上海大学《高等数学》课件-第八章

2（1）邻域一、多元函数的概念3（2）区域例如，即为开集．45连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，6有界闭区域；无界开区域．例如，7（3）聚点1内点一定是聚点；说明：2边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．83点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．9（4）n维空间1n维空间的记号为说明：2n维空间中两点间距离公式103n维空间中邻域、区域等概念

特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为11（5）二元函数的定义12类似地可定义三元及三元以上函数．1314例1

求的定义域．解所求定义域为15二元函数的图形通常是一张曲面.16例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:1718二、多元函数的极限19定义120说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限21例2

求证证当时，原结论成立．2223例5

求极限解其中242526例7

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．27确定极限不存在的方法：2829三、多元函数的连续性30定义3313233例9讨论函数在(0,0)处的连续性．解34例10

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．35闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理36

多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．37多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义38381、2、求解:则原式＝练习题39393、讨论函数在解因为沿时,随k变化而变化，即不存在，所以在处的不连续。处的连续性。40404、证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得42平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容43全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念441、区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域．（2）区域45（3）聚点（4）n维空间462、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．473、多元函数的极限48说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算495、多元函数的连续性50

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元连续函数的性质517、偏导数概念525354８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.55９、全微分概念56多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导5710、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.5811、复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.596012、全微分形式不变性

无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.61隐函数的求导公式13、隐函数的求导法则626364656614、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面67(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为6815、方向导数记为69三元函数方向导数的定义70梯度的概念71梯度与方向导数的关系7216、多元函数的极值定义73多元函数取得极值的条件

定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点747576条件极值：对自变量有附加条件的极值．77典型例题1、求极限法一原式法二

令则,原式法三令则实际上若令则原式

所以极限不存在！前面三法均不正确,时，下列算法是否正确?原式787980解8182837、证明:提示:

利用在(0,0)连续知又在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.847、证明：在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.而当时,

f

在点(0,0)不可微!858、.已知求出的表达式.

解法1.令即解法2.

以下与解法1相同.则且869、解878810、

设其中f与F分别解法1.

方程两边对x

求导,得具有一阶导数或偏导数,求89解法2.,求方程两边求微分,得化简消去即可得9011、解91于是可得,9212.设具有二阶连续偏导数,且求解:93解13、949596979815、解分析:99得10010116、在第一卦限内作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标.解:

设切点为则切平面的法向量为切平面方程为即在三坐标轴上的截距102例16.在第一卦限内作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标.问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数103令由实际意义可知为所求切点.104解105106测验

题107108109110111112113测验题答案114115116第二节偏导数与全微分一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数三、全微分的定义四、可微的条件117一、偏导数的定义及其计算法118定义119120121122123124(3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处125126解127证原结论成立．128解129不存在．130证131有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解132３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，1331344、偏导数的几何意义如图135几何意义:136纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数137解138解139问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？140解141由一元函数微分学中增量与微分的关系得三、全微分的定义142全增量的概念143全微分的定义144145四、可微的条件146证总成立,同理可得147148一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，149150事实上151152多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导153解所求全微分154解155解全微分的定义可推广到三元及三元以上函数156157证令则同理158不存在.159160161全微分在近似计算中的应用也可写成162解由公式得163偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）小结多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）练习题1641、求曲线在点处的切线和轴正向所构成的倾角.解所给的曲线是曲面与平面的交线。该曲线在点处的切线关于y轴的斜率为所以，曲线在处的切线与

y轴正向所成的倾角为1651652、证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程166166函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.3、选择题167半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

4、有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

求此圆柱体168第三节多元复合函数的求导法则一.复合函数求导的链式法则二.复合函数的全微分169第三节多元复合函数的求导法则一元复合函数求导法则推广（1）多元复合函数求导的链式法则（2）多元复合函数的全微分微分法则170一.复合函数求导的链式法则定理如果函数都在点

