北师大版2025-2026学年九年级上册数学期末核心素养达标卷（含答案）

北师大版2025-2026学年九年级上册数学期末核心素养达标卷

考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟

第I卷

一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）

1.如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（）

正面

A.—B.5C.-D.!

222

3.一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同.摇匀后随机

摸一球，已知摸到白球的概率是g,估计袋中白球的个数是（）

A.IB.2C.3D.4

4.若一一=：，则f的值为（）

a+b3b

A.-7B.-C.~D.2

432

5.如果一个四边形绕对角线的交点旋转90。，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边

形一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

6.一次函数）'=h+依+1与反比例函数），=&在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

X

7.已知点M（成a）,N（〃z+2㈤在反比例函数尸:的图象上，则下列说法正确的是（）

A.当"?<一2时，b<a<0B.当一2<〃?<0时，b<a<0

C.当一2<〃?<0时，（）<a<bD.当〃2>0时，（）<a<b

8.2024年10月30Fl,搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站

的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为10（）万人次，第四季度总浏览量为600万人次，

如果浏览量平均每月增长率为-则应列方程是（）

A.100(I+X)2=600B.100+100x2x=600

C.100+100(1+x)=600D.1(M)+100(1+x)+\00(1+x)2=60()

9.顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是()

A.矩形B.平行匹边形

C.对角线互相垂直的四边形D.任意四边形

10.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，B4_Ly轴于点B,反比例函数)，二七(x

X

>0)的图象与线段AB相交于点C,且C是线段AB的中点，若AOAB的面积为3,则攵的

3

二、填空题(6小题，每题3分，共18分)

II.已知关于％的一元二次方程V+〃八—2=0的一个根为一1,则另一个根为.

12.一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，

从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放【可口袋中.不断重复这一过程，共摸了100次球，

发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是一.

13.已知;=14a+b=l,则〃的值为___.

32

14.以点A为位似中心，将VABC缩小后得到如图所示的VAOE,且R=C二二5=.若AE=6,

则线段EC的长为

15.已知mb是方程V—5%-3=0的两根，则a2-5a+a〃=.

16.边长为4的正方形ABCD,在BC边上取一动点E,连接AE,作EF_LAE,交CD边于

点F,若CF的长为:，则CE的长为____.

4

第H卷

北师大版2025-2026学年九年级上册数学期末核心素养达标卷

姓名：学号：准考证号：

一、选择题

题12345678910

号

答

案

二、填空题

解答题(17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25

每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明)

17.(1)解方程:2x2-3.r+-=0；

2

(2)解方程：2X+6=(X+3)2.

18.中学生心理健康受到社会的泛关注,某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健

康知识的了解程度，采用随机抽样调查(每人选且仅选•项)的方式，根据收集创的信息进

行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题：

条形统计图扇形统计图

4人数/人

了解了解很少解

⑴接受抽样调查的学生共有人；扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角

度数为:若该校共有学生1200人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心

理健康知识"不了解'’的人数约有人；

(2)某班要从对心理健康知识达到“北常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取两人参

加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两名女生的概率.

19.如图，在矩形ABC。中，延长8。到E,延长8到?，使=AE,DF交于点

G.

(1)求证：GE=GFi

AD?

⑵过点E作所的垂线,交田的延长线于点〃，若正卞3%求应的长.

20.如图，在平行四边形A3C。中，点G,”分别是A8,CO的中点，点E、尸在对角线AC

上，且=

（1）求证：四边形EGF”是平行四边形；

（2）连接8。交4c于点O,若BD=14,AE+CF=EF,求EG的长.

21.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销

售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数丫=-2x+100.（利

润=售价-制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，

厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不

低于35（）万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

22.如图，点£>,E,产分别在V4BC三边上，且OE〃BC,EF//AB,BD=3AD,BC=8.

⑴求Cr的长;

(2)若VAOE的面积为4,求四边形8。痔的面积.

A

23.如图，在VABC中，D,E是边AC上的两点，连接BO,BE,且满足八E=,W,BE平

分乙CBD.

⑴求证：△A8Z>FAC8；

⑵若A8=6,AC=8,且NCBD=9(f,求8C的长.

24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y="+3-2A的图象与反比例函数)，=］的

图象相交于42,。)，8两点，与)，轴正半轴，x轴分别相交于C,。两点.

