浙教八年级数学下册复习-第四章 平行四边形（压轴题专练）

第四章平行四边形（压轴题专练）

一.选择题（共8小题）

1.（2023秋•泰山区期末）如图，口/lBC。的对角线AC、3。交于点O,AE平分NB人。交8C

于点E,且NAOC=60°,AB』BC，连接。区下列结论：①NC4O=30°；②乱人武刀二

2

AB-AC；③O8=A8；®0E=^BC>⑤乙V。=60°.其中成立的个数是（）

2.（2023秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形A3CO中，AB=6cfntAD=10cm,点P

在AD边上以每秒\cm的速度从点A向点。运动，点。在BC边上以每秒2.5cm的速度从

点C出发，在。8间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点。时停止运动，同时点Q

也停止运动.设运动时间为fs,开始运动以后，当/为何值时，以P,。，Q,B为顶点的

四边形是平行四边形？（）

A.型B.地C.空或9D.更或更

373737

3.（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分NACB和乙4BC,

过点A作ADJ_C/于点0,作AG_LBE于点G,若AB=9,AC=8,BC=7,则G。的长

为（）

4.（2023春•海阳市期中）已知口人8。的边八。=10,ND45的平分线交C。所在直线于点

E,且CE=2,则边48的长为（）

A.8B.10C.12D.8或12

5.（2023秋•江油市期中）若一个多边形截夫一个角后.形成的新多边形的内角和是1620°.

则原来多边形的边数可能是（)

A.A或11B.11

C.11或12D.10或11或12

6.（2022秋•钢城区期末）如图，3。为DABC。的对角线，ZDBC=45°,DE1BC于点、E,

3凡LCD于点F,DE、相交于点“，直线交线段4。延长线于点G,下列结论：①

2

ZA=NBHE；②/BHD=NBDG；③BEZ+BGZMAG?；④若EH=2HD,则S0ABep=^-CE,

其中正确的结论有几个（）

D.4

7.（2021•河北）如图1,^ABCDAD>AB,NA8c为锐角.要在对角线80上找点N,

M,使四边形4NCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

作WV13Q于.V：作4YCM分别平分：

CM_L5D于M：NBAD.NBCD,交：

!BD于点N,M

图2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

8.（2023春♦鱼台县期末）如图，在△ABC中，AB-3,AC—4,BC—5,△AB。，△ACE,

△8CF都是等边三角形，下列结论中：®AB1AC；②四边形AEFO是平行四边形；③/

DFE=\50°；④Sms形WD=8.错误的个数是（）

R

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共9小题）

9.（2021春•上城区校级期中）如图，平行四边形A8CO的对角线相交于点O,且

过点O作OM_LAC,交AD于点M.如果△CDW的周长为8,那么平行四边形ABCD的

周长是.

10.（2020•河北模拟）如图，点E、尸分别在平行四边形A8C。边BC和AQ上（E、F都不

与两端点重合），连接DE、BF、CF,其中AE和8户交于点G,。£和。产交于点”，

令更=〃，至="若,〃=〃，则图中有个平行四边形（不加别的辅助线）；若〃叶〃

BCBC

=1,且四边形ABC。的面积为28,则四边形FGEH的面积为.

11.（2023秋•岱岳区期末）如图，已知四边形A3。中，AC±BD,AC=1（）,BD=12,点、E、

厂分别是边A。、3C的中点，连接七巴则EE的长是.

12.（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，在U/18CO中，ZC=120°,AO=2A8=8,点”，G

分别是边8,8c上的动点，连接A”，HG,点七为A”的中点，点尸为G4的中点，连

接上兄则石厂的最大值与最小值的差为.

13.（2023秋•潮南区期末）如图，在平行四边形A8C。中，已知AB=4,BC=6,NABC=

60°•点夕是水？边卜一动点（点夕不与从。重合）.连接AP.作点A关干直线AP的

对称点。，则线段QC的最小值为

14.（2022秋•淄川区期末）如图，在四边形ABC。中，AB=4.9,E,歹分别是AZ）,BC的中

点，连接尸E并延长，分别交BA,C。的延长线于点M,N,且/BMF=/CNF,则C。

的长为.

