初三数学中考二轮复习：相似三角形四大经典几何模型建构与应用深度导学案

初三数学中考二轮复习：相似三角形四大经典几何模型建构与应用深度导学案

  一、课标要求、复习目标与核心素养聚焦

  （一）课标要求解读：依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本节课聚焦于“图形与几何”领域中的“图形的相似”主题。要求学生理解相似三角形的概念和判定定理，并能够运用这些知识解决几何问题、测量问题以及一些简单的实际问题。在问题解决层面，强调能从复杂的几何图形中识别基本图形（模型），并运用模型思想进行分析和推理，发展几何直观和推理能力。

  （二）复习目标设定：

  1.知识与技能：系统梳理并深度理解相似三角形中的“A字型”、“8字型（X型）”、“母子相似型（子母型）”、“一线三等角型”四大经典几何模型的基本图形结构、核心结论（对应边成比例、对应角相等）及其常见变式。能够准确、快速地在复杂几何图形中识别、剥离或构造出这些基本模型。

  2.过程与方法：经历“观察抽象→模型提炼→性质探究→综合应用→变式拓展”的完整认知过程。掌握利用基本几何模型将复杂问题分解、化归的思维策略。提升在动态几何情境中洞察模型不变性的能力，以及运用模型结论进行综合推理与计算的能力。

  3.情感态度与价值观：在模型的建构与应用中，感受几何图形内在的和谐美与统一美，体会数学模型作为“思维工具”的强大力量，增强学习几何的信心。通过小组协作探究与思维碰撞，培养严谨求实、勇于探索的科学精神和合作交流意识。

  （三）核心素养培育聚焦：

  1.几何直观：通过图形操作、观察、想象，强化对四大经典模型图形特征的直观感知与把握，形成“见式想形，见形想模”的思维习惯。

  2.推理能力：基于模型的基本结论，进行严密的逻辑推理（包括合情推理与演绎推理），完成线段比例式证明、线段长度计算、面积关系探究等任务，发展逻辑思维的链条性和严谨性。

  3.模型观念：核心素养的集中体现。引导学生从具体问题中抽象出几何模型，理解模型的构成要素与核心关系，并能运用模型解释现象、解决问题，形成“建模-用模-拓模”的思维范式。

  4.应用意识：将几何模型与测量、实际生活情境相联系，理解数学的工具性价值。

  二、学情分析与复习重难点研判

  （一）学情分析：本课面向九年级下学期的学生，处于中考第二轮专题复习阶段。学生已经系统学习过相似三角形的定义、判定定理（AA、SAS、SSS）及基本性质，具备一定的几何证明与计算能力。然而，在面临综合性较强的中档题或压轴题时，学生普遍存在的瓶颈在于：（1）面对复杂图形时无从下手，缺乏有效的图形分解与识别策略；（2）对相似模型的认知零散、孤立，未能形成结构化的知识网络；（3）对模型的变形、组合及在动态背景下的应用能力薄弱；（4）解题过程书写不规范，逻辑跳跃。因此，本复习课旨在帮助学生完成从“知识碎片”到“模型结构”，从“机械套用”到“灵活构造”的关键跃升。

  （二）复习重点：

  1.四大经典几何模型（A字型、8字型、母子相似型、一线三等角型）的图形特征识别、核心结论及其基本证明。

  2.在综合图形中主动识别、构造或补全基本模型，并利用模型结论建立等量关系（比例式）进行推理与计算。

  （三）复习难点：

  1.模型的动态识别与构造：当模型并非“标准”形态出现，或需要添加辅助线才能显现时，如何引导学生洞察本质并进行构造。

  2.模型的复合与综合应用：多个模型嵌套或组合在同一图形中时，如何选取和运用合适的模型作为突破口，进行多步推理。

  3.基于模型的逆向思维与开放性探究：根据部分线段比例关系，反推图形可能的形状或点的位置。

  三、复习思路与整体架构

  本导学案遵循“问题驱动、模型引领、分层递进、思维可视化”的设计原则。复习流程规划为：“情境溯源，导入模型→自主梳理，构建图谱→典例精析，深化理解→变式迁移，突破难点→综合演练，提升素养→反思总结，形成体系”。全程以“学习任务单”为载体，引导学生进行自主探究与合作学习，教师角色定位为设计者、引导者、点拨者和评价者。

