北师大版小学数学五年级上册第十三周组合图形面积探究教案

北师大版小学数学五年级上册第十三周组合图形面积探究教案

单元主题：多边形的面积（拓展与应用）

核心课时：组合图形面积的策略化探究（4课时）

设计者：[资深数学教师/课程专家]

日期：[按教学进度填写]

第一部分：顶层设计与理念阐述

一、设计理念

本次教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，以发展学生“核心素养”为根本导向，超越传统课时孤立、知识灌输的模式。我们坚信，数学教学的本质在于思维的锻炼与智慧的启迪，而非公式的机械记忆。本设计以“组合图形面积”为知识载体，实现四大理念的深度融合：

1.素养导向，思维可见：将“运算能力”、“几何直观”、“空间观念”、“推理意识”和“模型意识”的培养贯穿始终。通过“操作—观察—猜想—验证—表达”的完整探究链条，让学生的数学思维过程可视化、可讨论、可优化。

2.结构化整合，构建知识网络：将本单元已学的平行四边形、三角形、梯形面积计算进行有机整合，引导学生理解“组合图形”实质上是基本图形的有机构成。教学旨在帮助学生构建“化归”（转化与归结）的数学思想方法网络，打通知识间的内在联系，实现从“点状知识”到“结构认知”的跃迁。

3.真实情境与问题驱动：创设来源于城市规划、家居设计、艺术创作等跨学科的真实或模拟真实情境，使数学问题“有根、有源、有趣”。以富有挑战性的驱动性问题（如：“如何为社区不规则花坛预算草坪面积？”）统领学习过程，激发学生内在探究动机。

4.差异化与个性化支持：尊重学生认知风格与思维水平的差异，提供从直观操作（剪拼）到半抽象（画辅助线）再到符号化（灵活选择公式计算）的多层次学习路径。通过“基础任务—挑战任务—创造任务”三级任务群，确保每位学生都能在最近发展区内获得成功体验与思维提升。

二、学情分析

已有基础：

1.知识层面：学生已熟练掌握平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，理解公式的推导过程（转化思想），具备一定的整数、小数四则运算能力。

2.技能层面：能够使用直尺进行规范作图，具备初步的图形分割与拼补的动手操作经验。

3.思维层面：初步接触过简单的图形组合，对“整体”与“部分”的关系有基本认知。

潜在困难与误区：

1.思维定势：面对不规则图形，容易产生思维固化，无法主动联想到将其转化为已学基本图形。

2.策略单一：可能倾向于使用自己最先想到的一种分割或添补方法，缺乏多策略探索与优化的意识。

3.数据识别障碍：在分割或添补后，寻找并正确选择每个基本图形的相关数据（尤其是底、高）是主要难点，学生常因数据对应错误导致计算失误。

4.解题规范欠缺：解题步骤跳跃，表述混乱，缺乏清晰的“策略描述—数据标注—列式计算—单位作答”的规范流程。

发展契机：

本周学习是单元知识的综合应用与思想方法的升华点。通过挑战“组合图形”这一综合性问题，能有效锤炼学生分析问题、制定策略、执行计算、检验反思的完整问题解决能力，是培养数学核心素养的关键契机。

三、教学目标

1.知识与技能目标：

1.认识组合图形，理解其本质是由几个基本图形组合而成。

2.掌握计算组合图形面积的常用方法（分割法、添补法、割补法），能根据图形特征灵活选择和运用。

3.能正确找出或计算所需数据，并准确计算组合图形的面积。

2.过程与方法目标：

1.经历“观察图形—提出策略—动手验证—对比优化”的完整探究过程，体会“化归”这一基本数学思想。

2.通过小组合作、方案交流与辩论，发展多角度分析问题的能力和策略优化的意识。

3.学会用规范的数学语言和图表清晰表达自己的解题思路。

3.情感、态度与价值观目标：

1.在解决具有现实背景的问题中，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.在策略多样化的探讨中，欣赏数学的简洁与智慧之美，养成乐于探究、敢于创新、严谨求实的科学态度。

3.通过合作学习，培养倾听、分享、协作的团队精神。

四、教学重点与难点

1.教学重点：探索计算组合图形面积的有效策略，理解并掌握分割、添补等基本方法。

2.教学难点：

1.3.策略的灵活选择与优化：如何引导学生根据图形特征选择简便、高效的解题策略。

2.4.数据的有效识别与处理：如何在分割或添补后，从复杂图形信息中准确提取每个基本图形的必要数据（特别是公共边、隐藏条件）。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（含动态几何软件演示，如GeoGebra）。