15.（2022春•海陵区校级期末）定义：作uABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P,P

与这组邻角的公共边组成的三角形为口ABC。的“伴侣三角形"，为平行四边形的伴

侣三角形.AB=m,BC=4,连接AP并延长交直线C。于点0,若Q点落在线段。。上

（包括端点C、。），则机的取值范围.

16.（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形45CO中，EF//AD,GH//AB,EF与

GH交于点O,则图中平行四边形的个数是.

DFC

17.（2023春•浙江期中）如图，有一张平行四边形纸袋ABCD,AD=5cm,AB=2cm,ZA

=120°,点七，尸分别在边A。，BC上，DE=\cm.现将四边形沿EE折叠，使点

C,D分别落在点C',Dr上.当点C'恰好落在边AD上时，线段CF的长为

cm.在点F从点B运动到点C的过程中，若边FC与边AD交于点M,

则点例相应运动的路杼长为cm.

18.(2023•蜀山区二模)如图1,在四边形48co中，已知A8=8C=CQ,N84O和NCOA

均为锐角，点。是对角线3。上的一点，PQ〃84交AO于点Q,PS〃BC交DC于点、S,

四边形PQRS是平行四边形.

(1)当点P与点8重合时，图1变为图2,若N48D=90°,求证：BR=RD；

(2)对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足

什么条件？

19.(2023秋•宁阳县期末)如图所示，四边形A8CO是平行四边形，N84O的角平分线AE

交CD于点、F,交8c的延长线于点E.

(1)求证：BE=CD；

(2)若BF恰好平分NABE,连接AC、DE,求证：四边形ACE。是平行四边形；

(3)若Bb_LAE,ZBEA=60°,48=4,求平行四边形ABC。的面积.

AD

20.(2023秋•杜尔伯特县期末)在。ABC。中，E,尸分别是AB,上的点且4E=C广，连

接DE,BF,AF.

(1)求证：四边形。瓦瓦是平行四边形；

(2)若NZM/=N8ARAE=3,DE=4,BE=5,求A/7的长.

21.(2023春♦浙江期中)已知在平行四边形ABCD中，E是边A力的中点，尸是边AB上一动

图1图2图3

(1)如图1,连接FE并延长交8的延长线于点G,求证；E是R7的中点；

(2)如图2,CF1AB,AD=2AB,求证：/DEF=3/AFE；

(3)如图3,若Cf\L46,人O=2AB=4,ZB=60°时，K是射线CO上一个动点，将EK

逆时针旋转90°得到EM，连接尸M,求产M的最小值.

22.(2023春•海曙区校级期中)己知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm

的速度从点A向点。运动.

(1)如图1,在运动过程中，若CP平分/BCD,且满足C7)=CP,求NB的度数.

(2)如图2,另一动点Q£8c边上，以每秒2c7〃的速度从点C出发，在BC间往返运动，

P，Q两点同时出发，当点P到达点。时停止运动(同时。点也停止)，若AD=6cm,当

运动时间为秒时，以P，D,Q,8四点组成的四边形是平行四边形.

(3)如图3,连结3P并延长与CO的延长线交于点F,CE平分NACF交BF于E点,连

接AE,当AE_LCE,=8时，求AC的长.

(4)如图4,在(1)的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F,连结AF,若

AB=4cmf求AAP/的面积.

第四章平行四边形（压轴题专练）

答案全解全析

一.选择题（共8小题）

1.（2023秋•泰山区期末）如图，口A8C。的对角线AC、80交于点O,AE平分NBA。交8c

于点E,且N4QC=60°,AB[BC，连接OR下列结论：①NC4O=30°；②品"°=

AB^AC；③OB=AB；@OE=^BC；⑤NAEO=60°.其中成立的个数是（）

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由平行四边形ABCD中，ZADC=60°,易得△ABE是等边三角形，又由

BC,证得①/。。=30°；继而证得ACLAB,得②5邛什四边形小=A3•AC；根据AB=^BC,

OB=/BD,且8O>8C,得到A3W03,故③错误；可得0E是三角形的中位线，证得④

OE=1BC；由等边三角形的性质得到N4EC=12（）°,根据等腰三角形的性质可得NAEO

4

=-lZAEC=60°.

