2026年湖南中考数学复习变式阶梯训练第21~22题（含答案）

一、原题21

1.如图，的顶点4,C在。。上，圆心。在边相上，4C8=120。，8c与。。相切于点C,连接

OC.

(1)求N4CO的度数；

(2)求证：AC=BC.

二、变式1基础

2.木二师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图，角尺的直角顶点为B,用角尺的较短边AB紧靠

00,并使较长边与。。相切于点C.已知AB=8cm,设。。的半径为rem.若BC=12cm,求。。的半径.

3.如图，P是。。的直径AB延长线上一点，PT切。。于点7.若PT=4,PB=2,求。。的半径.

4.如图，人8与。。相切于点。,。4=。8.若。。的直径为8,48=10,求OA的长.

三、变式2巩固

5.如图所示，在△480中，AB=BDf(DO为△480的夕卜接圆，BE为。。的切线，AC为。O的直径,

连结DC并延长，交BE于点E.

第1页

B

D

(1)求证：DE^BE.

(2)若AB=5V6,BE=5,求。O的半径.

6.如图，AB为。O的直径，CD与。O相切于点C,交AB的延长线于点D,连结AC,BC,ZD=30°,

CE平分/ACB交。O于点E,过点B作BFJ_CE,垂足为F.

(1)求证：CA=CD；

(2)若AB=12,求线段BF的长.

7.如图，在RlAABC中，ZACB=90°,D为AB上一点，以BD为直径的半圆交BC于点F,且AC切

半圆0于点E.

(1)求证：DE=EF-,

(2)若NA=30。,AB=6,求CF的长.

四、变式3提高

8.已知，正方形ABCD,AB：=4,以CD为直径在正方形内部作半圆M,点E是边BC上动点，连结DE交

半圆M于点F,连结MF.

y

BECBEC

图1困2

第2页

（1）若NCMF=50。,求NADE的度数.

（2）如图2,连结AF,将（ADF沿着DE对折，得到△PDF,PP交CD于点N.

①若NDAF=50。，求NMFP的度数.

②求MN的最小值.

9.如图，。0是以48为直径的圆，点C在。。上，CD切于点C,BD上CD于点D,连结BC.

（2）若AB=10,3。=

①求8C的长度.

②如图，点P在半径A。上，连结CP并延长交。。于点Q,且流=4，连结Q8,求证：QB=QC.

10.如图，4B是。。的直径，。是0。上一点，过点。作。。的切线交的延长线于点C,DA=DC.

（2）如图2,P是线段BC上的动点，过点P作力。的平行线，交。0于点E,F（PF之PE）,连接BE,BF,

AB=10.

①当tan人科4=1时，求8E的长；

②当BP为何值时翳二储.

五、原题22

11.同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A,B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价

多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.

（1）求4种材料和B种材料的单价；

（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？

六、变式1（基础）

第3页

12.商店里一种20瓦（即0.02千瓦）LED灯的亮度相当于60瓦（即0.06千瓦）的节能灯，LED灯售价30元/

个，节能灯售价15元/个。如果电价足0.5元/千瓦时，问：LED灯使用多少时间后，总费用（售价加电费）少

于选用节能灯的费用（用电量二千瓦数x用电时数）？

13.某企业向银行贷款1000万元，一-年后归还银行贷款的本利和超过1040万元。问：贷款年利率在怎样的

一个范围内？

14.A,B,C,D四座小山的山脚到学校的路程分别是9km,11km,12km,14km。学校准备组织一次八年

级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时4km的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小

时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时3km的速度返回，在下午4时30分前赶回学校。你认为学校可

计划登哪几座山?请说明理由。

七、变式2（巩固）

15.学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著“，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买3本《论语》和5本

《诗经》共需140元，购买1本《论语》和2本《诗经》共需52元.

（1）求每本《论语》和每木《诗经》各多少元？

（2）学校决定购买《论语》利《诗经》共200本，总费用不超过3500元，那么该学校最多可以购买多少

本《论语》？

16.“春节一一中国人庆祝传统新年的社会实践''于2024年12月4日正式列入联合国教科文组织人类非物质文

化遗产代表作名录.为弘扬中华传统文化，在综合实践课上，老师计划组织学生编织小8两款中国结.3个4

款中国结比2个B款中国结多用绳12米，若编织1个4款中国结和2个B款中国结需用绳20米.

（1）求编织1个A款中国结和1个B款中国结各需用绳多少米；

（2）老师计划编织这两款中国结共30个，向学校中请了200米绳子，那么最多能编织多少个A款中国结？

17.炎炎夏口，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进48两款迷你小

也扇进行销售，已知4款迷你小电扇的进价为30元，8款迷你小乜扇的进价为40元.该商家购进这两种迷你

小电扇共100台，用去了3350元.