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；

⑵求证：AC=BD；

⑶若点P是位于点。上方的)，轴上的动点，过P,A两点的直线与该反比例函数的图象交于

另一点E,连接尸况BE.当AD=2BD,且△PBE的面积为18时，求点E的坐标.

25.在矩形A8C。中，点。为A3边上一点，将沿直线CP翻折，使点3落在矩形内

的点正处，直线AE与CO边交于点凡

⑴如图1,当点尸为48口点时，求证：AF"P；

(2)如图2,若AB=6,BC=5,CF=1,求线段的长；

(3)若直线AE与CP的延长线交于点Q,BC=\,A8=〃，当5,初=5力也时，求券的值(用

Cr

含〃的代数式表示).

图1

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案ACDCDCADCD

二、填空题

II.2

12.7

13.1

14.4

15.0

16.1或3.

三、解答题

17.【解】解：(I)2X2-3X+^=O

4=2,8=-3,c=；,A=/?2-46/C=(-3)2-4X2X^=9-12=-3<0

・•・原方程无解；

(2)2x+6=(x+3)2

即2(X+3)—(X+3)2=0

A(x+3)(2-x-3)=0

/.x+3=0或一1一工=0

工玉=-3,x2=-1

18.【解】(I)解：接受拍样调查的学生共有40・50%=8。(人)).

•.•〃？=8()—20-40-4=16,

扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数为360。x累=72°.

X0

4

l200x—=60(人)，

.•・估计该校学生中对心理健康知识“不了解”的人数约60人.

故答案为：80；72°；60；

(2)解：将2名男生分别记为A,B,将2名女生分册记为C,。，

画树状图如下：

开始

ABCD

Z\/T\/N/N

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有：CD,DC,共2种,

・•・恰好抽到两名女生的概率为4=7.

126

19.【解】(1)证明：•.•四边形ABC。是矩形，

ZABE=ZDCF=90°,AB=DC,

・；BF=CE,

BF+BC=CE+BC，

即8£=C/，

在AAB石和△OC/中，

AB=DC

NABE=NDCF,

BE=CF

「.△ABE均DC户(SAS),

ZAEB=/DFC,

:.GF=GE；

(2)解：，•四边形ABC。是矩形，

:.ZABE=/DCF=90。,AB=DC,I3C=AD=4,

HE工EF,

・•.DC//HE,

:ACDFS^EHF,

•DC_CF

~HE~~EF'

•ABBC+BF

7/E~BC+BF+CEr

aAB3

，.BF=CE，玩:“

.4+CE3

"2CE+4~4'

解得：CE=2.

20.【解】(1)证明：・・•四边形48co是平行四边形,

AAB//CD,AB=CD,

・••4GAE=/HCF,

•・•点G,”分别是AB,CO的中点，

,AG=CH,

在.AGE和△。”/中，

AG=CH

<4GAE=/HCF,

AE=CF

.•.△4GE^ACHF(SAS),

GE=HF,ZAEG=ZCFH,

・••NGEF=/HFE,

：.GE//HF,

又,：GE=HF,

・•・四边形EGFH是平行四边形：

(2)解：连接8。交AC于点O,

如图：

AD

E

GH

B匕

•・•四边形AAC。是平行四边形,

：.OA=OC、OB=OD,

/.OB=OD=1,

•；AE=CF,OA=OC,

：.OE=OF,

VAE+CF=EF,AE=CF,

，2AE=EF=5OE,

/.AE=OE,

又：点G是48的中点，

・•・EG是△ABO的中位线,

21.【解】⑴z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1800,

，z与x之间的函数解析式为z=-2X2+I36X-1800；

(2)由z=350,得350=-2x2+136x-1800,

解这个方程得xi=25,X2=43,

所以，销售单价定为25元或43元，

将z=-2x?+136x-1800配方，得z=-2(x-34)2+512,

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

(3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1800的图象(如图所示)可知，

当25<x<43时2350,

又由限价32元,得25sx432,

根据一次函数的性质，得y=-2x+100中y随x的增大而减小，

・・.当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18x(-2x32+100)=648(万元),

因此，所求每月最低制造成本为648万元.

