湖北省2026年高三二模高考数学模拟试卷（含答案详解）

湖北省2026届高三十一校第二次联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知U={1,2,3,4,5,6,7},J={2,4,5},8={1,3,5,7},则力门@8)=()

A.{5}B.{2,4}C.{1,3,7}D.{2,4,5,6}

2.已知复数N满足：(Z—1『+1=0,则|z|=()

A.1B.41C.百D.2

3.3(0)=。是/(x)为奇函数的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若单位平面向量夹角为向量而=1+5,向量1则下列命题为假命题的

是()

A.|w|=|H|B.ma=\

C.m//nD.mLn

一9

5.己知变量x和变量y的一组成对样本数据为(0乂)。=1,2,3,…,8),其中工二6，其回归直

X

线方程为i=2x-5,当增加两个样本数据(-1,5)和(2,9)后，重新得到的回归直线方程斜率

为3,则在新的回归直线方程的估计下，样本数据(4,10)所对应的残差为()(残差=观

察值一估计值)

A.2B.-2C.-1D.1

6.已知函数/(力=而］］h-?)，当工«0,20］时，把的图象与直线)，=：的所有交点

k6；2

的横坐标限依次记为q,%，%，…4,记它们的和为5,,则S,,=()

1160580560280

A.----B.一C.—D.一

3333

试卷第1页，共4页

7.已知点P为椭圆C:工+汇=1上任意一点，直线/过。”：

x2+y2-4x+3=0的圆心且

1612

与。M交于48两点，则成.方的取值范围是（）

A.[3,35]B.（3,35]C.[2,6]D.（2,6]

8.如图，在棱长为1的正方体力48-44GA中，夕为棱44的中点，。为正方体

力以7）-4用c〃表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A.三棱锥2-4外接球的表面积为笠

16

B.若。。〃平面40。，则动点。的轨迹是i条线段

c.若尸。^平面4P2,则动点。的轨迹的长度为立

2

D.若。0=后，则动点。的轨迹长度为]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知双曲线C:二-4=1（力>0）的右焦点为足直线！:工+如=0是。的一条渐近线，P

4h-

是/上一点，则（）

A.。的虚轴长为2及B.。的离心率为〃

C.|0日的最小值为2D.直线PE的斜率不等于-等

10.将函数/（x）=sin（2x+《|（p\<的图像向左平移7个单位得到函数g（x）的图像，若g（x）的

图像与/（x）的图像关于j，轴对称，则下列说法正确的有（）

.冗

A.『

试卷第2页，共4页

Tt

B.(P=~~

4

C.g(x)的对称轴过/(x)的对称中心

D.-7,^,3WG-7,^,使得/(〃?)=g(〃)

48J[48_

11.已知函数/(x)=e；ad有三个零点不工2，工(%<工2<七)，则()

A.若占，％J成等差数列，则成等比数列

B.若x；*,x；成等比数列，则再,修，七成等差数列

C.若占,七户3成等差数列，则数列为，七，》3的公差为2h“血-1)

D.若x：，¥，x；成等比数歹J,则数列的公比为3-2及

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某中学高二年级学生有1200人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从止态分布

N(120,/).已知?(105<XW120)=0.45,则本次考试数学成绩大于135分的人数约为

13.已知数列｛《,｝的前〃项和为S.，旦际=2瓦《=1,贝1」/=.

14.设』分别是/(x)=x-「与g(x)=x】og/-l(a>l)的零点，则玉+%的取值范围是

*

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

15.如图，在四棱锥尸-18CQ中，PD工底面4BCD,底面48c。为平行四边形，且

PD=AB=2AD,ZBAD=y.

(I)证明：ADLPB；

(2)求平面PAB与平面PDB夹角的正切值.

试卷第3页，共4页

16.锐角三角形48c的内角4B、C的对边分别为Ac,且满足

sin2C+sin2B+cos2J=sin5sinC+1•

(1)求角4;

(2)设〃为锐角三角形//C的垂心，求黑的值.

AH

17.一辆汽车上有〃个座位，编号从1到〃.现在编号为1至IJ〃的乘客依次上车，编号为1

的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客,上了车后会先看

看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩卜•的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果

2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号

相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己

对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上.

(1)当〃=4时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率P；

(2)当〃=4时，设X为刚好坐在了自己座位上的乘客数〔规定：编号为，•的乘客坐在了编号

为i的座位上为坐在了自己的座位上)，求随机变量X的期望.

1(\\

18.已知/(x)=?+1xn---lav,其中〃wN*.