4款迷你小电扇8款迷你小电扇

（1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？

（2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共15（）台，问

该商家这次至少购进4款迷你小电扇多少台？

八、变式3（提高）

18.甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按3（）%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际

第4页

出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元.

（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；

（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进

价的平均增长率；

（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可

获得利润（定价取整数）.

19.金盛嘉悦广场销售每台进价分别为200元，170元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情

况：

销售数量

销售时段销售收入

A种型号B种型号

第一周3台5台1800

第二周4台10台3100

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成木）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若金盛嘉悦广场准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共3（）台，求A种型号的电

风扇最多能采购多少台？

（3）在（2）的条件下，金盛嘉悦广场销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给

出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

20.某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的

载客量和日租金如表3-3：

表

车型每辆载客量/人每辆租金/元

A型客车45125()

B型客车301000

学校根据实际情况，计划租用A,B型两种客车共8辆。设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题:

（1）用含x的式子完成下表

车型车辆数/辆载客量/人租金/元

A型客车X

B型客车

（2）若要保证租车费用不超过9000元,最多租用A型客车多少辆？

（3）参加此次活动的总人数为298人。如果按第（2）题的方案租车，可行吗?

第5页

第6页

答案解析部分

1.【答案】(1)解：TBC与。0相切于点C,

•••0C1CB,

r.ZOCB=90°,

.\ZACO=ZACB-ZOCB=12()°-90°=30°

(2)证明：VOA=OC,

.\ZA=ZACO=30°,

AZB=180°-ZA-ZACB=180°-120°-30°=30°,

AZA=ZB,

・・・AC=BC

【解析】【分析】(1)由于切线垂直于过切点的半径，因此乙OCB=90。，则〃CO=乙ACB-乙OCB；

(2)由于半径相等，则24=/4C0=30。，再由三角形内角和可得/8=30。=乙4,则等角对等边可得

AC=BC.

2◎.【答案】解：如图，连结OC,OA,过点A作AD_LOC,垂足为D.

〈BC与。O相切，AOC1BC.

又NB=90。，AD±OC,

・•・四边形ABCD是矩形，

.*.CD=AB=8cm,AD=BC=12cm,

.\OD=(r-8)cm..

在RtAAOD中，OA2=OD2+AD2,

即「2=(58)2+122,

解得r=I3,即OO的半径为13cm

【解析】【分析】设圆的半径为rem,连接OC、OA,作AD_LOC,垂足为D,利用勾股定理，在RMAOD

中，得到白(/尸+⑵，求出r即可.

3.【答案】解：如图，

连接OT,

第7页

•・・0A切。O于T点,

A0T1PT,

设OT=x,贝UOB=x

/.OP=K+2,

在RlAOPA中

x2+42=(x+2)2

x=3

・・・。0的半径为3

【解析】【分析】本题考查圆的切线的定理.先连接连接OT,利用圆的切线的性质定理可推出0T1.PT,设

OT=x,据此可推出0P=x+2,利用勾股定理可列出方程x?+42=(x+2)巴解方程可求出x的值，据此可求

出0。的半径.

4.【答案】解：如图，连结OC,

;。。的直径为8,48=10,

/.OC=4,

VAB与O。相切于点C

:.OC1AB

OA=OB

••・AC=1AB=5,

OA=V41.

【解析】【分析】本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握力线的性质是解

题关键。连结OC,得004,由AB是O。的切线得OC_LAB,由等腰三角形得AC=5,根据勾股定理得

OA.

S.【答案】(1)证明：连结RO并延长.交AD于点H,连结OD.

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H

VAB=BD,OA=OD,，BO垂直平分AD,/.BH1AD,AH=DH,・.・BE为。O的切线，AHB1BE,VAC

为。。的直径，AZADC=90°,・•・四边形BHDE为矩形，ADEIBE

(2)解：由(1)知四边形BHDE为矩形,BH1AD,AH=DH,：.AH=DH=BE=5,BH=

7AB?-4H2=5而.设。O的半径为r,贝ljOA=OB=r,OH=BH-OB=5^-r,在RQAOH中，由勾股定理，

得尹=52+(5遮—r)2,解得丁=3而；即。O的半径为3遮

【解析】【分析】(1)首先连结BO并延长，交AD于点H,连结OD,根据等腰三角形的三线合一，结合圆

的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明；

(2)首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半

径，利用方程思想求半径.