2.3.实物投影仪。

3.4.印刷精美的学习任务单（含基础、挑战、创造三个层次）。

4.5.组合图形纸模（可剪切）、彩笔、学习记录卡。

5.6.创设“小小规划师”项目情境的相关背景材料。

7.学生准备：

1.8.直尺、三角板、量角器、剪刀、彩笔。

2.9.预习回顾平行四边形、三角形、梯形的面积公式。

3.10.分好学习小组（4人异质小组）。

第二部分：教学实施过程（共4课时）

第一课时：情境启航——初识组合与策略萌芽

课时目标：在真实情境中感知组合图形，激发探究欲望；通过动手操作，初步体验将未知图形转化为已知图形的基本思路。

一、情境导入，提出问题（约10分钟）

1.项目启动：“同学们，学校委托我们班担任‘校园微更新’规划师，为我们校园内一块待美化的区域进行设计。这是区域平面图（课件出示一个不规则图形，如L形，标有一些边长数据）。我们需要计算这块区域的面积，以便采购草皮和花卉。你们能帮学校解决这个预算难题吗？”

2.观察与思考：学生观察图形，与之前学过的规则图形对比，发现不同。“这个图形不像我们学过的任何一个基本图形，它的面积该怎么求呢？”引出“组合图形”的概念：由两个或两个以上的基本图形组合而成的图形。

3.明确任务：揭示课题，并发布本课时核心任务——“探索计算这个‘L形’活动区域面积的多种可能方法”。

二、探究活动一：动手操作，初探策略（约20分钟）

1.独立思考与尝试：每位学生分发“L形”纸模和学习记录卡。要求学生先独立思考，尝试在记录卡上画出你的想法，也可以动手剪一剪、拼一拼。

2.小组合作探究：

1.3.小组内交流各自的想法。

2.4.合作目标：利用剪刀和纸模，至少找出两种不同的方法，将这个“L形”转化成我们会计算面积的图形。

3.5.教师巡视，关注不同思维层次的学生，对无从下手者给予提示（“能把它分成你认识的图形吗？”“能把它补成一个更大的规则图形吗？”）。

6.策略展示与命名：

1.7.请不同的小组上台，利用实物投影展示他们的转化方法。

2.8.典型方法预测：

1.3.9.分割法1：分成两个长方形。

2.4.10.分割法2：分成两个梯形。

3.5.11.添补法：补成一个大长方形，再减去一个小长方形。

6.12.教师引导学生为这些方法命名（分割法、添补法），并板书核心思想：“转化”——将不会的变成会的。

三、探究活动二：从操作到图示，建立联系（约8分钟）

1.挑战升级：“刚才我们是用剪刀剪的，如果没有剪刀，只在平面图上，我们怎么表示这些方法呢？”

2.引导画“辅助线”：教师在黑板上用虚线画出不同分法或补法，强调这条帮助我们思考的线叫“辅助线”，通常画成虚线。

3.学生模仿与巩固：学生在自己的学习任务单原图上，用不同颜色的彩笔画出2-3种不同的辅助线分割或添补方案。

四、总结与预告（约2分钟）

1.教师总结：“今天我们发现，面对复杂的组合图形，可以通过‘画辅助线’的方式，用‘分割’或‘添补’的策略，把它变成我们熟悉的基本图形。这就是数学中非常重要的‘化繁为简’、‘转化’的思想。”

2.留下思考题：“画出辅助线只是第一步，接下来该如何计算呢？每种方法需要哪些数据？我们下节课继续深入探究。”

第二课时：策略深研——数据提取与计算建模

课时目标：在画辅助线的基础上，能准确识别并提取每个基本图形的必要数据；经历完整的“策略—数据—计算—检验”流程，建立解题规范。

一、复习导入，明确焦点（约5分钟）

1.快速回顾上节课对“L形”区域的几种转化策略，课件动态展示分割与添补过程。

2.提出问题：“方案有了，要具体计算面积，我们需要知道每个基本图形的哪些条件？这些条件能从图中直接找到吗？”

二、探究活动三：数据追踪与策略计算（约25分钟）

1.以“分割成两个长方形”为例，示范建模：

1.2.策略描述：用一条竖辅助线，将图形分成左边一个长方形A和右边一个长方形B。

2.3.数据标注：在图上分别标出长方形A的长和宽（a1，b1），长方形B的长和宽（a2，b2）。引导学生发现，有些数据是直接给出的，有些需要根据整体长度进行简单计算（如：a2=总长-a1）。

