第4章《三角形》分类填空题（提升训练）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》

章末综合知识点分类填空题专题提升训练(附答案)

一、认识三角形

1.如图，三角形ABC中，0,E是AC边上两点，连接3D,BE,数一数图中角(小于平角)

的个数，一共有个.

2.△ABC中，4A=60。，LB=40°,那么/C为°.

3.一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm,则它的周长为cm.

4.如图，在中，4B=70。，点。在BC的延长线上，Z.ACD=150°,则乙4=

(1)在△48F中，8r边上的高为_；

(2)在A/IOC中，40边上的高为一

6.将一副直角三角板如图方式摆放，则Na的度数为

7.△48C中，Z.BAC=50°,AD是BC边上的高，4E是，BAC的角平分线，若4=40°,

则乙BAD为度.

8.如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点4B,C恰

好在网格图中的格点上，则△48C的面积是.

二、全等三角形

9.已知8c三AOEF,△ABC的三边长度为4、%+下和2%,△DEF的三边长度为6、X、

x+2y,则△48C的周长是.

△ABC=△AED,若4871c=40°,Z.CAE=15°,则2。力。等于

.1

11.如图,AABC三4AED,点E在线段BC上,乙1=44。，则4BAE的度数为______.

12.如图，△ABCDEB：点E在边4B上，若AE=6,BC=9,则线段DE的长是______.

A

w

BC

13.如图，AB=4cm»BC=6cm»Z.F=Z.C,如果点P在线段8c上以2皿/秒的速度由B

点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CO运动,若经过，秒后，△

等，则t的值是_____.

三、特殊三角形全等的条件

14.如图，太阳能热水器的支架做成三角形，原理是

15.如图，AC.8。相交于点O,乙4=4。，请你再补充一个条件，使得AABC三△DC8,

你补充的条件是

16.如图=90。,AC=BC,AD1CE,BE1IE,垂足分别为。,9,AD=25,DE=18,

贝JIBE=,

17.如图，4〃±CD,且/B=CD,E,尸是40上两点，CE±AD,BF±AD.若CE=a,BF=b.

EF=c,则40的长为

AEFD

18.如图，乙ACB=90。，AC=BC,BE±CE丁点E,ADA.CET点、D,若AD=8,DE=5,

则△BC。的面积为.

19.如图，在△ABC中，/-ABC=90°,BC=2,AB=2BC./-CAD=90°,AC=AD,则△ABD

的面积是.

20.如图所示的网格是正方形网格,43,C,。,后是网格交点，则乙1十乙2的度数为

21.如图，在△4BC中，AD1BC,CELAB,垂足分别为。，E,ADfCE交于点、H，已

知E”=EB=8,AE=12,贝iJCH的长为.

22.如图，四边形4BC0中，AB||CD,AB=4,CD=10,AD=AEfBF=BC,Z-DAE=

4cBr=90。，则四边形4FBE的面积为.

23.如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长A8为6.8米，高BC始终与水平地面垂直.现

有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面EC推送至重心处在适当位置时,

无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱.此时，正方体货物点”到直线8C的距离为1米，

则正方体货物点G到直线4。的距离为一米.

E

24.如图，已知48=ACAF=AE,N瓦4/=NBAC,点C、D、E、产共线.则下列结论:

（!）△AFB=△AEC；@CA=CD；（3）^BFC=^EAF；@AC=BC,其中氐硼的是.（只

填序号）

25.如图，要判定△力FC三△OEB,根据给定的条件和指明的依据，添加条件

①若明IDE,CF=BE,,△AFC=△DEB(ASA)

②若｛FIIDE,CF=BE,,△AFC^△DEB(AAS)

③若CFIIBf,CF=BE,,△AFC=△DFF(SAS)

26.如图，已知=AC=AD,增加下列条件：（1）AB=AE；@BC=ED；

③NC=40；④NB=4D.其中能使△48C三△AED的条件有.

27.如图，力M是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度CN,他在

点。处立上一根竹竿CD,竹竿。。垂直于斜坡4M,在竿顶点。处垂下一根绳子DE,与斜坡

4M的交点是E当0E=.4。时，测得CE=2m,则CN的长为m.