可导,函数在点处可微,在点则复合函数证:设t

取增量则相应中间变量有增量可导,且有链式法则171令,则有(全导数公式)时,根式前加“–”号)172推广:1）中间变量多于两个的情形。例如则在它们都可微的条件下2）中间变量是多元函数的情形。例如则在它们都可微的条件下173又如当它们都具有可微条件时，则有注意:这里表示固定

y

对x

求导表示固定

v

对x

求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同174例1.设求

.解：175例2.求解:176例3.设

求全导数解:177解令记同理有178于是179180181二.复合函数的全微分设函数的全微分为这说明,无论

u,v是自变量还是中间变量,其全微分表达式一样,这性质叫做全微分形式不变性

.则复合函数都可微,182例6.解:所以183内容小结一.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,二.全微分形式不变性不论是自变量还是因变量,1841841、已知解:练习题185185证明2、设当时，于是：证明：因此186186求设函数解:由题设3、187第四节隐函数求导法一、一个方程的情形二、方程组的情形188一、一个方程的情形隐函数的求导公式189190解令则191192解令则193194195196解令则197198思路：解令则199整理得200整理得整理得201二、方程组的情形202203解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项204将所给方程的两边对求导，用同样方法得205206（分以下几种情况）隐函数的求导法则三、小结练习与思考题解：2082082、设解:

利用微分形式的不变性有是由方程所确定，209209分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,设解:两个隐函数方程两边对x

求导,得(2001考研)解得因此3、210第五节多元函数微分法的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线三、小结211设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面212考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为213曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.214解切线方程法平面方程2151.空间曲线方程为法平面方程为特殊地：2162.空间曲线方程为切线方程为法平面方程为217218所求切线方程为法平面方程为219220设曲面方程为曲线在M处的切向量二、曲面的切平面与法线221

在光滑曲面

上通过点M

的任何曲线在点M处的切线都在同一平面上.命题:事实上,因两边对t求导,222表明这些切线都在以的同一平面上，从而切平面存在

.223曲面

在点M

的法向量法线方程切平面方程224解令切平面方程法线方程225特殊地：空间曲面方程为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令226其中则法向量的方向余弦为227解切平面方程为法线方程为228解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得229因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)230使曲面

与球面例7.确定正数在解:二曲面在

M

点的法向量分别为二曲面在点M

相切,则有又点M在球面上,于是有相切.∥231空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结232练习与思考题解：设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程233233例2：求曲线在点M（1，2，4）处的切线方程和法平面方程。解：取为参数，则切线方程：法平面方程：即234上求一点,使该点处的法线垂直于3、在曲面并写出该法线方程.提示:

设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上法线方程为236第六节方向导数与梯度一、问题的提出二、方向导数的定义三、梯度的概念四、小结237实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出238

讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义（如图）239当沿着趋于时，是否存在？240记为241242243244证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到245故有方向导数246解247解由方向导数的计算公式知248故249推广可得三元函数方向导数的定义250251解令故方向余弦为252故253三、梯度的概念254255结论256在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量257等高线的画法播放258例如,259梯度与等高线的关系：260

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数261262解由梯度计算公式得故263四内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为264•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l

上的投影.2、梯度3、关系265练习与思考题265指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A1、函数提示:则2662、求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.

:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为解：2672673、设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数解：268268例1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性269269例4.试证处矢径r的模,证：270等高线的画法271等高线的画法272等高线的画法273等高线的画法274等高线的画法275等高线的画法276等高线的画法277等高线的画法278等高线的画法279第七节多元函数的极值与最值一、问题的提出二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法四、内容小结280281实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出282二、多元函数的极值和最值2831、二元函数极值的定义284284例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.2852、多元函数取得极值的条件证286287

仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：288289例4.求函数解:第一步求驻点.

得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;在点(1,2)处不是极值;解方程组的极值.求二阶偏导数290例4求函数驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.的极值.291例5.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值可能为因此z(0,0)

不是极值.因此当时,为极小值.正负0在点(0,0)292293求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.

与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值294解如图,295296297解由298无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.299例8.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为,高为时，水箱所用材料最省。300实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法301条件极值极值问题无条件极值:对自变量只有定义域的限制条件极值:对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制条件极值的求法.在条件下,求函数的极值.方法一代入法从条件中解出求一元函数在条件下,求函数的极值转化的无条件极值问题302方法二.拉格朗日乘数法在条件下,求函数的极值.分析:设条件方程则问题等价于一元函数极值点必满足可确定隐函数极值问题,极值点必满足故303在条件下,求函数