2

【解答】解：•・•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,

：.ZDAE=ZBEA,

•••AE平分NBA。，

・•・ZDAE=NBAE,

:・NBEA=NBAE,

；.AB=EB,

VZABE=ZADC=60°,

•••△/WE是等边三角形，

；・AB=BE=AE,

•：AB=^BC,

2

.・.RE=1RC,

2

；.BE=CE=AE,

：.ZEAC=ZECA,

：.ZAEB=ZEAC+ZECA=2ZECA=60°,

/.ZECA=30°,

：.ZCAD=ZECA=30°,

故①正确；

•：ZEAC=ZECA=30n,ZBAE=60°,

：・NBAC=NEAC+NBAE=300+60°=90°,

：.ACLAB,

：.S^ABCD=AB*AC,

故②正确；

AB±OAf

：.OB>AB,

：.OBW4B,

故③错误；

9：ZCAD=30°,NAE8=60°,AD//BC,

：.ZEAC=ZACE=30°,

：.AE=CE,

・・・BE=CE,

a：OA=OC,

・•・OE=1AB=^BC,

24

故④正确；

二•△ABE是等边三角形，

・・・NA£8=60°,

/.ZAEC=120°,

VCE=AE,OA=OCf

：.ZAEO=ZCEO=^-ZAEC=60°,

2

故⑤正确.

故选：D.

2.（2023秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形A8C7）中，A8=6c〃z,A/）=10cm,点〃

在AZ）边上以每秒1C777的速度从点4向点。运动，点。在3c边上以每秒2.5C7门的速度从

点C出发，在C3间往返运动，两个点同时出发，当点尸到达点。时停止运动，同时点。

也停止运动.设运动时间为心，开始运动以后，当，为何值时，以P,D,Q,B为顶点的

四边形是平行四边形？（）

A.以B.丝C,空或&D,9或变

373737

【分析】由四边形48co为平行四边形可得出PO〃B。，结合平行四边形的判定定理可得

出当时以P、。、Q、8四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每

种情况中由尸0=3。即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：:四边形ABC。为平行四边形，

APD//BQ.

若要以尸、。、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，贝l」PO=BQ.

设运动时间为t.

当0V/W4时,AP=t,尸0=10-3CQ=2.5tf8Q=10-2.53

.,.1（）-/=10-2.5/,

1.5r=0,

A/=0（舍去）；

当4VfW8时,AP=t,PD=IO-3BQ=2.5t-10,

A10-r=2.5r-10,

解得：/=当；

当8V/W10时，AP=t.PD=10・3CQ=2.5「20,BQ=30-2.5f,

.,.10-r=30-2,5n

解得：!=黑（舍去）；

3

综上所述，，的值为与时，以P,D,Q,8为顶点的四边形是平行四边形.

故选：B.

3.（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分NACB和乙4BC,

过点A作AO_LC产于点。，作AG_L3E于点G,若A8=9,AC=8,BC=Q,则GO的长

为（）

A.5.5B.5C.6D.6.5

【分析】延长AD,交CB的延长线于点P,延长AG,交BC的延长线于点Q,依据等腰

三角形的判定与性质，即可得到?。的长；再根据三角形中位线定理，即可得到。G的长

等于P。的长的一半.

【解答】解：如图所示，延长AO,交C8的延长线于点P,延长AG,交8c的延长线于

点Q，

,/CF.BE分别平分NAC6和NABC,

：・NACD=NPCD,NABG=NQBG,

乂・.・4OJ_CRAGLBE,

：.ZADC=NPDC,/AGB=/QGB,

・・・NC"=/P,/84G=NQ,

・・・AC=PC=8,AB=QB=9,

又,：BC=1,

：.PQ=BQ+PC-BC=9+S-7=\0,

•：AC=PC,CO平分N4CP,

・・・点。是AP的中点,

同理可得，点G是A。的中点，

・・・OG是△APQ的中位线，

：.DG=^PQ=5,

故选:B.

Q

4.（2023春•海阳巾期中）已知口A8C/J的边AO=1。，的平分线交C/J所在直线于点

£且CE=2,则边A3的长为（)

A.8B.10C.12D.8或12

【分析】由平行四边形的性质推出AB//DC,由角平分线定义，平行线的性质推出DE=

A£>=10,分两种情况即可求解.