6.【答案】(1)证明：连结OC.

〈CD与。O相切于点C,

••・ZOCD=90°.

VZD=30°,.,.ZCOD=90o-ZD=60\

1

Z.A=2(COD=30°.

/.ZA=ZD.ACA=CD.

(2)解：•・,AB为。O的直径,

•••LACB=90°,

•••乙A=30°,48=12,

1

:.BC=TYAB=6,

YCE平分Z.ACB,

1

:.乙BCE=5乙ACB=45°,

•••BF^CE,

乙BFC=90°,

、x/2厂

•••BF=BC♦sin45°=6x=3v2,

・•・线段BF的长为3V2.

【解析】【分析】⑴连接OC,利用切线的性质可得90。然后利用直角三角形的两个锐角互余可得

第9页

乙COD=60。,，从而利用圆周角定理可得.乙4=30。,最后根据等角对等边，即可解答;

（2）根据直径所对的圆周角是直角口J得乙AC8=90°,从而利用（I）的结论口」得BC=2A8=6,再利用角平分

线的定义可得.乙8CE=45。,然后在Rt△8%中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

7.【答案】（1）证明：连接OE,OF,如图，

/.OE1AC,

・•・ZAEO=90°,

*/ZACB=90°

AOE//BC,

AZDOE=ZB,ZEOF=ZOFB,

VOB=OF,

.\ZB=ZOFB,

AZDOE=ZEOF

AA

**DE=EF

(2)解：设。O的半径为门则OB=OE=r,

在RSAOE中，

VZA=30°,

/.AO=2OE=r,

VAB=6,

2r+r=6,

解得r=2,

即OB=2,

在RSABC中，

VZACB=90°,ZA=30°,

・,・"=鼻8=3,ZB=60°,

VOB=OF

ORF为等边二角形，

.\BF=OB=2,

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/.CF=BC-BF=3-2=1

【解析】【分析】(1)连接OB,OP,如图，先根据切线的性质得到NAEO=90。，则可判断OE//BC,根据平行

线的性质得到/DOE=NB,ZEOF=ZOFB,则可证明NDOE=/EOF,然后根据圆心角、弧、弦的关系得到

结论；

⑵设OO的半径为r,则OB=OE=r,在RtZkAOE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到2r+r=6,解

得r=2,所以OB=2,接着在RsABC中计算出BO3,然后证明△OBF为等边三角形得到BF=OB=2,最后

计算BC-BF即可.

8.【答案】(1)解：VZCMF=50",

.\ZCDE=25°,

•・•四边形ABCD是正方形，

・•・ZADC=90°,

・•・ZADE=90°-25°=65°

(2)解：①设/ADF=x。，

则ZDFM=ZCDF=90°-x°,

・•・ZDAF=50°,

••・ZDFA=ZDFP=180°-50°-x°=130°-x°,

・•・ZMFN=130o-x0-(90o-x°)=40°,

②延长FM交DP于点G,

VZADF=ZPDF,ZMDF=ZMFD,且NADF+NMDF=90。,

/.ZMFD+ZFDP=90°,即FG_LDP,

/.ZGFP+ZP=90°

VZP=ZDAF,

AZGFP+ZDAF=90°,

延长AF,DC交于点R,

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/.ZR+ZDAF=90°,

.\ZMrN=ZR,且NFMR足公共用,

・•・△FMR^ANMF.

•••林二黑，即MN.MR=MF2=4.

・••当MR的长最大时,MN的长最小,

当AR与半圆M相切时，MR的长最大，即MF1AF,

此时AMFRs/XADR,

FM_FR_MR

：'~AD=~DR=~AR"

HI।FRMR_2_1

^2+MR=4+F^=4=2'

(2+MR=2FR,

**l4+F/?=2MR

・・.MR=¥

J

AMN的最小值为?

【解析】【分析】(1)由正方形的性质可得出答案；

(2)①设/ADF=x。，则NDFM=NCDF=90。-。，得出NMFP=130°-x°-(90°-x0)=40。；

②延长FM交DP于点G,证明NGFP+NDAF=90。，延长AF,DC交于点R,证明△FMRsaNMF,得出

黑=部，即MN-MR=MF2=*则当MR的长最大时，MN的长最小，当AR与半圆M相切时,：MR的

长最大，由相似三角形的性质可得出答案.

'•CD切OO于点C,

AC01CD,

VBD1CD,

ACO//BD,

・•・ZOCB=ZCBD.

VCO=BO,

/.ZABC=ZOCB=ZCBDo

(2)解：①连结AC.