⑴求证：当x>l时，/(x)>0；

(2)讨论〃取不同值的时候，函数/(力的零点个数；

⑶证明：W+^TF+-+^T>,n(z+1L其中(,WN)

19.已知抛物线C：/=2px(p>0),少为其焦点，直线/过点尸交抛物线C于4B两点,

9

若三角形048面积的最小值为；.

2

⑴求P;

(2)若三角形043外接圆与抛物线的最后一个交点为点7二

(i)设/(知力),8(孙%),7。3，必)，证明:必=-(必+M).

(ii)若TF平一分NATB,求线段小长度的所有可能取值.

试卷第4页，共4页

1.B

【分析】根据补集和交集的定义运算.

【详解】由题意得,45={2,4由},则/n（Q1）={2,4}.

故选：B

2.B

【分析】根据方程求出复数Z,然后计算发数的模.

【详解】因为复数Z满足：（z-l）2+l=o,

所以所以z-l=±i,解得z=l士i.

所以恸=JTTT=收.

故选：B.

3.D

【分析】根据函数奇偶性的定义判断可得答案.

【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，

/（0）=0时y=/（、）的定义域不一定关于原点对称，

所以/（。）=0不是/卜）为奇函数的充分条件；

如果/（x）为奇困数在x=0处有定义时有/（。）=0，

在x=0处没有定义时没有/（0）=0,

所以/（0）=0不是/（x）为奇函数的必要条件；

综上，"0）=0是/'（X）为奇函数的既不充分也不必要条件.

故选：D.

4.C

【分析】对于A,通过计算模的平方并利用垂直条件得U模长相等；对于B,直.接展开数量

积并代入已知条件求得定值；对于C,假设平行后利用基底不共线推出矛盾；对于D,则通

过展开数量积验证其是否为零来判断垂直关系.

【详解】已知单位向量二B的夹角为/，因此同=|同=1,♦小6=0且而=1+尻❷万=1-反

A选项；同2=（万।另）=a2I2aZ>I2=1I0II=2,|w|=>/2,

答案第1页，共16页

同2=下_2万.万+庐=1_（）+1=2,问=拉,

故同|=|司，A为真命题；

B选项：而。=伍+可•不=企+ba=\+0=1,B为真命题;

C选项：假设所11人则存在义使G+日=%（，-6）,

整理得：（I-2）a+（l+A）b=0,

由于3与B不共线（夹角为90）,则1-4=0且1+2=0,

此方程组无解，矛盾，故而与万不平行，C为假命题；

D选项：mn=（a+b）\a-b^a2-b2=\-\=0

所以而_LA,D为真命题.

故诜：C

5.B

【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可.

so

【详解】•・£手8=9,

1-13

・•・增加两个样本点后K的平均数为9-三1+方2=1:

9I8

*.*=2x----=2,/.Vy,=2x8=16,

84fr

••・增加两个样本点后y的平均数为16：=3,

.*.3=3x1+^,解彳导«=0,

••・新的经验回归方程为j=3x，则当x=4时，3=12,

••・样本点（4,10）的残差为10-12=-2.

故选：B.

6.B

【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.

【详解】解：由sinnx--=-,则兀丫一当=2内1+2或2而+二兀，keZ

\6J2666

解得x=24+；或2左+1,AGZ

答案第2页，共16页

1755

所以q=,，。2=1，a3=-»%=3,…，a=—,%D=19

J，Jl9

所以

cfl713551八=.心-x(l+55)xlO(i+i9)x10280580

“(3333/,73233

,故B正确.

故选：B

7.A

【分析】根据向量运算可得可・丽=|丽f—i,再由椭圆可知21图S6,即可得结果.

【详解】因为aM：(x-2)2+V=i,圆心M(2,0),半径为1,则忘=—丽，

可得方.而=(而+砌•(而+阿=(两—网(而+'7^+,

由椭圆方程可知：a=4、b=26,c=42—〃=2，即M恰为椭圆。的右焦点，

则2="一。工|丽|wa+c=6,所以方.而.3,35].

故选：A.

8.A

【分析】三棱锥p-4。。的外接球即为三棱锥。-4尸力的外接球，利用正弦定理可得尸

的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径/?，再利用表面积公式计算即可得A：

取CG与4G中点加、N,利用面面平行性质定理可得平面平面4尸。，则可得B;

取AB靠近点B的四等分点S,利用线面垂直判定定理可得SP1平面A.PDX,则可得动点Q的

轨迹为线段S尸，计算出SP即可得C；由对称性，可假设。£平面84GC,利用线面垂直性

质定理与勾股定理可得G2=1,即可得。在平面64GC内轨迹，同理可得点。所有轨迹，

即可得D.

