八年级数学上册1431提公因式法同步教学设计

八年级数学上册1431提公因式法同步教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1.理解因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法之间的互逆变形关系，能准确判断一个变形过程是否为因式分解。【基础】【高频考点】

2.深刻理解公因式的概念，能够从系数、字母、指数三个维度完整、准确地确定多项式的公因式。【重要】

3.熟练运用提公因式法将多项式分解因式，做到步骤完整（一定二提三查）、结果彻底，并能解决简单的实际应用问题。【非常重要】【必考】

（二）过程与方法

1.经历从整式乘法到因式分解的逆向思考过程，发展逆向思维能力和抽象概括能力，体会化归思想在数学学习中的核心地位。

2.通过类比数的最大公约数来探索多项式公因式，渗透类比与迁移的数学方法，构建知识体系。

3.在小组合作与交流辨析中，培养观察、比较、归纳以及准确表达数学思考的语言能力。

（三）情感态度与价值观

1.在探究提公因式法的过程中，激发对数学内部逻辑一致性的好奇心和求知欲，养成严谨、细致的运算习惯。

2.通过成功解决由浅入深的因式分解问题，建立数学自信，体验“化繁为简”的思维乐趣。

3.感悟数学语言的简洁美与对称美，通过介绍古代数学典籍（如《九章算术》）中的算例渊源，增强民族认同感与文化自信。

二、教学重点与难点

（一）教学重点

1.公因式的本质定义及“三看”确定法（看系数、看字母、看指数）。【非常重要】【高频考点】

2.提公因式法分解因式的标准操作流程与书写规范。【重要】【热点】

（二）教学难点

1.当多项式的某一项恰好是公因式本身时，提取后该项剩余“1”的辨析与处理。【难点】【易错点】

2.多项式首项系数为负数时，如何正确提取负号并使括号内首项系数为正。【难点】

3.公因式是隐含的多项式（如互为相反数的因式）时的整体识别与等价变形。【进阶难点】

三、教学准备

1.教师准备：人教版八年级上册数学教材及教师用书；整合制作多媒体课件（含微课片段“寻找隐藏的公因式”）；几何画板动态演示整式乘法与因式分解的互逆关系；实物展台；三色粉笔；小组合作探究任务卡；课堂即时反馈系统（如希沃易课堂或班级优化大师）。

2.学生准备：完成预学单（涵盖整式乘法计算、因数分解类比填空）；共学单（供课内探究活动记录）；延学单（课后分层作业）；双色笔；常规学习用具。

四、教学实施过程

（一）课前预学，定位起点（约3分钟）

1.预学任务精准设计：教师通过数字化平台推送预学单，任务一：计算3.6×2.5+3.6×7.5，并回顾乘法分配律的字母表达式；任务二：填空a(b+c)=，反过来，ab+ac=；任务三：思考并写下“你认为因式分解可能与什么已学知识有关”。【基础】

2.预学数据分析：教师课前调取学生作答情况，重点统计任务二逆向填空的正误率，筛选典型错解（如将ab+ac写成a×b+a×c，未转化为积的形式）。将典型错例匿名处理后存入课件。

3.课堂导入与反馈：开课后30秒内，教师展示典型错例并提问：“这位同学写出的形式和我们今天要研究的内容有什么联系？为什么它不是因式分解？”通过认知冲突，迅速聚焦核心概念——整式乘法与因式分解的互逆关系，并顺势板书课题。

（二）情境建模，诱发真知（约5分钟）

1.真实情境重构：学校计划在长为a米、宽为b米的长方形劳动实践基地中，开辟三条宽均为c米的纵向实验田埂，将基地分成四个矩形种植区。如何用两种不同形式的代数式表示四个种植区的总面积？【热点】

2.学生自主列式：学生独立尝试，得出两种典型表达——总面积=ab－3ac，或总面积=a(b－3c)。教师追问：“从ab－3ac到a(b－3c)经历了怎样的运算？这两个式子分别叫什么名称？”引导学生明确：前者是多项式，后者是整式乘积。