28.如图，△ABC^P，ABAC=90°,AB=22,AC=28,点P以每秒1个单位的速度按B-A-C

的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C-A-8的路径运动，在运动过程中过点P作P~1

1于点F,点Q作QG_L1于点G,两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动.设

运动t秒时△PFA三aNGQ,则t的值是.

29.如图，在△ABC中，LACB=90°,AC=5cm,BC=2cm,CD为AB边上的高，点E从点、

3出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点£作8c的垂线交直线C。于点凡当点E运

30.如图，在和△A8C中，乙E=AC,DE=BC,AE=AC,ilA^-AFIDE,垂足

为F,OE交CB的延长线于点G,连接力G.若四边形4DG8的面积为24,AF=6,则FG的长

E

参考答案

1.解：以点4为顶点的角：乙4,共1个，

以点B为顶点的角：乙ABD,乙DBE,Z.EBC,/.ABE,乙DBC,Z.ABC,共6个，

以点D为顶点的角：乙ADB,乙BDE,共2个，

以点E为顶点的角：A.BED,乙BEC,共2个，

以点C为顶点的角：4C,共1个，

1+64-2+2+1=12,

故答案为:12.

2.80

【分析】根据三角形内角和定理得a二180。一4力一48二180。一40。-60。=80。，解答

即可.

本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键.

【详解】根据三角形内角和定理得4c=180°=180°-40°-60°=80°,

故答案为：80.

3.12

【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思

想是解题的关键.

分腰长为2cm或5cm两种情况，分别利用三角形的三边关系进行判断，并求周长即可.

【详解】解：当腰长为2cm时，三边分别为2cm、2cm、5cm,由于2+2=4V5,不满足

三角形任意两边之和大于第三边，故不能构成三角形；

当腰长为5cm时，三边分别为5cm、5cm、2cm,由于5+2=7>5,5+5=10>2,2+5=

7>5,满足三角形三边关系，能构成三角形，周长为5+5+2=12cm.

故答案为12.

4.800/80®

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及平角的定义，根据点。在BC的延长线上，

利用平角等于180。可求出乙4C8,再利用三角形的内角和定理即可求出乙4.

【详解】解:田点D在BC的延长线上,

^Z.ACD+Z.ACB=180°,

国4ACB=30°,

0Z/14-ZS+Z.ACB=180',

团〃=180°-70°-30°=80°,

故答案为:80°.

5.AE/EACD/DC

【分析】本题考杳了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之叵的线

段叫做三角形的高.

根据三角形的高的定义作答即可.

【详解】解：(1)在AAB尸中，B/边上的高为4E.

故答案为：AE；

(2)在△ADC中，边上的高为CD.

故答案为：CD.

6.750/75度

【分析】本题考杳了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出乙2,N1的度数，再

根据对顶角的性质可得答案.

【详解】解：如图，

0Z2=18OO-9O°-3OO=6O°,

0a=Z1=180°-45°-z2=75°,

故答案为：75°

7.65或15/15或65

【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，

不要漏解.

先由角平分线得到N84E=NBAC=25。，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计

算求解.

【详解】解：当点。在C8延长线上时，如图:

B

/D^

EL4E是乙8AC的角平分线，L.BAC=50°,

^Z.BAE=-Z-BAC=25°,

2

^BAD=乙DAE-Z.BAE=40°-25°=15°；

当点。在BC延长线上时，如图：

团4E是乙艮4c的角平分线，LBAC=50°,

13mly的”25。,

^BAD=乙DAE+LBAE=40°4-25°=65°,

^BAD=65°或15。，

故答案为:65或15.

8・I

【分析】本题考查了借助网格求三角形的面积，把△4BC放在2X3的矩形中，用矩形的面

积减去三个小直角三角形的面积即为448。的面积.

【详解】解：如下图所示，把△ABC放在2x3的矩形中，

M^HC=2X3-1X1X2-1X2X1-|X1X3=1.

C

B

故答案为:

9.18

【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边

长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可.