【详解】对于A：由四边形。力4。为正方形，

故三棱锥p-4Ao的外接球即为三棱锥0-44的外接球，

设三棱锥。-4尸4的外接球半径为七的外接圆半径为〃，

答案第3页，共16页

AP=AiP==余/4=1,

MJ

3

故cosZJPJ）=

2x名立5

22

4

又NAPA、G（0,兀），则sinZAPA}=-,

故;dk=>2因为w平面4%尸,

故三棱锥。-4P4的外接球球心在过。的外接圆圆心和D4平行的直线上,

则（任丫+/=火,40=1,即正="+,=生，

\2）64464

4]7T

故三棱锥P-42。的外接球的表面积为4兀斤=：；,故A正确,

16

对于B：取CG与"G中点M、N、连接D}M、D、N、MN,

由正方体性质可得用N/〃M，AP”D\M,

又"NS平面4尸。，。4匚平面40。，故MN//平面40。，

。“2平面4〃。，月/<=平面4。。，故。也//平面4。。，

又,MNcD、M=M.MN、平面故平面。MN〃平面4尸。.

由0©〃平面4?。，则点。的轨迹是△AMN除去点。「故B错误；

对于C：取力3靠近点8的四等分点S,连接PS,

答案第4页，共16页

D

由正方体性质可得"4,平面力4历i,又psu平面4484，故。4J.8,

SBBP

由言"二-T"rNSBP=NPBM=90°,故△§8P与△抽4相似,

/n)4£)1

则/BPS=NBMP,故NSQ4=180。一(28跳+/3,4)

=180°-(4p+ZB,/M,)=180°-90°=90°,

故SP_LP4，又04n4〃=4，PA、4〃匚平面404,

故SPJ•平面4。。，又P。上平面4PR,故动点。的轨迹为线段a,

SP=H(£|当，故c错误；

对D：若。€平面44G。，因为AG，平面48£C,GQu平面加5℃,

故AG，G。，由2。=五，则c0=J(可_f=],

即点。的轨迹为以G为圆心，在平面BBgc内半径为1的四分之一圆，

同理可得，点。也可为以。为圆心，在平面力4CQ内半径为1的四分之一圆,

点。也可为以4为圆心，在平面444避内半径为1的四分之一圆，

13

故其轨迹长度为3、^'2"1=5兀，故D错误.

9.AD

答案第5页，共16页

【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出力，再逐项判断即得.

【详解】双曲线C:=-1=1的渐近线方程为以±2y=0,依题意，-?=-2，解得b=6,

4b~b2

对于A,C的虚轴长26=2及，A正确；

对于B,C的离心率6=睛+—二亚,B错误;

a2

对于C,点F(v16,o)到直线/:x+Tiph0的距禽二五,即1PH的最小值为6C

J『+(j2)2

错误；

对于D,直线/:x+&y=0的斜率为-孝，而点少不在/上，点P在/上，则直线夕尸的斜

率不等于-立，D正确.

2

故选：AD

10.AC

【分析】根据平移法则结合g(0)=/(。)得到9=^，得到A正确B错误；计算对称轴代入函

4

数得到C正确，根据范围计算两个函数的值域得到D错误，得到答案.

【详解】g(x)=sin2c+e=呵2》+>可，g(x)的图像与/(幻的图像关于y轴对•

称,

g(0)=/(0),即cos8=sin。，Sic],9=(,经检验，满足题意，故选项A正确，选项B

不正确;

的对称轴=再)满足

f(x)=sin(2x+：g(x)=sing(x)x2%+,=/+ATT,£eZ,

即2%+：=E,%wZ,/(%)=sin(2x°+；J=0,即g(x)的对称轴过/(x)的对称中心，故选

项C正确;

「1r"1r厂

当"W时，+一:'/(⑼的值域为-"梳』

当女,若]时,_3x兀g(〃)的值域为[OR,一冬1<Z[0,l],故选项D不正

2〃+—G

44^

确.

故选：AC

答案第6页，共16页

11.ABD

【分析】对A、C由题意可得导=与二＜，结合等差数列定义可得x1x；=4,则

不天芍

司+/,即可求出玉，结合与=e1』，两边取对数运

成等比数列，则可得-XM=*=

2X|x「

算可得$--q,即可得其公差；对D：由—=—=—，结合等比数列定义可得2x?二芭+%3,

玉W石

则王,占,七成等差数列，则可求出血，即可得W，即可得其公比.

x\再

【详解】当时，/（A）=er-ax2＞0,不合题意;