3.概念精准锚定：教师板书两组标准模型——

（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc（整式乘法）

（2）ma+mb+mc=m(a+b+c)（因式分解）

组织学生对比观察，师生共同归纳出因式分解的三个核心特征：①对象是多项式；②结果是整式乘积的形式；③与整式乘法互为逆变形。【非常重要】

4.定向揭示课题：今天我们重点研究因式分解中最基本、最通用的方法——提公因式法。（板书：1431提公因式法）

（三）深度探究，建构法则（约12分钟）

1.概念发生——从公约数到公因式

（1）复习类比：求18和24的最大公约数。学生口答后，教师追问：“最大公约数的本质是什么？它有什么作用？”（公约数是两数公共的因数，可用于简便求和18+24=6×(3+4)）【基础】

（2）类比迁移：观察多项式ma+mb+mc，各项都含有的相同因式是____。学生极易答出m。教师顺势给出公因式的标准定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。【非常重要】

（3）概念辨析：为什么2x+4y的公因式是2，而不是2x或2y？组织同桌互讲，强调公因式必须是“各项都含有”的因式，缺一不可。

2.法则建构——小组协同找公因式

（1）小组合作学习：4人小组利用共学单，限时5分钟完成以下多项式的公因式寻找任务，并尝试总结找公因式的一般步骤。【重要】

①3x²－6x②4a³b+8a²b²

③－5m²n³－15m³n²④2πR+2πr

⑤6x³y²－9x²y³+3x²y²

（2）组际交流与思维碰撞：选取三个小组代表板演找公因式结果及方法总结。针对第④题，学生可能对“π”是否为公因式产生争议。教师介入：π是常数，也是系数的组成部分，应参与系数的最大公约数运算。针对第⑤题，公因式中字母指数易错，引导学生观察“相同字母的最低次幂”的具体表现。【难点】

（3）师生共建确定公因式的系统方法：【重要】【热点】

①系数：取各项系数的绝对值的最大公约数（若系数为分数，则先进阶处理为整数比，暂不展开）；

②字母：取各项都含有的相同字母（或多项式因式）；

③指数：相同字母（或多项式因式）的指数取最低次；

④整体：若有相同的多项式整体，将其视为一个“字母单元”，指数取最低次。

3.即时诊断与概念固化

口答练习：多项式8x⁴y³z－12x³y⁴+4x³y³的公因式是______。

（预设学生回答：4x³y³。教师追问：为什么不是4x³y³z？强化“各项都含有”才是公因式的前提。）【易错点】

4.首项负号的规范化处理

观察多项式－4x²y+6xy²－8xy，学生独立找公因式并汇报。此时会出现两种答案：2xy或－2xy。教师组织微型辩论：“提取2xy与提取－2xy，哪种结果更符合数学表达习惯？为什么？”【难点】

学生通过计算对比发现：提取2xy得2xy(－2x+3y－4)，括号内首项为负；提取－2xy得－2xy(2x－3y+4)，括号内首项为正。师生共同约定：当多项式首项系数为负时，通常提出负号（即提取负公因式），使括号内第一项系数为正；提负号时括号内各项均要变号。

（四）范例导航，思维外显（约15分钟）

1.例1——单项式公因式的规范操作【非常重要】【高频考点】

把下列各式分解因式：

（1）4x³+6x²（2）3a²b－6ab²+9ab

教学流程：

（1）教师板书示范第（1）题，严格遵循“一找二提三查”三步法。

一找：系数4和6的最大公约数是2；相同字母x的最低次幂是x²；公因式为2x²。

二提：将多项式写为公因式与另一因式乘积形式。4x³÷2x²=2x，6x²÷2x²=3，故4x³+6x²=2x²(2x+3)。

三查：利用整式乘法验证，2x²(2x+3)=4x³+6x²，与原多项式相等，分解正确。

（2）学生独立尝试第（2）题，一生板演，其余在共学单上完成。

预设生成：3a²b－6ab²+9ab=3ab(a－2b+3)