22.【解】(1)解：

•AD—AE—1

~DB~~EC~3,

ADAE1

"7B"7c-4J

•:EFHAB,

AEBF1

••——=——=-，

ACBC4

,.BC=8,

，BF=-BC=2

4t

:.CF=BC-BF=6；

(2)解「DE〃BC、

.-.ZA£D=ZC,

•：EF//AB,ZA=Z.FEC.

:GADES^EFC,

・•・S,"c=9SmE=4x9=36,

-DE//BC,

：.ZADB=ZB,且ZA=ZA,

:4池EsXABC,

.黑*(丝Y=_i

Y枫［AB)16,

•e,，ABC=16Sd0E=64,

,•Spi形次郎=S^AK-$△4比•—S^EFC=24.

23.【解】(1)证明：•・•<=■,

,ZABE=ZAEB,

〈BE平分NC8O,

/./DBE=/CBE,

・••ZABE-ZDBE=ZAEB-ZCBE,

,/ZABE-NDBE=ZABD,ZAEB-NCBE=NC,

:,ZABD=/C,

VZ4=ZA,

，△A8D^z\AC8.

(2)解：VAABD^AACB,48=6,AC=8,

.DBADAB63

3393

/.AD=-AB=-x6=-DB=-BC

442t4

97

:.CD=AC-AD=S—=-

22

・-4W=90°

:.CD=yjDB2+BC2+BC2=|BC

42

BC=—

5

24.【解】(1)解：把点人的坐标代入一次函数解析式)，=丘+?-24,中，

得：a=2Z+3-2Z=3,

即A点坐标为(2,3)；

把点A坐标代入反比例函数式y='中，

x

得：〃2=2x3=6,

・•・反比例函数解析式为y=£；

X

21

(2)证明：在一次函数解析式丁="+3-22中，令x=0,得y=3-2Z；令尸0,得工

(2k-3\

点C、。的坐标为(0,3—2k)、［二彳一,0}

y=kx+3-2k

联立一次函数与反比例函数解析式，即6，

)'=一

X

消去)，整理得：kx2+(3-2k)x-6=(),

3

解得：2=2,电=-，

7k

3

当,丫=-二时，y=-2k,

k

工点4的坐标为H—A；

\k

VAC=^+4k2=>BDZa'b?+(2A:)2=2V17F,

/.AC=BD；

(3)解：,:AD=2BD,AC=BD,

・••AD=2BD=2AC,

••・C点是AO的中点，且C、。为线段48的三等分点，

由A、C、。三点坐标得：2(笠3+2)=(),解得：A=5,

工点C的坐标为(。,£|;

设点设直线AE解析式为>

2kt+b=3…3

把4、E两个点坐标分别代入得：6,解得：'

tk[+b=

即直线4E解析式为尸-L+包出

①当点E在第一象限时，如图，连接CE,

•・・C、。为线段AB的三等分点，S，PBE=18,

,•S.pcE=SA*+\ECA=+§&EAB=§&PBE=6：

+33z+6../曰3/+6

在），=——x+----中，令x=0,得了=-----

，点P的坐标为（0,三2

,**SVCE=6,

3f+63）/

.lx7-5卜=6,

2

解得：Z=4,

•••点七的坐标为卜,■!,.

②当点E在第三象限时，过8作协」x轴交直线4E于点凡如图;

由⑵知，点B的坐标为一不一可,

.・"4

,D

・•・F-3

3/+1839/4-36

，BF=+—=—

22/

••c一q+q

•DRPBE—°RRFETQ

-g8尸（乙-4）+gBF[XP-X8）

=gsF（%一4）

19r+36（、

=-x--------X（T）；

22rv7

由题意知,x（T）=18,

22t

解得：/=-12,

.•412夕

综上，点E的坐标为卜弓)或

25.【解】(1)证明：如图,

,/将&BCP沿直线PC翻折得到AECP,

/.Zl=Z2,BP=PE.

丁点尸为A8的中点，

/.AP-BP-PE.

・・・N3=N4.

又—N1十N2=N3十N4,

，/2=4

・•・AF//CP.

(2)解：过点E作EHA.AB于点H,交。。于K,则EK_LCD,

DKFC

VAB=6,CF=\,

，DF=CD-CF=AB-CF=6-1=5.

又•・•AD=BC=5,

・•・产为等腰直角三角形.

；./EFK=45。，则AEK/也是等腰直角三角形，

，EK=FK,

在RSEK/中，设EK=FK=