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D

Q

VZACB=ZCDB=90°,ZABC=ZCBD,

・•・△ABC^ACBD,

.AB_BC

••豌=丽'

VAB=10,BD卷

ABC=8.

②连结CA,延长QO交BC于H,作CMJ_AB交AB于M,QNJ_AB交AB于N,

.\ZCMA=ZQNO=90°.

又•・•NCPM=NQPN,

/.△CPM^AQPN,

Cp6

*=--=-

Qp5(设CM=6x,QN=5x).

VAB=10,BC=8,

・・・AC=6,

•'sinNCAM嚓=等=等=符=sin“ON,

:.ZCAM=ZQON,

ACA//QH.

VAC1CB,QH过圆心O,

・・・QH_CB且QH平分CB,

・・・QB=QC.

【解析】【分析】本题主要考查切线的性质、平行线的判定与性质、等边对等角、相似三角形的判定及性质、

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垂径定理等知识。

(1)利用“同位角相等、两直线平行”可得出CO//BD,然后根据“两直线平行、内错角相等“得出

ZOCB=ZCBD,最后根据“等边对等角”即可得出证明结果；

(2)①证明出相似三角形△ABCs^CBD,得出对应边长等比例，代入即可计算出BC的值；②通过证明

出CPMS^QPN,可以得出对应边长的比，然后根据正弦值得出NCAM=NQON,进而得出CA//QH,最后

根据垂径定理即可得出证明结果。

10.【答案】(1)解：连接。。，如图：

OA=OD,

Z.OAD=Z.ODA,

•••Z.COD=2Z.A,

•••co是。。的切线，

:.0D1CD,

乙C+Z.COD=90°,即NC+2Z,A=90°,

又•：DA=DC,

•••Z.A=Z.C,

•••“=30°：

(2)解:①连接4凡。F,如图:

•••48是直径，

乙AFB=90°,

vtanZ.FBA=1,

二AFBA=45°,

.•・△4BF为等腰直角三角形，

AF=BF=5a,OF1AB,

第14页

PF\\AD,

乙FPO=^DAC=AC=30°,

:.PF=2OF=10,OP=V3OF=5VJ,

•••8尸二。尸一。8二5百一5，

•••乙FAB+乙FEB=180°,乙PEB+乙FEB=180°,

•••Z.FAB=乙PEB,

又•••APB=Z-APF,

AFPEBP,

AF_FP

诟二丽’

5E=1(V6-V2);

②过点B作8G1/P于G,连接。E,过。作ONJ.E/于N,如图:

•••乙BGE=乙BGP=90°,

:.乙BGE=Z.AFB,

•••乙BEP=Z.FAP,

•••△PE3PAF,

PF_AP

A丽二两

・•・BP・AP=PE•PF,

设BG=x,

•••Z.FPA=^DAC=30°,

...BP=2x,PG=V3x,

4P=10+2x»。尸=5+2%,

...ON=*OP=/PN=竽(5+2X)，

2

在RtZiNOE中，EN2=OE2-ON2=25-4-%)，

•••ON1EF,

•••FN=EN,EF=2EN,

在出△£■"中，BE2=BG2-\-EG2^

第15页

在R£Zk8"G中，BF?=BG?+FG2,

VFG=PN+FN-PG,EG=PN-PG-FN,

2,

FG-EG=(PN-PG)2一户产=等一25—G+x)=x2+5x»

FG+EG=2(PN-PG)=5百，

•••BE2•BF2=(BG2+EG2XBG2+FG2)

=8G4+{EG2+FG2}BG2+(EG•FG)2

=BG4+[(EG+FGY-2EG-FG]BG2+(EG•FG/

=x4+[75-2x2-10x]x2+(x2+5x)2

1

ox9

8EF

----

EFDO

EF24EN2

解得：X=-15-5V21(舍去)或5、电一15,

44

5囱一15

BDPD=29x=---------------

【解析】【分析】（1）连接。。，利用圆周角定理得到4C00=2乙4,利用等边对等角得到乙。二/4,再根据

三角形的内角和定理解题即可；

（2）①连接AF,OF,利用正切的定义得到a/lFB为等腰直角三角形，求出力F,8F,OF的长，然后利用A。||

PF,得到乙“P0=30。，求出。P和尸尸的长，再利用△A"〜ZkEBP解题即可：

②过点B作8GJ.FP于G,连接0E,过。作ONJ.EF于N,设8G=%,根据相似得到8P•4P=PE•P凡然后

根据勾股定理表示出E尸和BE、口尸长，然后根据BE・BF=£T2=4EN2,列方程求出x值解题.