当。＞0时，分别画出歹=?*与y=a/的图象，如图:

x+xj2j

所以与二言Hne'e

对A、C：由题得一f二~—，即1―2=~

力/々演不£

若须,当，》3成等差数列，则2,丫2=内+七，所以X：.X；=X；,

所以X；,x；,石成等比数列，由X＜。＜工2〈巧，则一再修=其=王+%3

2

即—6$X3=X：+¥，所以（巴］+%

+1=0,

\XJ再

由二〈T,解得%=—3-2后，因为与二铲f

演

所以X1-$=-21n

答案第7页，共16页

则x2-x,=-2In（V2-1）,即数列xp.r2,x3的公差为—21n（拉—1）,

故A正确、C错误；

』十巧2X2

对B、D：由一一7=-F»若Wx；成等比数列，贝1」#,石=£,

再•x3x2

则户+-=«2'2,即有20=演+与，故外,々户3成等差数列，

又？=_3_2反则§=卜3一2拒『=（3+2闾二

故浮=43+2可=3+2后,即数列再2,x：,x；的公比为3+2夜，

故B、D正确.

12.60

【分析】根据正态分布，明确分布关于均值x=120对称，结合已知条件计算P（XQ05）,

再利用对称转化求出P（X>135）,进而求出实际人数.

【详解】已知数学成绩y~（120卬2）,则分布关于x=120对称，

^（^<120）=0.5,

已知?（1O5〈X&120）=0.45,则

P（X<105）=P（X<120）-P（105<<120）=0.5-0.45=0.05,

•.•120-105=135-120,根据正态分布的对称性可知：尸（X>135）=P（X<105）,

•••正态分布是连续分布，

P（X>135）=P（X<105）,故P（X>135）=P（X<105）=0.05,

已知总人数为1200,

二•数学成绩为135分以上的人数为：1200x0.05=60.

故答案为：60.

1,7?=1

17«

[3X4"",〃22

【分析】分析可知数列｛£｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列｛SJ的通项

答案第8页，共16页

S.,n=1,.

公式，再由%二；、，可得出数列｛4｝的通项公式.

3”7c

【详解】由题意可知&=q=l,由凤=2区可得S向=4S〃，

所以数列｛SJ是首项为1,公比为4的等比数列，所以S.=1X4”T=4”T,

当〃之2且〃wN♦时，4=S”—S.T=4K—4"2=3x4”"，

1,/j=1

6=1不满足上式，故A2

3x471>2

14.(10,+oo)

【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质,

结合对勾函数的单调性进行求解即可.

【详解】当时，因为函数》=》」=-。一，是实数集上的增函数，

所以函数/。)=工-。7是实数集上的增函数，

因为不是/(工)=X—的唯一零点，

所以/3=》|一厂=0=1=_L,

xi

即为是指数函数y="和反比例函数y=：的唯一交点的横坐标.

当。>1时，因为七是g(x)=xlog“x-l的零点，

所以且(》2)=*2唾32T=°=>1。8内=—，

设。(x)=log«x_B，

当。>1时，因为函数)，=-，/=1。8小是正实数集上的增函数，

X

所以/?(x)=log"是正实数集上的增函数，

即多是指数函数歹=1瞩X和反比例函数y=：的唯咬点的横坐标，

显然函数歹=10g,X与函数y=，的图象关于直线N=x对称，如下图所示：

答案第9页，共16页

显然由数形结合思想可知：0<.t<l<x,

Ixj【xj12

48的中点在P=x上,

1I

—+-

所以/11x.+X,

=>再+/=-+-=>X,+X,=----工吊=r

22

99

%+9,0=石+一，设厂（々）=为十一，

X]

由对勾函数的单调性可知该函数在。<再<1时，单调递减,

所以占+9七的取值范围是（10,+8）.

15.（1）证明见解析

⑵%

6

【分析】（1）设力。=4，则48=2。，尸。=2a,利用余弦定理结合勾股定理可证得ADLBD,

利用线面垂直的性质得出尸OJ.40,再利用线面垂直和性质定理可证得结论成立；

（2）以点。为坐标原点，DA.DB、OP所在直线分别为工、V、z轴建立空间直角坐标

系，利用空间向量法可求得平面2"与平面PQ4夹角的正切值.

【详解】（1）设力。=〃，则48=2a,PD=2a.

在AABD中，根据氽弦定理BD1=AD7+AB--2ADAB-cos乙DAB，

将力。=〃，AB=2a,/D43=£代入可得:

3

BD2=a2+（2a）2-2x«x2axcosy=a2+4<J-4/xg=3/,所以BD=&i.

贝|JAD2+BD1=a2+3/=4/=AB?，所以/。_L4。，

因为PQ1底面力8。。，4Ou底面/8CZ）,所以尸。J.4Q.