  四、教学准备

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件（包含动态几何图形演示，如GeoGebra制作的可交互课件）；印刷版《相似三角形经典几何模型复习学习任务单》；精选的例题、变式题及分层巩固练习卷。

  2.学生准备：复习相似三角形的基础知识；准备直尺、圆规、量角器等作图工具；预习学习任务单的“自主梳理”部分。

  五、教学实施过程设计

  第一环节：情境溯源，问题导入——唤醒经验，聚焦模型

  1.情境呈现：利用多媒体展示两个源于教材和生活的实际问题情境图。

    情境一：（源于测量）如图所示，为了估算河的宽度AB，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS垂直于河岸。接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。现测得QS=45m，ST=90m，QR=60m。请抽象出几何图形，并思考如何求河宽AB。

    情境二：（源于教材习题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC。若AD=3，BD=2，AE=4，求CE的长度。

  2.问题驱动：

    （1）你能将这两个实际问题抽象成纯粹的几何图形吗？请尝试画图。

    （2）抽象出的两个几何图形，在结构上有什么共同特征？（都包含平行线）

    （3）平行线在这个图形中引发了什么重要的几何关系？（相似三角形）

    （4）这两种由平行线产生的相似三角形结构，就是我们今天要系统复习的两种最基本、最核心的模型。你能给它们命名吗？（学生可能说出“A字型”、“8字型”或“X型”）

  3.教师点睛：从实际问题抽象出几何图形，再从几何图形中提炼出基本结构（模型），是解决复杂几何问题的金钥匙。今天，我们就以这两种模型为起点，系统建构和深度应用相似三角形的四大经典几何模型，为中考冲刺夯实基础。

  【设计意图】从真实情境和教材本源出发，激发学生兴趣，引导学生经历“实际→图形→模型”的抽象过程，自然引出复习主题，明确模型学习的价值。

  第二环节：自主梳理，合作建构——厘清特征，形成图谱

  学生活动：独立完成《学习任务单》第一部分“模型初探”，然后小组内交流、修正、完善。

  学习任务单一：相似三角形经典几何模型自主梳理表

  请根据图示（任务单上提供基本图形），填写下表。

  模型一：平行A字型（正A字型）

  1.基本图形描述：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC（或延长线）上，且DE//BC。

  2.核心结论（相似关系）：△ADE∽△ABC。对应边成比例：AD/AB=AE/AC=DE/BC。

  3.核心判定依据：由DE//BC，直接得到同位角或内错角相等，根据“AA”判定相似。

  4.常见变式与特例：当点D与A重合时（即A为端点），退化为“A”字的一半；当DE为中位线时，相似比为1:2。图形位置变化（斜A字型），只要存在平行，模型依然成立。

  5.你能否画出一种“A字型”的变式图形？（如DE在三角形外部，与BC的延长线相交形成的图形）

  模型二：平行8字型（X型）

  1.基本图形描述：两条直线AB、CD相交于点O，且AB//CD（或更一般地，存在一组内错角或对顶角加同位角相等）。

  2.核心结论（相似关系）：△AOB∽△DOC。对应边成比例：OA/OD=OB/OC=AB/DC。

  3.核心判定依据：由AB//CD，得到内错角相等（∠A=∠D，∠B=∠C），根据“AA”判定相似。

  4.常见变式与特例：图形旋转后依然成立；当O为线段中点时，得到全等三角形。更一般地，只要满足对顶角所在的两个三角形有一组角相等，即可考虑8字型相似。

  5.你能否画出一种“8字型”的变式图形？（如AB与CD不平行，但满足∠A=∠D）

  模型三：母子相似型（共边共角型、子母型）

  1.基本图形描述：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高。或更一般地，在△ABC中，点D在边BC上，满足∠BAC=∠ADC。

  2.核心结论（相似关系）：△ABC∽△ACD∽△CBD。由此可得一系列比例关系，最重要的如：AC²=AD·AB（射影定理在直角三角形中的体现），BC²=BD·AB，CD²=AD·BD。

