先被全部取出”为事件Q,则尸（。）=P（8D）+P（C。）.

当事件8发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球，

则P(皿=P(8)P(08)=|xg

当事件C发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球，

则P(CD)=P(C)P(D|C)=1x1=可所以P(D)=P(BD)+P(CD)=24=套

D选项，法一：¥的可能取值为1,2,3,4个球随机放入3个盒子共有81种方法，

P(X=1)=^=&「(*=2)=生嗡二&=芬P(X=3)=誓=小

E(X)=1X，+2X〃+3X3=^^

'J2727927

法二：定义乂=1时，表示第，个盒子中有球，凡=0时，表示第i个盒子中没有球,

其中i=l,2,3,则丫=乂+乙+工,

又P(Xj=O)=(i—乡匕蓝P&=1)=M，故E(X‘)=,,

所以E(X)=E(Xi)+E(>2)+Eg=,

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知。〉0,b>0,-+y=l,则。+方的最小值是_______.

ab

【答案】4

【解析】

【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解.

【详解】所以4+6=(4+力)(}+(

=2+宗台2+2*=4,

当且仅当。=6=2时取等号.

则(I+b的最小值是4.

13.若命题“IxER,r+x-mvO”为假命题，则实数小的取值范围是

【答案】卜0，一

【解析】

【分析】由命题“BxwR-d+x—mvO”为假命题，可得“Vx£R,/+x—加20为真命题利用判别

式可求得答案.

【详解】已知命题“HxwR,/+x—加<0”为假命题，

则该命题的否定：“VX£R,X2+X-〃?NO”为真命题.

此时二次函数的判别式满足A<0.

即A二产一4x1x(—"[)<0,

化筒可得：ni<-\

4

(r

综上，实数小的取值范围是-0C,--.

I4」

..、(r

故答案为：一8,一二

4

22

rv

14.已知双曲线c：一一2T=1(G>O力〉0)的左、右焦点分别为大，F],过用作直线/垂直于双曲线的

ab~

一条渐近线，直线/与双曲线的两条渐近线分别交于小B两点,若力片=3片4,则双曲线C的离心率e

为

【答案】逅#/#

22

【解析】

【分析】设利用算两次思想计算tan2a即可.

【详解】如图，由题意可知忸制=6,则»用=3b,\QB\=yj\OF^-\F\B^=>Jc2-b2=a«

设N"O8=a,则tana=2,于是tanN408=tan2a=2tana_\AB\_4b

a1-tan2a\0B\a

1d

，解得离心率e

2=a2~~2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.若函数/'(x)=or-lnx.

(1)当〃=2时，求函数/(x)在点(lj(1))处的切线方程：

(2)已知(e为自然对数函数的底数)，若/(x)在区间(0,e］上的最小值为3,求实数。的值.

【答案】(1)y=x+l

(2)«=e2

【解析】

【分析】(1)求导，利用导数的几何意义求出进而求出切线方程；

(2)求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出。.

【小问1详解】

/(x)=2x—\nx,其中x>0,则/'(X)=2-L

由导数的几何意义可得/'(1)=1,

又•「/(1)=2,

•・J(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y=x+i.

【小问2详解】

vf(x)=ax—Inx,其中x〉0,WJf，(x)=a--=——-,

xx

Qa>~,则0/<e,

ea

由f'(x)<。可得0<x<，，由/'(x)>。可得x>,，

aa

・•・函数/(x)在(O,£|上单调递减，在上单调递增，

：•/(Wmin=f©=1—ln^=1+Ina=3,解得a=e2>符合题意.

综上，a=e2>

16.如图所示，已知多面体中，是正方形，"_L平面43。。，~DE=-AP.

(1)证明：CE//平面P4B；

(2)设力8=4尸=2,求平面〃尸。与平面尸CE的夹角.

【答案】(1)证明见解析

⑵-

6

【解析】

【分析】(1)利用面面平行推导线面平行

(2)采用空间向后法求解两平面的夹角：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向最，再通过向吊夹角

公式计算平面夹角

【小问1详解】

丁瓦11而且。七与AP无公共点

2

/.DEHAP

：,4尸u平面产力4,平面产力8

:.DE//平面PAB.

•・•四边形力8C。是正方形

CD//AB

•・•,48u平面尸CO(Z平面尸48

・・・。9//平面。48,

t：CDr\DE=D,CD,OEu平面COE

:.平面CDE//平面PAB,

又CEu平面COE

・・・CE〃平面45.

【小问2详解】

因为产力J_平面48。。，AB,,4Du平面力BCD,

所以PALAD,因为/8_L4。，所以14,AD,力尸两两垂直，

所以以点N为原点，分别以46,AD,力2所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图所

示.