易错预警：部分学生公因式漏找字母b，误写成3a；或提取后括号内忘记写“+3”，误写成3ab(a－2b)。教师组织诊断：“原多项式有几项？提取公因式后括号内应有几项？当某一项恰好是公因式本身时，提取后剩余的数字是几？”师生共同总结：某项是公因式时，提取后该项剩余“1”，不能省略。【易错点】

2.例2——多项式公因式及符号变形【难点】【热点】

把下列各式分解因式：

（1）2a(b+c)－3(b+c)（2）6(x－2)+x(2－x)

教学流程：

（1）第（1）题：学生观察发现两项均含有因式(b+c)。教师强调将(b+c)视为一个整体，它就是公因式。提取后得(b+c)(2a－3)。追问：提取后括号内两项能合并吗？（不能，2a与－3不是同类项。）

（2）第（2）题：学生陷入困境——两项没有明显相同的多项式因式。教师引导：“观察(x－2)与(2－x)是什么关系？能否将其中一个转化为另一个？”学生得出(2－x)=－(x－2)，则原式=6(x－2)－x(x－2)。此时公因式为(x－2)，提取后得(x－2)(6－x)。教师追问：“为什么括号内是6－x而不是6+x？”引导学生关注提取公因式时符号的变化。

（3）策略提炼：当多项式各项含有互为相反数的因式时，可通过提取负号将其转化为相同因式，再提取公因式。

3.例3——首项为负且含公因式【难点】【易错点】

把－4x²y+6xy²－8xy分解因式。

教学流程：

（1）学生独立尝试，教师巡视捕捉典型错解。

错解1：－4x²y+6xy²－8xy=2xy(－2x+3y－4)

错解2：－4x²y+6xy²－8xy=－2xy(2x－3y+4)

错解3：－4x²y+6xy²－8xy=－2xy(2x－3y)－8xy

（2）师生共析：

错解1提取了正公因式，虽运算正确但不符合“括号内首项为正”的规范，应调整为提负公因式。

错解2正确且规范，每一步除法均注意符号处理：－4x²y÷(－2xy)=2x，6xy²÷(－2xy)=－3y，－8xy÷(－2xy)=4。

错解3没有整体提取公因式，提取不完全，违反因式分解定义。

（3）规范书写与口诀强化：－4x²y+6xy²－8xy=－2xy(2x－3y+4)

师生共同创编口诀：首项负，提负号；各项符号全变好；某项提光剩个1；分解彻底不心急。

（五）分层精练，内化迁移（约18分钟）

1.基础巩固营（全体必做，限时8分钟）

设计意图：强化基本技能，确保100%学生能准确找出公因式并完成提取。

题目：

（1）分解因式：5x²－10x

（2）分解因式：4m³n－6m²n²

（3）分解因式：3a²b－6ab²+9a²b²

（4）分解因式：－2x³+4x²－6x

【基础】【高频考点】

教学组织：学生独立闭卷完成，教师巡视个别辅导。完成后同桌交换批改，答案即时投影，同桌互讲错因。重点关注学困生在“公因式确定”与“符号处理”上的共性问题。

2.能力提升营（学有余力选做，限时5分钟）

设计意图：提升对多项式公因式、符号变形的敏感度，渗透整体思想。

题目：

（1）分解因式：－3ma³+6ma²－12ma

（2）分解因式：5x(a－2b)+10y(2b－a)

（3）先分解因式，再求值：已知x=2，y=1，a=3，b=1，求5x(a－2b)+10y(2b－a)的值。

【进阶】【热点】

教学组织：学生自主选做，鼓励挑战。教师请两名学生板演第（2）（3）题，并讲解思考路径。第（2）题关键步骤：2b－a=－(a－2b)，原式=5x(a－2b)－10y(a－2b)=5(a－2b)(x－2y)。第（3）题对比两种解法——直接代入数值与先化简后代入，感受整体代入的简洁性。

