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(2025年)(完整版)实变函数题库集答案一、集合与测度部分1.集合的运算与性质设A,B,证明：先证A∩任取x∈A∩(B∪C)，则x∈若x∈B，因为x∈A，所以若x∈C，因为x∈A，所以再证(A任取x∈(A∩B若x∈A∩B，则x∈A且x∈B，因为若x∈A∩C，则x∈A且x∈C，因为综上，A∩2.可数集与不可数集证明区间(0证明：采用反证法。假设(0,1)是可数集，则可将将每个写成十进制小数形式=0.·s构造一个数x=0.·显然x∈(0,1)，但对于任意的n∈N，x≠q，因为x与3.测度的基本性质设m是勒贝格测度，,是可测集，证明m(证明：因为=(∩)∪(同理，=(∩)∪(又∪=()∪()∪(∩将m()=m(结合m(∪)二、可测函数部分1.可测函数的定义与判定设f(x)是定义在可测集E上的实值函数，证明f(x证明：必要性：设f(x)是可测函数。根据可测函数的定义，对于任意开集G⊂eqR充分性：要证明对于任意开集G⊂eqR，(G则(G而((已知x∈E:f(x)2.可测函数的收敛性设(x)是可测集E上的可测函数列，且(x)几乎处处收敛于f(x)，即m(x∈E证明：记=x对于固定的k，是单调递增的可测集列，且=Ex因为m(x∈对于任意的δ>0，存在，使得m令=，则E=由测度的次可加性，m(对于任意的ϵ>0，取K使得<ϵ。当x∈⊂eq时，对于所有m≥，有三、积分理论部分1.勒贝格积分的定义与计算设f(x)=解：根据勒贝格积分的定义，∈f因为∈0dm将[0,1]进行分割构造简单函数列=,]，其中,]li根据牛顿莱布尼茨公式，∈x所以∈f2.积分的性质设f(x)和g(x证明：因为∈f由绝对值不等式|∈设h(x)=f所以|∈3.积分的极限定理设(x)是可测集E上的非负可测函数列，且(x)单调递增收敛于证明：因为(x)单调递增收敛于f(x)显然∈(x)dm≤∈又因为(x)≤f(x)另一方面，对于任意非负简单函数φ(x)，0

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