3.4.列式计算：S总=SA+SB=a1×b1+a2×b2。

4.5.规范作答：强调步骤完整、单位统一。

6.小组任务：选择与计算：

1.7.各小组从第一课时探索的多种策略中，选择两种不同的策略（一种分割法，一种添补法），完成完整的面积计算。

2.8.任务要求：①在任务单上清晰画出辅助线并标注策略名称；②在图上标注出计算每个部分所需的所有数据；③列出分步计算式；④算出最终面积。

3.9.教师深入小组，重点关注学生对“公共边”、“间接数据”的理解和处理，及时纠正数据对应错误。

10.全班交流与验证：

1.11.请采用不同策略的小组汇报展示。

2.12.关键提问1：“你们组的方法中，哪个数据是隐藏的？是怎么得到的？”

3.13.关键提问2：“用不同的方法计算，结果一样吗？这说明了什么？”（引导理解策略不同，但结果一致，可以相互验证，培养检验意识）。

4.14.关键提问3：“对比这几种方法，在计算步骤和难易程度上，有什么不同？你更倾向于哪一种？为什么？”（初步渗透策略优化思想）。

三、归纳建模，形成范式（约8分钟）

1.师生共同归纳解决组合图形面积问题的一般步骤：

第一步：观察分析（看图形特征，想基本图形）。

第二步：策略选择（画辅助线，确定用分割、添补还是割补）。

第三步：数据提取（找准、算准每个基本图形的底、高等必要数据）。

第四步：列式计算（分步计算，再组合）。

第五步：检验作答（检查数据、计算、单位）。

2.教师板书这一“问题解决模型”，并要求学生记录在数学笔记本的显要位置。

四、课堂巩固练习（约10分钟）

1.出示2-3道由浅入深的组合图形题目（如：房屋侧面图、火箭模型图）。

2.学生独立应用“五步法”完成其中一道，重点练习数据标注和分步列式。

3.同桌互评，检查步骤是否完整、数据是否对应准确。

五、总结与作业布置（约2分钟）

1.总结本节课的核心收获：不仅要有策略，更要关注策略实施中的细节——数据。

2.作业：完成学习任务单上的“基础闯关”部分（3道标准组合图形计算题）。

第三课时：思维进阶——策略优化与灵活应用

课时目标：在掌握基本方法的基础上，能根据图形特征优选策略；能处理稍复杂的、数据条件更隐蔽的组合图形问题；初步接触“割补法”。

一、思维热身，策略回顾（约5分钟）

1.快速抢答：出示几个简单组合图形，让学生口答可以用什么方法转化，旨在快速激活策略库。

二、探究活动四：策略优化大讨论（约20分钟）

1.出示对比案例：课件并列呈现两个组合图形。

1.2.案例A：一个近似“凸”形的图形，用添补法（补成长方形）非常简洁。

2.3.案例B：一个由三角形和梯形组合的图形，用分割法（分成三角形和梯形）直接明了。

4.小组讨论：“面对不同的图形，选择策略时我们应该考虑什么？”

5.全班提炼优化原则：

1.6.原则一：简便性。尽量使分出的图形个数少，计算步骤简单。（“能分成两个，就不分成三个”）

2.7.原则二：数据可得性。选择的方法要能方便地找到或计算出每个基本图形所需的数据。如果一种分法导致某个图形的高很难求，就要考虑其他分法。

3.8.口诀引导：“观察特征是第一，数据齐全最省力。分割添补多比较，怎么简便怎么巧。”

9.挑战练习：出示一道需要“割补法”（将图形一部分切割下来补到另一处，形成基本图形）的题目，如“一片树叶形”近似图形。引导学生思考：“分割、添补好像都有点麻烦？能不能像玩七巧板一样，把它‘移一移’？”动态演示割补过程，拓展策略视野。

三、探究活动五：实战应用——“规划师”项目深化（约12分钟）

1.发布进阶项目任务：“校园规划进入第二阶段！现在我们面对的是更复杂的区域（课件呈现一个由曲线边界近似为折线的花坛图形，或一个带有缺角的场地）。请各规划小组完成以下任务：”