【解答】解：如图，当石在OC延长线上时，

•・,四边形ABCD是平行四边形,

：.AB//DC,AB=CD,

，ZE=ZBAE,

TAE平分N84。，

：./DAE=/BAE,

：.ZE=ZDAE,

：.DE=AD=W,

：.DC=DE-CE=]0-2=S,

：.AB-CD-S；

如图，当E在线段CD上时，

・・•四边形ABCD是平行四边形,

:・AB〃DC,

・•・NAED=NBAE,

TAE平分NBAZ),

：.ZI)AE=ABAEf

・•・ZAED=ZDAEf

：.DE=AD=\O,

：.DC=DE+CE=10+2=12,

：.AB=CD=\2,

・・・A8的长是8或12.

故选：D.

5.（2023秋•江油市期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是16200,

则原来多边形的边数可能是（）

A.10或11B.11

C.11或12D.10或11或12

【分析】先设内角和是1620°的多边形的边数为〃，根据多边形的内角和公式，列出关于

〃的方程，求出必再根据一个多边形截去一个角后边数可以增加1,不变或减少1,求出

原多边形的边数即uj.

【解答】解：设内角和是1620°的多边形的边数为小

则180（n-2）=1620,

fi・2=9,

〃=11,

•・•一个多边形截去一个角后边数可以增加1,不变或减少1,

・••原多边形的边数可能是10或11或12,

故选：D.

6.（2022秋•钢城区期末）如图，B。为口A8CO的对角线，NDBC=45°,DE上BC于点、E,

BF工CD于点、F,DE、8尸相交于点"，直线8b交线段AO延长线于点G,下列结论：①

NA=NBHE；②/BHD=/BDG；③BE2+BG2=AG2；④若EH=2HD,则5力。/,

*AXDLJJ4

A.1B.2C.3D.4

【分析】由。El8C干点凡BF1CD千点、F,得/BEH=/DEC=/CFB=qO°•则/

ClZE/7F=18O°,而NBHEiN£7〃-180°,所以NBHE=NC,由平行四边形的性质得

NA=NC,所以NA=NB”E,可判断①正确；由AD//BC,得NAO8=NQ8C=45°,

则N8OG=135°,ZEDB=ZDBC=45°,所以N3”£>45°,则/力/OV135°,所以

/BHDWNBDG,可判断②错误；因为NABG=NO/G=9()°,所以AB2+BG2=AG2,由

DE<CD,且BE=DE,AB=CD,得BE<AB,可知BE2+BG2^AG2,可判断③错误；由

EH=2HD,得BE=DE=SEH,再证明得EH=CE,则BE=DE=ScE,

22

所以8C=$CE,则*„)=8。・。后=①。式可判断④正确，于是得到问题的答案.

24

【解答】解：TDE上BC于点E,BF上CD于点、F,

：.ZBEH=ZDEC=ZCFB=90°,

・・・NC+NE”F=36(r-2X90°=180°,

•：NBHE+/EHF=180°,

:・NRHE=NC,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・ZA=ZC,

NA=NBHE,

故①正确；

\9AD//BC,

：.ZADB-ZDBC~45Q,

：.ZBDG=180°-45°=135°,/EDB=/DBC=45°,

■:/BHE>/EDB,

A1800-ZBHD=ZBHE>45°,

：.ZBHD<135°,

：・NBHDW/BDG,

故②错误；

•：AB//CD,

：.ZABG=ZDFG=90°,

:.AB2^BG2=AG2,

■:DE<CD,且BE=DE,AB=CD,

：.BE<ABf

BU+BG2WAG2,

故③错误；

♦：EH=2HD,

，BE=DE=SEH,

2

在和△£>'中，

，ZBEH=ZDEC

<ZBHE=ZC，

BE=DE

:•△BHEm/\DCE(AAS)r

:・EH=CE,

:・BE=DE=SCE,

2

：.BC=CE+^CE=^-CE,

22

，S。ABCD=BC・DE=^-CEXlcE=-^-CE2,

224

故④正确，

故选:B.