3.思维拓展营（挑战自我，限时5分钟）

设计意图：对接中考能力题，发展代数推理与整体代入素养。

题目：

（1）用简便方法计算：999²+999

（2）已知a+b=5，ab=3，求a²b+ab²的值。

（3）已知x²+x+1=0，求x³+2x²+2x+3的值。（选做）

【综合应用】【素养提升】

教学组织：

（1）学生独立思考后组内交流。教师点拨第（1）题：999²+999=999×(999+1)=999×1000=999000，体验因式分解在数值计算中的威力。

（2）第（2）题：学生先分解a²b+ab²=ab(a+b)，再整体代入得3×5=15。教师追问：“如果不分解，能分别求出a、b的值吗？”（此路不通）从而深刻理解整体代入的必要性。

（3）第（3）题为资优生准备，教师提示拆项技巧：x³+2x²+2x+3=x(x²+x+1)+(x²+x+1)+2，整体代入0+0+2=2。

（六）系统小结，建构网络（约5分钟）

1.学生畅谈收获

教师组织学生以“今天我知道了……，我掌握了……，我提醒大家注意……”的句式进行自由发言。【重要】

预设生成：学生可能谈到“公因式就是各项的公共部分”“找公因式要看系数、字母、指数”“提公因式后括号内项数不能少”“遇到相反数要变号”等。

2.教师结构化梳理

（1）知识层面——核心概念链：

因式分解（定义）→公因式（核心概念）→提公因式法（基本方法）

公因式确定：系数（最大公约数）、字母（相同字母）、指数（最低次幂）

提公因式步骤：一定（定公因式）、二提（提公因式）、三查（乘法验证）

（2）方法层面——思想内核：

类比思想（公约数→公因式）

转化思想（相反数因式→相同因式）

整体思想（多项式作为公因式）

化归思想（多项式→乘积形式）

（3）素养层面——关键能力：

运算能力（准确进行多项式除以单项式）

逻辑推理（每一步变形都要有依据）

3.高频错点再警示

①公因式要提尽，不能漏项、少项；

②首项为负提负号，括号内各项必变号；

③某项与公因式相同时，提取后剩余“1”不能丢；

④多项式公因式要整体看，互为相反数先变形；

⑤分解结果必须检查是否还能继续分解。

（七）当堂检测，精准反馈（约5分钟）

1.检测题设计（限时3分钟，满分100分）

（1）多项式8a³b²+12a²b³c的公因式是______。（20分）【基础】

（2）分解因式：－2x²y+4xy²－6xy。（40分）【高频考点】

（3）若m－n=2，mn=1，则m²n－mn²的值为______。（40分）【能力】

2.检测实施与数据采集

学生闭卷作答，3分钟到立即停笔。组内交换，教师逐题公布答案及评分标准。组长统计本组满分人数及每题正答率，通过反馈系统即时上传。

3.补偿教学

教师展示正答率雷达图。针对第（2）题若正答率低于75%，立即播放微课片段“负号的提取技巧”，并请做对的学生分享符号处理口诀。针对第（3）题，引导发现m²n－mn²=mn(m－n)，整体代入得1×2=2，强化整体思想。

（八）作业分层，延展思维（约1分钟）

1.必做题（面向全体，巩固双基）

教材P115练习题第1题、第2题；《同步练习册》基础训练第1-6题。

2.选做题（面向学优生，发展思维）

（1）编拟一道需要用提公因式法且包含“整体思想”的分解题，并写出详细解答过程。

（2）查阅资料，了解因式分解在古埃及数学或《九章算术》中的早期应用，制作一份数学手抄报（A4纸大小）。

3.实践作业（面向全体，素养导向）

寻找生活中可以用提公因式法简化计算的实例（如包装纸面积、地面铺设等），下节课课前进行2分钟“数学发现”分享。

五、板书设计

主板书（核心知识结构化呈现）

┌────────────────────────────────────────┐

│§14.3.1提公因式法│

│（一）公因式——公共的因式│

│1.定义：多项式各项都含有的相同因式│

│2.找法：系数（最大公约数）│

│字母（相同字母）│

│指数（最低次幂）│

│（二）提公因式法——核心步骤│

│1.定公因式（准确）→例1│

│2.提公因式（除法）→例2│

│3.查结果（乘法验证）→例3│

└────────────────────────────────────────┘

副板书（警示语与思想提炼）

┌────────────────────────────────────────┐

│【特别提示】│

│①首项负，提负号，括号内各项全变号