（1）连接0。，如图：

v0A=0D,

Z.OAD=Z.ODAt

:.乙COD=2乙4,

•••CD是。。的切线,

第16页

OD1CD,

乙C十乙COD=90°,即乙C+2乙A=90°,

又DA=DC,

Z.A-zC,

•••"=30°；

(2)①连接AF,OF,如图：

•••48是直径，

•••Z-AFB=90°,

tanz.FBA=1,

Z.FBA=45°,

.•・△48F为等腰直角三角形，

AF=BF=5vLOF1AB,

vPF\\ADt

:.乙FPO=Z-DAC=zC=30°,

PF=2OF=10,OP=V3OF=5vL

:.BP=OP-OB=56-5,

•••AFAB+乙FEB=180°,乙PEB+LFEB=180°,

:.Z.FAB=乙PEB,

又•••乙EPB="PF,

.*.△AFPEBP,

AF=_FP

A~RF.而

:.BE—擀(V6—V2);

②过点B作BG_LFP于G,连接OE,过。作ONJ.E尸于N,如图:

...乙BGE=乙BGP=90°,

第17页

:.Z-BGE=Z-AFB,

v乙BEP=乙77AP,

PEB〜&PAF,

PF__AP_

ABP=PEf

BP・AP=PE•PF,

设BG=x,

•••AFPA=Z-DAC=30°,

BP=2x,PG=y/3x,

:.AP=10+2x,OP=5+2x,

ON=^OP=^+x^PN=^(5+2X)，

在Rt^NOE中，EN2=OE2-ON2=25-(|+%)2*

•••ON1EF,

•••FN=EN,EF=2EN,

在RMEBG中，BE2=BG2-\~EG2>

在R£z\8/G中，BF2=5G2+FG2,

FG=PN+FN-PG,EG=PN-PG-FN,

2

:.FG-EG=(PN-PG)2-FN?=?一25—©+x)=x2+5x»

FG+EG-2(PN-PG)-5月，

:.BE2,BF2=(BG2+EG2XBG2+FG2)

=BG4+{EG2+FG2}BG2+(EG-FG)2

=BG4+[(EG+FG)2-2EG-FG]BG2+(EG•FG)2

=%4+[75-2x2-10x]x2+(x2+5x)2

1

ox9

8EF

--=-

EFDO

EF2N2

4E

解得：X=-15-5V21(舍去)或5叼-15,

44

5、与-45

:.BDPD=29x=-----7------

第18页

11.【答案】(1)解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为(x-3)元，

由题意得：4x=6(x-3),

解得：x=9,

/.x-3=6,

答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元

(2)解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料(50-m)件，

由题意得：9m+6(50-m)<360,

解得：m<20,

答：最多能购买A种材料20件

【解析】【分析】(1)设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为(x-3)元，由相等关系“购买4件

A种材料与购买6件B种材料的费用相等”列方程并求解即可；

(2)设能购买A种材料m件，则能购买B种材料(50-m)件，由不等关系“总费用不超过360元”列不

等式并求解即可.

12.【答案】解：设LED灯使用时间为t小时，

根据题意列不等式：30+0.5x0.021<15+0.5x0.061

解得：>750

答：LED灯使用超过750小时后，总费用少于选用节能灯的费用

【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用。解题的关键是根据题目中的不等关系，列出一元

一次不等式，然后求解不等式，最后根据实际情况确定答案.

13.【答案】解：解：设贷款年利率为x%,

由题意得1000(l+x%)>1040,

解得x>4.

答：年利率高于4%

【解析】【分析】分析题意，首先设贷款年利率为x%,根据题目已知条件不难列出不等式

1000(Hx%)>1040；接下来只需根据不等式的基本性质，解上述不等式即可.

14.【答案】解：设路程为skm,

•・•出发时间为左小时，回家时间寄小时，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5+1=2.5小

IO

时，

・寸+扛8.5-2.5,

解得：x<12,

/.A山,B山可以,

答：学校可以计划登A山或B山

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【解析】【分析】根据题意，活动时间从上午8时到下午4时30分，总时间为8.5小时；其中登山、在山顶

活动、下山的时间共需1.5小时，因此学生用于前进和返回的时间不能超过7小时；利用这些条件，可列出

不等式计算.

15.【答案】(1)解：设每本《论语》为x元，每本《诗经》为y元，

(3x+5y=140

[x+2y=52'

x=20

解得:

y=16

答：每本《论语》为20元，每本《诗经》为16元；

(2)解：设该学校购买a本《论语》，则《诗经》为(200-a)本，

由题意，得：20a+16(200-。)工3500；

解得：a<75：

答：