【详解】解：0AABC^DEF,根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下：

x=4

情况1：列方程组6=x+y

X+2y=2x

解得

此时△/18C的三边长为4,x+y=6,2x=8,满足三角形三边关系，符合题意；

x=4

情况2：列方程组2%=6,由2%=6得x=3,与x=4矛盾，舍去；

x+2y=x+y

x=2x

情况3：列方程组6=x+y,

x+2y=4

由x=2x得％=0,边长不能为0,不符合题意，舍去；

%=%+y

2x=6,

{x+2y=4

由x=x+y得y=0,则x+2y=%=4,此时2x=2x4=8,这与2x=6矛盾，舍去，

故AABC的周长为4+6+8=18.

10.55

【分析】根据全等三角形的性质得到匕弘。=4847=40。，即可求出乙以。的度数.

【详解】解：0A/1SC=£,AED,Z.BAC=40°,

^Z.EAD=乙BAC=40°,

^Z-CAE=15°,

0ZC/1D=4OO+15O=55O.

11.44。/44度

【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出上34?=4区40,所以

^BAE+^CAE=^1+^CAE,从而得到4区4E=匕1=44。，熟练掌握全等三角形的性质是

解题的关键.

【详解】解：^ABC^^AED,

团NBAC=Z-EAD,

团/BAE+Z-CAE=zl+Z.CAE,

团，8AE=Z1=44°,

故答案为:44°.

12.15

【分析】由全等三角形的性质推出DE=48,EB=BC=9,求出48=15,即可得到DE的

长.

【详解】解：孤ABC三ADEB,

WE=AB,EB=BC=9,

EL4E=6,

048=AE+BE=15,

WE=15.

13.1或1.5

【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关铤.由

题意,可知BP=23CP=6-2t,然后分△力BP三ZiPCQ,或△ABP三△QCP两种情况分

类讨论即可得出答案.

【详解】解：团点P在线段BC上以2cm/秒的速度由8点向。点运动，同时，点Q从。点出

发沿射线运动，运动时间为，秒，

0SP—2t,CP=6—2t,

^ABP^^CQP^,

[?]△ABP=△PCQ,WcAABP=△QCP,

当AABP空APCQ时，PC=AB,即6—2£=4,解得£=1；

当AABP三AQCP时，BP=CP,即2t=6-23解得t=1.5：

综上所述，t的值是1或1.5；

故答案为：1或1.5.

14.三角形具有稳定性

【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能

唯一确定下来，故三角形具有稳定性.

【详解】解：根据题意可得，太阳能热水器的支架做成三角形，这是利用了三角形的稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性.

15.乙ABC=CDCB（答案不唯一）

【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS,SAS,AAS,ASA,HL,即可解答.

【详解】根据题意可得乙4=ND,BC=CB,

根据全等三角形的判定定理，

可补充的条件为448c=LDCB,则4ABCDCB(AAS)；

可补充的条件为乙4cB=LDBC,则4ABC=△DCF(AAS).(答案不唯一)

16.7

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意找出等量关系证明三角形全等是解题

的关键.

由垂直以及直角关系，先证小乙4CD=乙。8£,结合AC=8C,^ADC=Z.CEB=90°,证得

△ACD三ACBE,由全等的性质，得出对应线段长度相等,可求出C。的长度,即为BE的长

度.

【详解】解：团44cB=90。，

国乙ACB=乙BCE+Z.ACD=90°

回BE1CE,

^LBEC=90°,

配BCE+乙CBE=90°,

团，BCE+LACD=Z.BCE+乙CBE,

0Z71CD=/-CBE»

又团4c=BC,Z-ADC=乙CEB=90°,

^ACD三△CBE(AAS),

13/iZ)=CE=25,BE=CD,

WE=18,

圆CD=AD-DE=7,

OBE=CD=7,

故答案为：7.

17.a+b—c

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，只要证明ZiAB/斗CDE,可得而=CE=a,

BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.