  3.核心判定依据：公共角∠A加上一个直角（或另一组对应角相等），根据“AA”判定。本质是“共边共角”型相似。

  4.常见变式与特例：直角三角形斜边上的高是典型应用。非直角三角形中，只要满足“一个公共角，且夹此公共角的两边对应成比例”，也可构成母子相似。

  5.请写出由△ABC∽△ACD得到的两个重要比例式。

  模型四：一线三等角型（K型相似）

  1.基本图形描述：三个等角的顶点在同一条直线上。

  2.核心图形结构：（1）基本型：点A、D、B共线，点C、E、F共线（或反之），且∠ACE=∠D=∠B。（2）直角型（一线三直角）：∠ACE=∠D=∠B=90°。（3）锐角/钝角型。

  3.核心结论（相似关系）：当满足一线三等角，且有一组对应边相等时，通常可证得△ACD∽△DBE（以点D为顶点的两个三角形相似）。

  4.核心判定依据：利用三角形内角和、平角定义，推导出其他对应角相等，从而根据“AA”判定相似。

  5.请尝试画出“一线三直角”的图形，并标注出相似三角形。

  教师活动：巡视各小组讨论情况，收集共性疑难问题。随后请小组代表上台，结合几何画板动态演示，讲解一种模型的梳理成果，其他小组补充质疑。教师最终进行精准点拨和总结，强调每种模型的“核心特征”与“核心结论”，并引导学生将四大模型的内在联系（如平行A字型、8字型是基础，母子相似型是特例，一线三等角型是综合应用）用思维导图的形式构建知识网络。

  【设计意图】将知识梳理的主动权交给学生，通过任务单引导下的自主学习和小组合作，实现知识的主动建构与网络化。教师的点拨旨在深化认知，突出本质。

  第三环节：典例精析，模型初用——夯实基础，规范表达

  （以下例题均配以标准几何图形，在课件和学习任务单上呈现）

  例题1（平行基础模型）：如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F。

  （1）图中有几对相似三角形？请一一写出，并说明理由。

  （2）若AD=6，BE=4，BF=3，求CF的长。

  学生活动：独立思考，尝试解答，重点关注相似三角形的规范书写（对应顶点按顺序书写）和比例式建立的依据。

  教师引导：

    （1）引导学生从复杂图形中分解出基本模型。问：图中存在平行线吗？（AD//BC，AB//DC）由AD//BC可以构造什么模型？（A字型：△EBF∽△EAD）由AB//DC可以构造什么模型？（A字型：△EBF∽△CDF？需要辨析顶点对应关系；更清晰的是利用平行四边形对角相等和对顶角，结合AB//DC，识别出8字型：△EBF∽△CDF）。

    （2）在计算CF时，引导学生分析：要求CF，已知BF，若能求出BC即可。BC=AD=6。但直接求？或利用哪对相似三角形？△EBF∽△CDF，则EB/CD=BF/CF。CD=AB，但AB未知。转而利用△EBF∽△EAD，先求出EA=AB+BE=CD+4，由AD/BF=EA/EB，可求出AB，进而求出CD，最后利用△EBF∽△CDF求CF。展示多解思路，比较优劣。

    （3）板书规范推理过程，强调每一步的几何依据。

  【设计意图】本题通过平行四边形背景，融合了A字型和8字型两种基本模型，训练学生在复合图形中识别基本模型的能力，并巩固利用相似三角形进行比例计算的基本技能，强调解题的规范性和逻辑的严密性。

  例题2（母子相似与射影定理）：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。

  （1）求证：AC²=AD·AB；BC²=BD·AB；CD²=AD·BD。

  （2）若AC=6，BC=8，求CD、AD、BD的长。

  学生活动：自主完成证明，并利用（1）的结论快速计算（2）。思考：（1）中的三个结论可以统一由哪几对相似三角形推出？

  教师引导：

    （1）引导学生明确证明目标：线段乘积式通常转化为比例式，再找相似三角形。AC²=AD·AB可化为AC/AD=AB/AC，观察线段AC、AD、AB所在的三角形：△ACD和△ABC。它们相似吗？为什么？（∠A公共，∠ADC=∠ACB=90°，AA相似）。同理分析其他两个式子。