7.（2021•河北）如图1,口中，AD>AB,NABC为锐角.要在对角线8D上找点M

M,使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

取中点。，作作于N：作/NCA/分别平分

BN=NO,OM=\IDCM±BD=^M:NBAD.NBCD,交

!BD于点N,M

图2I_________________

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

【分析】方案甲，连接AC,由平行四边形的性质得。8=0。，OA=OC则N0=0M,得

四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；

方案乙：证△A8N丝△COM（AAS）,得AN=CM,再由AN〃CM,得四边形4VCM为平

行四边形，方案乙正确:

方案丙；证(ASA),得AN=CM,/ANB=4CMD,则N/4NM=NCMN,

证出4N〃CM,得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确.

【解答】解：方案甲中，连接AC,如图所示：

・・•四边形ABCO是平行四边形，。为的中点，

：・OB=OD,OA=OC,

■:BN=NO,OM=MD,

:・NO=OM,

・・・四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；

方案乙中：

•・•四边形A3CO是平行四边形，

：.AB=CD,AB"CD,

：./ABN=/CDM,

■:ANLBD,CM上BD,

:.AN〃CM,/ANB=/CMD,

在△48N和△CQM中，

rZABN=ZCDM

NANB=/CHD，

IAB=CD

AAABN^ACDM(A4S),

：.AN=CMf

又・・・AN〃CM,

・•・西边形4NCM为平行四边形，方案乙正确；

方案丙中：・・•四边形A8CD是平行四边形，

:・/BAD=/BCD,AB=CD,AB//CD,

：./ABN=/CDM,

「AN平分NBA。，CM平分N8CD,

:./BAN=/DCM,

在AABN和△CDM中，

rZABN=ZCDM

«AB=CD，

ZBAN=ZDCM

:.XNBNQX3M(ASA),

:,AN=CM,/ANB=/CMD,

・•・4ANM=/CMN,

:.AN"CM,

，四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确;

故选：A.

8.（2023春•鱼台县期末）如图，在△A3C中，A8=3,AC=4,3c=5,△A8DAACE,

△8C尸都是等边三角形，下列结论中：①A3J_AC②四边形AEFO是平行四边形；③N

DFE=150°；④5四边形WD=8.错误的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由4B2+AC2=3C2,得出NR4C=90°,故①正确；再由SAS证得△ABCZ/XQBF,

得4C=O尸=AE=4,同理/C（S4S）,得AB=E/=AO=3,则四边形

是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得NOEE=ND4E=150°,则③正确；

最后求出6,故④错误；即可得出答案.

【解答】解：・・・4B=3,AC=4,BC=5,32+42=52,

:.AB2+AC2=BC2,

・•・△A3C是直角三角形，ZBAC=90°,

：.ABLAC,故①正确；

•••△48力，/VICE都是等边三角形，

：.ZDAB-ZEAC-60°,

：.ZDAE=\50°,

・・・/XABD和△尸BC都是等边三角形，

:・BD=BA,BF=BC,ZDBF+ZFBA=ZABC+ZABF=60°,

・•・/DBF=/ABC,

在△4BC与aOB歹中，

'AB=DB

<NABC=/DBF，

BC=BF

:•△ABg^DBF(SAS),

：.AC=DF=AE=4,

同理可证：△ABC9/XEFC(SAS),

.\AB=EF=AD=3,

・•・四边形A£尸力是平行四边形，故②正确；

：.ZDFE=ZDAE=\50°,故③正确；

过A作AG_L。产于G,如图所示：

则NAGD=90°，

・・•四边形是平行四边形，

AZFDA=180°-ZDFE=180°-150°=30°,

*.AG=—AD=—,

22

・・・S-£m=。户AG=4X,=6,故④错误；

・・・错误的个数是1个，

故选：A.

二.填空题（共9小题）

9.（2021春•上城区校级期中）如图，平行四边形4BCQ的对角线相交于点O,且AOWCO,

过点。作OMJ_AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么平行四边形ABCD的

周长是16.

【分析】根据题意，OM垂直平分AC,所以MC=M4,因此△CQM的周长=4O+CD,可

得平行四边形A8C7）的周长:.