【详解】解：西B1CO,CELAD,BFLAD,

0Z/1FS=MED=90°,z/1+40=90°,zC+ZD=90%

团乙4=乙C,

斯8=CD,

圆ZiABF三△CDE(AAS),

国AF=CE=a,BF=DE=b,

0EF=c,

Eli4D=AF+DF=a(匕―c)=a+b—ct

故答案为：Q+b—c.

18.I

【分析】本题考查全等三角形的判定及性质.

通过全等三角形的判定定理证明△AC。三ACBE,从而证明CD=BE,AD=CE=8,由

5酒血=1。85即可求解・

【详解】解：v/-ACB=90°,

乙BCE+LECA=90°,

•••J.CE于点D,

.%Z-CAD+Z.ECA=90。，

二Z.CAD=Z-BCE.

又•••Z.ADC=乙CEB=90°,4c=BC,

:AACD三△CBE(AAS),

•.CD=BE,AD=CE=8^

:.BE=CD=CE-DE=8-S=3,

119

S^BCD=30。,BE=2*3x3=3.

故答案为：I

19.8

【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,

得出A8=DE=4,即可求解.

【详解】解:过点。作DE_L4B于点后如下图:

ED

(HMABC中，乙48c=90。，BC=2,AB=2BC,

团45=2BC=4,

•••Z.CAD=Z,CAB+/.DAE=90。，4DAE+/.ADE=90°,

•••Z.CAB=匕ADE,

•••AC=AD,乙ABC=£DEA=90°,

•••Rt△ABC=Rt△DEA(AAS),

:.AB=DE=4»

•••S^ABD=：xABxDE=1x4x4=8»

故答案为：8.

20.90°

【分析】本题考查用SAS判定三角形全等，从而将N1与Z2转移到同一个三角形中求得.

【详解】解：如图，在和中：

0z2=Z.CBF,

0Z14-z.2=Z.1+乙CBF=90°.

故答案为：90。.

21.4

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.先

根据AAS判定AAEH三ACEB,可得出AE=CE,从而得出CH=CE-EH=4.

【详解】解：在△4BC中，ADIBC,CELAB,

^AEH=乙ADB=90°,

^EAH+Z.AHE=90。，LDHC+乙BCH=90°,

团NE凡4=乙DHC,

^£EAH=£DCH,

在△BCE和AHAE中，

乙BEC=Z-HEA

乙BCE=乙HAE,

BE=HE

团△力EH三△CEB(AAS),

ME=CE,

I3EH=E8=8,AE=12,

^CH=CE-EH=AE-EH=12-8=4.

故答案为:4.

22.12

【分析】本题主要考杳了公等三角形的判定与性质,解撅的关键是正确添加辅助线构造“三

垂直"全等模型.

过点D,居C,E分别作CM148,F4148,C/14B,EG1AB,交直线力8于点证明

△AGE三ADMAAFHB三ABIC,则设AM=EG=%,FH=BI=y,则M/=HM+/B+

BI=4+x+y,则CZ)=M/=4+%+y=10,求出x+y=6,再由四边形力FBE的面积=

SM8F+S-8E，然后整体代入求解即可・

【评解】解：过点O,F,C,E分别作OMJ.49,交直线于点

=/.AGE=乙FHB=乙1=90°,

^LDAE=乙CBF=90°,

0Z1=Z2=90°-43,z4=Z5=90°-46,

团40=AE.BF=BC.

团△力GE三△DMA(AAS),△"HB三aB/ClAAS),

圆AM=EG,FH=Bl,

设力M=EG=x,FH=Bl=y,

国Ml=AM+AB+Bl=x+4+y,

^AB||CD,DMLAB,Cl1AB,

0CD=MI=4+x+y=10,

取+y=6,

(3四边形的面积=S“BF+S^ABE，

因四边形的面积=\ABXFH+^ABxEG

=；4B(/77+EG)

乙

1

=-X4X(x4-y)

1

=-x4x6

L

=12,

故答案为：12.

23.5.8

【分析】本题主要考查重心的概念及全等三角形的性质与判定，熟练掌握重心的概念及全等

三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点H、G作HF1BC.GP1BC,垂足为点F、P,

连接GH,交BC于点O,则有4”/。=4GP。=90。，由重心可知。〃=OG,然后可得^HFO三

△GPO(AAS),则有GP=HF=1m,进而问题可求解.