    （2）总结：直角三角形斜边上的高将原三角形分成的两个小三角形都与原三角形相似，且它们彼此也相似。这揭示了直角三角形中边与高之间深刻的数量关系（射影定理），是快速计算的重要工具。

    （3）计算时，先由勾股定理求AB=10。求CD可用面积法（½AC·BC=½AB·CD），也可用母子相似。求AD、BD则可直接利用证明的结论。比较不同方法，感受模型结论带来的便捷。

  【设计意图】深化对母子相似模型的理解，掌握其核心结论（射影定理）的证明与应用，体会模型结论在简化计算中的优越性，并感悟特殊模型（直角三角形）中性质的特殊性与一般性。

  第四环节：变式迁移，模型巧构——突破难点，提升思维

  变式探究1（非平行线下的模型构造）：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠AED=∠B。

  （1）求证：△ADE∽△ACB。

  （2）若AD=3，AB=8，AE=4，求AC的长。

  教师引导：本题没有平行线，但条件∠AED=∠B如何利用？它和哪个模型的条件类似？（母子相似型中的“共角”）图中∠A是公共角吗？是的。因此，由∠A=∠A，∠AED=∠B，可证△ADE∽△ACB（AA）。这本质上是“共边共角型”相似（母子相似型在非直角三角形中的推广）。引导学生理解，模型的识别关键在于“等角关系”，而非一定是平行或直角。

  【设计意图】打破“模型必有平行或特殊角”的思维定势，揭示模型的本质是特定的等角关系结构，训练学生在非标准图形中识别模型本质的能力。

  变式探究2（一线三等角的构造与识别）：

  背景：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。

  情境（1）：如图，点P从点A出发，沿AB向点B以每秒1个单位的速度运动；同时，点Q从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动。当点Q到达点C时，两点同时停止运动。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，过点D作DE⊥PQ于点E。

  问题：在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得DE的长度等于某个定值（如24/5）？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。（此问综合性较强，可作为思考题）

  教师引导：本题动态过程中，∠PEQ=∠B=∠ADE=90°，且点E在PQ上（或在延长线上），构成了“一线三直角”模型吗？引导学生分析，需要关注点E、P、Q、D的位置关系。过D作DE⊥PQ，则∠DEQ=90°。图中，∠B=90°（矩形内角），但∠PEQ=90°，这三个直角顶点E、B、…是否共线？不一定直接构成标准的一线三直角。但我们可以尝试构造或寻找相似。连接DP、DQ，观察Rt△DEQ和Rt△DAP，它们相似吗？∠DEQ=∠A=90°，还需要一个角相等。注意到∠EDQ与∠ADP是否互余？在Rt△PDQ中，∠PDQ=90°，所以∠EDQ+∠PDE=90°，又∠ADP+∠PDE=∠ADE=90°？这里需要仔细推导。教师可通过几何画板演示运动过程，引导学生发现当DE为特定值时，可能存在的相似关系。重点在于引导学生建立思路：在动态几何中，寻找不变的等量关系（如角度），尝试构造或识别“一线三等角”模型，从而建立比例方程求解时间t。

  情境（2）（简化）：如图，在矩形ABCD边BC上取一点P，使得∠APD=90°。求证：△ABP∽△PCD。

  教师引导：这是“一线三直角”模型的经典静态图形。∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°。∴∠BAP+∠APB=90°。又∵∠APD=90°，∴∠APB+∠CPD=90°。∴∠BAP=∠CPD（同角的余角相等）。∴△ABP∽△PCD（AA）。这就是“一线两直角”加一个锐角相等，推导出第三个角相等，构成“一线三等角”的相似结构。强调证明角相等的推导过程。

  【设计意图】通过动态和静态两种情境，深入剖析“一线三等角”模型的识别与构造。动态问题提升学生的综合分析能力和方程思想；静态证明巩固模型的核心推理逻辑。难点在于在复杂情境中发现隐藏的等角关系。

  第五环节：综合演练，链式应用——融会贯通，直面中考

  （选取一道融合多个模型、具有中考压轴题特征的综合题）

  例题3：如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16。点D是边BC上的一个动点（不与B、C重合），连接AD。以AD为边在AD的右侧作∠ADE=∠B，且DE交边AC于点E（点E不与点C重合）。