1.2.任务1：独立分析图形，至少提出两种可行的面积计算策略。

2.3.任务2：小组内论证，选择一种最优策略，并说明理由。

3.4.任务3：合作完成最优策略下的面积计算报告。

5.小组合作完成。教师提供“策略论证记录表”，要求学生填写不同策略的优缺点对比。此环节重点考察学生的策略评估与决策能力。

四、交流点评与反思（约8分钟）

1.小组代表汇报，重点阐述“为什么选择这种策略”。

2.其他小组提问或补充。

3.教师点评，强调“没有唯一最好的方法，只有对当前条件和目标更合适的方法”，培养学生的辩证思维和优化意识。

五、总结与作业布置（约5分钟）

1.总结策略优化的核心思想。

2.作业：完成学习任务单上的“挑战升级”部分（2道需要策略优化和1道涉及简单割补思想的题目）。

第四课时：综合创生——跨学科融合与评价反思

课时目标：在跨学科真实项目中综合运用所学知识解决复杂问题；通过设计创作活动，实现知识的迁移与创新；进行过程性评价与单元反思。

一、项目终审：“我的校园我设计”创作活动（约30分钟）

1.情境终章：“经过前三节课的勘探与计算，我们已经成为合格的‘面积计算师’。现在，最终挑战来临：请以小组为单位，担任‘总规划师’，为我们校园的一块自拟形状的空地（组合图形）进行创意设计，并做出精准的预算。”

2.项目要求：

1.3.设计区：在方格纸（提供1cm×1cm方格）上，设计一个富有创意的组合图形区域（如：抽象校徽形、趣味动物形、科技感造型等）。图形必须由已学的基本图形构成。

2.4.计算区：①在图上用虚线清晰标明计算面积所用的策略（辅助线）。②在图纸空白处详细列出计算步骤，并算出总面积。③根据面积，预算所需草皮的费用（假设草皮单价为X元/平方米）。

3.5.说明区：为你设计的区域起名，并写一句简短的设计理念。

6.小组创作：学生分组进行设计、计算、美化和说明。教师巡回指导，作为“项目顾问”提供支持。鼓励学生使用多种策略验证自己设计的图形面积。

7.成果展示会：各组将作品张贴于“校园规划展板”，进行简短（1分钟）宣讲。其他小组和教师可以作为“评审团”，从“创意性”、“计算准确性”、“方案清晰度”三个维度进行贴纸点赞。

二、单元梳理与思维导图构建（约8分钟）

1.引导学生回顾本单元（多边形面积）的学习历程：从平行四边形的转化推导，到三角形、梯形，再到今天的组合图形。

2.核心提问：“贯穿整个单元的灵魂思想是什么？”（转化）。

3.师生共同在黑板上绘制本单元的思维导图，中心词为“多边形的面积”，主干延伸出：基本图形（公式、推导）、组合图形（策略：分割、添补、割补；思想：转化、优化）、应用。将“组合图形”作为“应用”和“思想升华”的关键节点。

4.学生完善自己的个人思维导图，建立结构化知识体系。

三、综合性评价与反思（约7分钟）

1.自我评价：学生填写“学习历程反思卡”，内容包括：

1.2.我掌握得最好的方法是……。

2.3.我攻克的最大难点是……。

3.4.在小组合作中，我的贡献是……。

4.5.我还想进一步探究的问题是……。

6.课堂小结：教师进行情感升华：“同学们，这一周我们不仅学会了计算组合图形的面积，更像数学家一样，经历了遇到新问题、转化旧知识、寻找新策略、优化解决方案的完整过程。这才是数学学习带给我们的最宝贵的财富——解决问题的能力与创新的勇气。”

第三部分：教学评价设计

本单元采用“过程性评价”与“总结性评价”相结合、“量化评价”与“质性评价”相统一的多元评价体系。

1.过程性评价（占比60%）：

1.课堂观察记录：教师记录学生在探究活动中的参与度、提问质量、合作表现、思维闪光点。

2.学习任务单：评价“基础闯关”、“挑战升级”的完成质量，关注解题规范与策略多样性。

3.项目作品评价：对“我的校园我设计”作品从“数学准确性”、“策略合理性”、“创意与表达”三个维度进行等级评价（rubrics量表）。

4.小组合作评价：组内互评与自评，评价个人在小组中的角色与贡献。

2.总结性评价（占比40%）：

1.单元结束时进行一次小型纸笔测试，题目设计侧重考察策略选择（如：给出图形，要求画出不同辅助线）、数据提取和实际问题解决，减少纯机械计算比重。

第四部分：作业设计（分层示例）

A层（基础巩固）：

1.计算下列组合图形的面积（图形为标准长方形、三角形组合，数据直接）。

2.对同一个图形，用两种不同的分割法计算面积，并验证结果是否相同。

B层（能力提升）：

1.计算稍复杂的组合图形面积（需间接求取个别数据）。

2.分析两个图形，分别说明用哪种方法（分割或添补）更简便，并写出理由。

3.解决一个情境应用题：如计算中队旗的面积（缺角三角形），需要先添补再减去。

C层（拓展创新）：

1.（选做）研究“等积变形”思想：周长相同的图形，面积一定相同吗？面积相同的图形，周长呢？举例或画图说明。

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