【详解】解：分别过点H、G作HF1BC,GP1BC,垂足为点尸、P,连接G〃，交于点O,

如图所示：

0Z/7FO=乙GPO=90°,

根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O,

团OH=0G,

田上HOF=乙GOP,

0AHFO^AGPO(AAS),

团GP=HF=lm,

由题意可知AOIIBC.AB=6.8m,

团正方体货物点G到直线4。的距离为6.8-1=5.8m；

故答案为5.8.

24.①③

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.利用SAS证明三△4EC,利用全等三

角形的性质和三角形内角和定理，逐个判定即可求解.

【详解】解：0乙比4尸=4BAC,

^Z.FAB+Z-BAE=/.BAE+Z.EAC,

^\Z-FAB=Z.EAC,

在△力FB与△/1EC中，

AF=AE

乙FAB=Z.EAC,

,AB=AC

0AAFBAEC(SAS),故①正确；

没有理由能证明CA=CD,故②错误；

^FBA=LECA,乙BDF=LCDA,

又®NF®/+乙RDF+乙RFD=/.ECA+^CDA+4CAD=180°,

^Z.BFD=Z.BAC,

^Z.EAF=Z.BAC,

^Z-BFC=^EAF,故③正确；

^AB=AC,无条件能证明△ABC是等边三角形，即不能证明AC=8C,故④错误，

团①③正确，

故答案为：①③.

25.4F=4E或乙力。尸=乙DBEZ.F=4E或/=乙DBEAC=DB

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的性质.

①证明NA=/D,结合CF=BE与判定方法可得结论.

②证明ZA=乙D,结合CF=8E与判定方法可得结论.

③证明4AC尸=乙DBE,结合CF=8E与判定方法可得结论.

【详解】解：①时1f|已后

团NA=z.D,

0CF=BE,

补充乙F=乙E,

^ACF=乙DBE,

0AAFC=△DEB(ASA)

补充乙4CF=乙DBE,

0ZF=乙E,

0AAFC=△DEB(ASA)

故答案为：ZF=LE^LACF=Z.DBE

(2)^AF\\DE,

团乙4=40,

0CF=BE,

1卜充乙5=NE或44CF=LDBE,

0AAFC=△DEB(AAS)

故答案为：ZF=LE^LACF=LDBE

(3)^CFWBE,

^ACF=乙DBE,

0CF=BE,

添力IL4c=DB,

团△4/7C三△DEB(SAS),

故答案为：AC=DB.

26.①③

【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可.

【详解】解：团乙R4C二4BA。，

0ZF/1C4-Z,BAE=乙BAD+^BAE,^i^BAC=Z.EAD,

①当4B=/E时，

在△ABC和△力ED中，

(AC=AD

\^BAC=Z.EAD,

(AB=AE

(?]△ABC三△HEO(SAS)：

②当8c=ED时,不能判断^ABCAED；

③当乙。=4。时，

在△力8c和△AE。中，

LBAC=Z.EAD

AC=AD,

Z.C=乙D

团△48。三△4E0(ASA)；

④当=而4c=<0,所以NB与ND不是对应角，所以不能判断△力BC三△TIED.

综上所述，能使△ABCWANED的条件有①③.

【点睛】注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的

参与，若有两边•角对应相等时，角必须是两边的夹角.

27.2

【分析】根据题意，得0E_!_/!&CNLAB,得到CNIIDE,于是得到NOEC二4/lCN,再

证明△DCE2ACN(AAS),得到CE=CN=2m,解答即可.

本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性

突破口.

【详解】解：根据题意，得DE1AB,CNLAB,

团CN||DE,

^DEC="CN,

团4OCE=乙ANC=90°,

(Z.ACN=乙DEC

^ANC=乙DCE,

(AC=DE

0ADCE=A/1C/V(AAS),

0CF=CN=2m,

故答案为：2.

28.6或三

【分析】分类讨论：①当点P在84上，点Q在AC上，②当P在力。上，