  （1）求证：△ABD∽△DCE。

  （2）若BD=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

  （3）当△ADE是等腰三角形时，求BD的长。

  学生活动：小组协作攻关。教师巡视，观察学生的思维障碍点，给予个别指导。

  教师分步引导与分析：

  （1）模型识别：条件∠ADE=∠B，图中∠ADE与∠B所在三角形分别是△ADE和△ABC，但它们不直接相似（没有公共角∠A？仔细看，∠ADE与∠B，夹边？）。转而观察结论要证的△ABD∽△DCE。在△ABD和△DCE中，已知∠B=∠ADE（即∠CDE？注意点E在AC上，∠ADE是△ABD的外角吗？需要厘清角度位置）。∵∠ADC=∠B+∠BAD（三角形外角定理），又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，且∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE。又∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△ABD∽△DCE（AA）。这里的关键是利用外角性质和等量代换证明另一组对应角相等。引导学生标注角度，进行严密的推导。

  （2）函数关系建立：由（1）△ABD∽△DCE，得对应边成比例：AB/DC=BD/CE。即10/(16-x)=x/y。整理得y=(x(16-x))/10=-(1/10)x²+(8/5)x。自变量x范围：0<x<16（点D在BC上不与B、C重合），且点E在AC上不与C重合，需y<AC=10，代入验证可得x还需满足一定条件，通常中考题中直接写0<x<16即可。

  （3）等腰三角形分类讨论：当△ADE是等腰三角形时，由于∠ADE=∠B=∠C，所以∠AED和∠DAE都可能作为底角或顶角。需要分三种情况讨论：①当AD=AE时；②当DA=DE时；③当EA=ED时。

    情况①AD=AE：则∠ADE=∠AED=∠B=∠C，由三角形内角和可推得∠DAE=180°-2∠B。同时，在△ABD和△DCE相似背景下，AD=AE如何转化？连接CE？更直接的是，由AD=AE，∠ADE=∠AED=∠B=∠C，可得∠DAE=∠BAC？不一定。尝试利用相似比。当AD=AE时，观察△ABD和△DCE，AD与DE是对应边吗？不是。需要引入其他关系。通常需要回到基本图形，利用相似和等腰建立方程。可证得此时点D为BC中点（需推导），故BD=8。

    情况②DA=DE：则∠DAE=∠DEA。结合∠ADE=∠B=∠C，可推导角度关系，最终可能得到△ABD≌△DCE（AAS），从而AB=DC，即10=16-x，x=6。

    情况③EA=ED：则∠EAD=∠ADE=∠B=∠C。可推得∠BAC=∠BAD+∠DAE...，最终可能得到AD平分∠BAC，利用角平分线性质或相似求解x。

  教师需要详细板书每种情况的推理链条和计算过程，强调分类讨论的完整性和严谨性。本题完美融合了“共边共角型”相似（变式）、函数思想、方程思想以及等腰三角形分类讨论，是模型综合应用的典范。

  【设计意图】本题具有高度的综合性，要求学生灵活运用相似模型（特别是非标准的共角相似）、进行代数与几何的转换（建立函数关系）、以及处理复杂的几何分类讨论。通过此题演练，旨在逼近学生的思维极限，提升其应对中考压轴题的综合能力。

  第六环节：反思总结，体系内化——提炼思想，展望拓展

  1.知识网络复盘：师生共同回顾，通过板书画出以“四大经典几何模型”为核心的相似三角形应用知识网络图，明确各模型的条件、结论、特例与联系。

  2.思想方法提炼：引导学生总结本节课渗透的核心数学思想方法。

    （1）模型思想：从复杂中识别基本模型，以简驭繁。

    （2）转化与化归思想：将证明线段比例、乘积问题转化为证明三角形相似；将计算问题转化为比例方程或函数问题。

    （3）数形结合思想：几何关系与代数方程（函数）相互转化。

    （4）分类讨论思想：面对等腰三角形、直角三角形等不确定情形时的有序思维。

  3.易错点警示：教师指出常见错误，如相似三角形对应顶点写错、比例式列错对应边、忽视动点问题中变量的取值范围、分类讨论遗漏情况等。

  4.拓展延伸思考（作业与预习指引）：

    （1）除了