又因为尸0c8。=。，PD.BDu平面PBD,所以｛QJ,平面?80.

答案第10页，共16页

而P4u平面尸8。，所以

（2）因为PO_L底面48C'D,ADLBD,四边形48CO为平行四边形,

以点。为坐标原点，DA、DB、OP所在直线分别为％、N、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

由（1）知力。=。，BD=Ma，PD=2a,

则0(0,0,0),0,0),8(0,G.,0),尸(0,0,2“),

易知平面产〃力的一个法向量为而=（1,0,0）,

设平面尸"的一个法向量为万二（x，N，z）,

AB=(-a,\/^a,0),4P=(-a,0,2a),

ii^AB=-ax+\[3ay=0

则

n-AP=-ax+2az=0

取X=2VL可得方=（20,2,6卜

设平面218与平面0ZM的夹角为。,

c-n\2>/32>/3

则Mlcos<9=1,=-----7=--f=,

|w|-|n|lxx/19X/T9

所以sin。=Jl-cos?。=J_a

M,0sin。近丽历

故tan9=——-=-=■—==.

cosi9V192V36

⑵百

【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得:

答案第11页，共16页

(2)设垂直于8c于。，垂直于4C于£,4D与BE交于垂心H,则由垂心性质可

得NC£Z?=NCD4=90。、AAHB=ADHE=180°-ZCZABH=90。-NBAE,再利用正弦定

理可得4"=2/?cosN8/lE,即有旦=tanN比IE,即可得解.

AH

【详解】(1)由条件知：sinP+sin%-sin%=sin8sinC，由正弦定理可得条+从一＜=儿,

所以cosA="+'=1,则/=/；

2bc23

(2)设X。垂直于8。于。，8E垂直于4c于E,力。与8E交于垂心〃，

则/CEB=ZCDA=90°,故4AHB=4DHE=180°-ZC,

有/ABH=90°-NBAE,则sinZ.ABH=sin(90°-/BAE)=cos/BAE,

设出力8c外接圆半径为小在△力3H中用正弦定理：

AH=AB=AB=_AB_=?/?=AH

sinZABHs\nZAHBsin(1800-ZC)sinCcosZ.BAE'

故力H=2RcosNBjE,

【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可：

（2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可.

【详解】（1）设1号乘客坐在/•号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为?

则P=[+£+6+E，

AT7H(313121；1_

--1--x-

8

7R=0,

H十8

所以p=W+0=!

4882

（2）随机变量X所有可能的取值为0,1,2,4：

答案第12页，共16页

尸（*=4）=泻，

Pn(/Xv=2)=—1x-14--1x—1+-1xlI=—U

74342424

P(%=1)=lxlxl+lx2xl+ixl=±

,432434224

111

P(X=O)

43224

所以E(X)=£x4+〃x2+f~xl+Lo=上

V7242424246

18.（1）证明见解析

⑵当〃=1时，/（X）有且仅有I个零点；当〃22时，/（X）有且仅有2个零点

（3）证明见解析

【分析】（1）借助导数求导后,利用导数定义判断即可得:

（2）分〃=1及〃22讲行讨论，利用导数可研究函数单调性，再利用函数单调性与零点存在

性定理判断即可得;

I（।I

（3）令〃=2,可得一一＞|nx,再累加求和即可得证.

x)

【详解】（1）r^）=—

(n+\)x2

令g(x)=〃%"”-("+l)x+l，则/(工)=(〃+1)〃》"一(〃+1)=(〃+1)(〃工"-1),

而且X＞1,所以g'（x）＞。.

即g（x）在（l,+8）上单调递增，g（x）＞g（l）=o,

所以ra）＞。，即/（“在（L+8）上单调递增，

所以/（》）＞/⑴=0；

/（力=小一口-1小/”3=4*_之（）,

(2)①〃=1时,

所以/（X）在（0,也）上单调递增，又/⑴=0,

则此时/（X）有且仅有1个零点；

②〃22时，g'（x）在（o,白上小于0,在（出+8上大于0,

答案第13页，共16页

即g(x)在［。，出上单调电减，在居，+8上单调递增，

又g(0)=l>0,g⑴=0且。<1,则存在唯一的玉］。,用,g(x°)=()，

即g(x)在(0,.%)和(1,+3)上大于0,在(%,1)上小于0,

所以/(X)在(0,%)上单调递增，在(X。1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

又XT(r时，/(x)->-o),/(^0)>/(i)=o,

则/(x)在(0,%)上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点,

此时函数/'(X)有且仅有2个零点：

综上所述，当〃=1时，/(X)有且仅有1个零点;