中考九年级数学 专题训练-二次函数与一次函数综合

中考九年级数学专题训练--二次函数与一次函数综合一、单选题1．在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（）A． B．C． D．2．已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则aA．1<x1<C．x1<1<x3．如图，抛物线y1=−x2+4xA．0<x<2 B．x<0或x>2C．x<0或x>4 D．0<x<44．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=axA． B． C． D．6．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝(a+b+c)(a−b+c)xA． B．C． D．7．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=12x2A．0个或1个 B．0个或2个C．1个或2个 D．0个、1个或2个8．二次函数y＝ax2与一次函数A． B．C． D．9．如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M=y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M=12的值是﹣22或其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．410．关于抛物线y1=xA． B．C． D．二、填空题11．如图，一次函数y=ax+b(a<0，b>0)的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y=−kx+k(k>0)的关联二次函数是12．二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是．13．已知函数y=(x−5)2−114．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=12（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是三、综合题15．对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L.现有点A(2，0)和抛物线L上的点B(－1，n)，请完成下列任务：（1）（尝试）当t=2时，抛物线y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值.（4）（发现）通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为.（5）（应用）二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x23x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.16．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣12（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．17．如图，若m是正数，直线l：y＝－m与y轴交于点A；直线a：y＝x+m与y轴交于点B；抛物线L：y＝x2+mx的顶点为C，且L与x轴左交点为D．（1）若AB＝12，求m的值，此时在抛物线的对称轴上存在一点Ｐ使得△OBP的周长最小，求点Ｐ坐标；（2）当点C在直线l上方时，求点C与直线l距离的最大值；（3）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出m＝2020和m＝2020.5时“美点”的个数．18．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC。点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m。（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形。若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？19．如图①，二次函数y=ax2−2ax−3的图像与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧），顶点为C，连接BC并延长交y轴于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在x轴上方有一点H，HA⊥AC，且HA=AC，连接CH并延长交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）如图②，折叠△ABC，使点C落在线段AB上的点C'处，折痕为EF.若△C'EF有一条边与x轴垂直，直接写出此时点C'20．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣12x2（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】y=−3x+312．【答案】﹣2≤x≤113．【答案】k=-1或k>314．【答案】①③④15．【答案】（1）（1，﹣2）（2）解：∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得y=0，∴点A（2，0）在抛物线L上（3）解：将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6（4）A（2，0）、B（﹣1，6）（5）解：将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上.将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，即抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，∴二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”16．【答案】（1）解：由直线y=﹣12x+1可知A（0，1），B（﹣3，5根据题意得：c=19a−3b+c=解得：a=−5则二次函数的解析式是：y=﹣54x2（2）解：方法一：设N（x，﹣54x2﹣17则M（x，﹣12∴MN=PN﹣PM=﹣54x2﹣174x+1﹣（﹣=﹣54x2﹣15=﹣54（x+32）2+则当x=﹣32时，MN的最大值为45方法二：设N（t，﹣54∴M（t，﹣12∴MN=Ny﹣My=﹣54t2∴MN=﹣54当t=﹣32时，MN有最大值，MN=（3）解：方法一：连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即﹣54x2﹣154x=且（﹣12x+1）2+（x+3）2=25解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分方法二：若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN=BC=52即﹣54t2∴t1=﹣1，t2=﹣2，①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴KNC=4−0−1+3∵KAB=﹣12∴KNC×KAB=﹣1，∴NC⊥BM．②t2=﹣2，N（﹣2，52∴KNC=52−0−2+3=52，K∴KNC×KAB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．17．【答案】（1）解：当x＝0吋，y＝x+m＝m，∴B（0，m），∵AB＝8，而A（0，－m），∴m－（﹣m）＝12，∴m＝6．∴L：y＝x2+6x，∴L的对称轴x＝－3，又知Ｏ、D两点关于对称轴对称，则OP=DP∴OB+OP+PB=OB+DP+PB当B、P、D三共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x＝－3吋，y＝x+6＝3，∴P（－3，3）（2）解：y＝（x+m2）2－m∴L的顶点C(−∵点C在l上方，∴C与l的距离−m∴点C与l距离的最大值为1（3）m＝2020时“美点”的个数为4042个，m＝2020.5时“美点”的个数为1011个18．【答案】（1）解：由二次函数交点式表达式得：y=a（x+3）（x-4）=ax2-ax-12a，

∴-12a=4，

∴a=-13，

∴抛物线的表达式为y=-13x2+（2）解：存在，理由如下：

∵点A、B、C的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），

∴AC=5，AB=7，BC=42，∠OAB=∠OBA=45°，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将点B、C的坐标代入y=kx+b，

得：4k+b=0b=4，

解得k=−1b=4，

∴直线BC的解析式为y=-x+4，

设直线AC的解析式为y=k1x+b1，

将点A、C的坐标代入y=k1x+b1，

得：−3k1+b1=0b1=4，

解得k1=43b1=4，

直线AC的表达式为：y=43x+4，

设直线AC的中点为K（-32，2），

∵过点K与AC垂直的直线的表达式中的k值为-34，

∴设过点K与AC垂直的直线的表达式为y=-34x+q，

把点K的坐标代入得：-34×（-32）+q=2，

解得q=78，

∴过点K与AC垂直的直线的表达式为y=-34x+78，

①当AC=AQ时，如图，

则AC=AQ=5，

设QM=MB=n，则AM=7-n，

由勾股定理得：AM2+QM2=AQ2，

∴（7-n）2+n2=25，

解得n=3或4（舍去4），

故点Q（1，3）；

②当AC=CQ时，如图1，

∴CQ=5，则BQ=BC-CQ=42-5，

（3）解：设P（m，-13m2+13m+4），则Q（m，-m+4），

∵OB=OC，

∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，

∴PN=PQsin∠PQN=22（-13m2+13m+4+m-4）=−26m−22+19．【答案】（1）解：函数的对称轴为x=−b2a=1，BC=2CD，xB0=a×32﹣2a×3﹣3，解得：a=1.故二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3…①，则顶点C的坐标为（1，﹣4），令y=0，则x=﹣1或3，即点A的坐标为（﹣1，0）；（2）解：过点A作MN∥y轴，分别过点H、C作HM⊥MN、CN⊥MN于点M、N，如图1.∵∠MAH+∠NAC=90°，∠NAC+∠ACN=90°，∴∠MAH=∠ACN，∠HMA=∠CNA=90°，AC=AH，∴△HMA≌△ANC（AAS），∴AM=NC=2，MH=AN=4，∴点H的坐标为（3，2），设直线HC的解析式为：y=mx+n，把H、C的坐标代入得：2=3m+n−4=m+n，解得：m=3n=−7，故直线CH的表达式为：y=3x﹣7…②，联立①②并解得：x=1y=−4（3）解：①当C'F⊥x轴，设：函数对称轴交x轴于点G，如图2，则tan∠GBC=GBGC=12，设：BC'=x，则FC'=2x=FC，则BF=C'B2+C'②当EC'⊥x轴，同理可得点C'的坐标为：（9﹣45，0）.综上所述：点C'的坐标为（45−7，0）或（9﹣4520．【答案】（1）解：在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2（2）解：∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，