则8(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),£(0,2,1),所以BC=⑼2,0),CP=(-2,-2,2),

C£=(-2,0J),

设平面8PC的一个法向量为而二（M_y,z）,

niiiL丽•访=2y=0

取x=l,得y=0,z=l故可取应二（1,0,1）；

'(CP-m=-2x-2y+2z=0

设平面PCE的一个法向量为,

则[一瓦,元=-2。।c=。

取〃=1,得〃=l,c=2故可取”=(1,1,2).

[CP-n=-2a-2b+2c=0

则cos（沆向=音篇=总/=浮

所以平面BPC与平面PCE的夹用为5.

6

17.随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.

（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方

式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取10。名巾民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还

是选择传统汽车进行意向调查，得到了如卜.列联表:

选择新能源汽车选择传统汽车总计

4岁以下7030100

“岁及以

4060100

上

总计11090200

（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为P,求产的估计值；

（i：）依据小概率值二二0.001的独立.性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.

（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽

车销售量歹（单位：万台）关于年份入•的线性回归方程j=4.7x-9495.2,且销售量N的方差为

s：=50,年份x的方差为s；=2,求V与x间的样本相关系数广，并据此判断该地区新能源汽车销售量V与

产**

年份X的线性相关性强弱.

(b—《一

附：（i）在线性回归方程y=加+々中,b3---------，-------%;

ZU-)2

/=!

（i：）样本相关系数尸二若卜|>0.9,则可判断V与X线性相关性很强;

八_____Mad_bcf______

(i:i)其中〃=Q+6+c+d.

(〃+/?)(<:+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

7

【答案】（1）（i）P=—（ii）匕以认为选择新能源汽车与年龄有关系

（2）0.94,歹与x线性相关性很强

【解析】

【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算/根据临界值表判断即可:

（2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断.

【小问1详解】

707

（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为一

11011

7

由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率P=—.

（i：）零假设为“°：选择新能源汽车与年龄无关，

由列联表中数据代入计算得：/=200x（70x60-30x40）-=—«18.182>10.828,

100x100x110x9011

所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断/不成立，

即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过0.001.

【小问2详解】

故y与x线性相关性很强.

18.雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答

错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为2.答错的概率为且每道题答对与否互不影响.

33

（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；

（2）设小王答4道题后积分为X,求E（X）；

（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为=1,2,…,12卜时，最终积分为

12的概率为耳，请直接写出乙和己的值，并求出乙的值.

7

【答案】（1）—

27

22

（2）——

3

64

（3）6=0,尼=1,P=—

b0J

【解析】

【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得

到答案；

（2）设小王答对的题数为y,得到关系式¥=2丫+2,再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到

答案；

（3）首先需对边界条件进行直接判断，即4=0和%=1,再求出｛£｝的递推公式，分析可知数列

｛匕1一邛｝（'=°，1，2,…,11）为等比数列，求得々“一月=凌■片，再利用累加法和等比数列求和即可得到答

案.

【小问1详解】

小王答3道题后积分小于6,有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题.

3题都答错的概率为1=—：答对I题，答错2题的概率为：C；x-x1=-

⑴273⑺9

127

所以小王答3道题后积分小于6的概率为：—+-=—

27927

【小问2详解】

法一：设小王答对的题数为丫，则他答错的题数为4一丫，所以％=6+丫一（4一丫）=2丫+2.

(2)28

由睡意知丫〜34,1，所以£(丫)=4'可=工，所以

Q22

E(X)=E(2Y+2)=2E(y)+2=2x2+2=—.

33

法二：X的可能取值为2,4,6,8,10.

则：0(X=2)=f1]=—；尸(X=4)=C；X2X]1]=—

'81'74381

24_J_

8?"27

1o,4oniA22

所以，^(%)=2x—+4x—+6x—+8x—+10x—=

')8181818181T

【小问3详解】

当积分己为0时，游戏己停止，方法再达到12分，故［=0；

当积分己为12时，游戏已停止，己是目标状态，故%=1.

（/）当小王的积分为，.（i=l,2,…,11）时，

若小王接下来一题答对，则积分变为i+1,若小王接下来一题答错，则积分变为i-1.

71311

由全概率公式有4=三匕I+鼻z1，即匕1二不匕一不匕|，整理可得匕「。二不（4一匕

又耳一4二6wO,所以{匕「4}(i=0J2,…,11)为等比数列.

(z.O由⑴可得匕|一邛二，々，

乙

所以%=(%-%)+(凡-1o)+…+(8-6)+6=6(--宝+,

11

又片2=1，所以＜=23•

所以4=(4-切+伍-用+…+仍-阴+4

1-6卜到2"26-1212-2664