【解答】解；・・・ABCZ）是平行四边形,

：.OA=OC,

OM_LAC,

：.AM=MC.

•・.△COM的周长=AD+C£）=8,

・•・平行四边形ABC。的周长是2X8=16.

故答案为：16.

10.（2020•河北模拟）如图，点E、尸分别在平行四边形ABCO边BC和AO上（E、/都不

与两端点重合），连接AE、DE、BF、CF,其中4E和8/交于点G,QE和C/交于点”，

令纵=〃，垩=机，若机=小则图中有4个平行四边形（不加别的辅助线）；若〃叶〃

BCBC

=1,且四边形A8CO的面积为28,则四边形尸GEH的面积为7.

【分析】根据平行四边形性质可得：AD//BC,AB//CD,AQ=3C,A3=CO,再由鲤=小

BC

些=加，〃?=〃，可得4/=后。，进而可得。可证明四边形AEC/、四边形BEQb

BC

为平行四边形，进而可证明四边形EGFH是平行四边形，故图中有4个平行四边形；由

m+n=1,可证明"=BE,DF=CEf连接E凡即可得：四边形ABM、四边形均

为平彳丁四边形,故S四边形FGEH=a"S^BCF=工5四边形A8CD=7.

24

【解答】解：・・•四边形ABC。是平行四边形

：.AD//BC,AB//CD,AD=BC.AB=CD

•.•-A-F--_-M---E-C--_〃z，in—n.

BCBC

.AF=EC

**BCBC?

：.AF=EC

：.AD-AF=BC-EC

即DF=BE

，四边形AEC/7、四边形尸均为平行四边形

：.AE//CF,BF//DE

・・.四边形EGFH是平行四边形

故图中共有4个平行四边形；

嘿=〃,费­=1,

.AF+EC=BC=AD

*：AF^DF=AD

：.EC=DF

：.AF=BE

・•・四边形ABE从四边形CDFE均为平行四边形

；・BG=FG,CH=FH

••5AEFG=-SABEF»S^EFH=­S^CEFr

22

S四边形FGEfl=S^EFG+S^EFH=—S^BEF+—S^CEF=—SASCF,

222

S四边形ABCQ=28

**•SABCF=—5四边形A3CD=28X2=14

22

**•S四边形FGEH=—S/\BCF=14X—=7

22

故答案为：4；7.

11.(2023秋•岱岳区期末)如图，已知四边形ABC。中，AC±BD,AC=1(),BD=12,点E、

厂分别是边A。、BC的中点，连接EE,则EE的长是—祠

【分析】取A8的中点G,连接EG、FG,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第

三边的一半求出EG、FG,并求出EG1FG,然后利用勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：如图.取4A的中点G.连接/?G、FG、

D

•IE、产分别是边A。、C8的中点，

・'EG〃〃力且12=6,

22

R7〃AC且尸6=2八。=2*1()=5,

22

V/4C1BD,

：.EGA.FG,

•*-EF=VEG2+FG2=VG2+52=V61•

故答案为：V61-

12.(2023秋•鼓楼区校级期末)如图，在口ABC。中，ZC=120°,AO=2AB=8,点”，G

分别是边CO,3c上的动点，连接A",HG,点E为A”的中点，点尸为G”的中点，连

接EF,则EF的最大值与最小值的差为_血_.

【分析】取的中点M,连接CM、AG、AC,过点A作AN_L8C于点N,证乙48=90°,

再由勾股定理和含3()°角的直角三角形的性质求出AC=4«、4N=2百，然后由三角形

中位线定理得EF=^AG,进而求出AG的最大值和最小值即可.

2

【解答】解：如图：取AZ)的中点M,连接CM、4G、AC,过点4作AN_LBC于点N,

・・・AM=OM=』O=2X8=4,

22

丁四边形ABC。是平行四边形./水:。=120°,AO=2A8=8.

・•・/£>=18()0-N6c£)=60°，AB=8=8=4,

22

・・・AM=QM=OC=4,

••.△CQM是等边三角形，

ZDMC=ZMCD=60Q,AM=MC,

・・・NM4C=NMC4=2N£>MC=2X6(r=30°,

22

・・・NACO=NMCA+NMCD=300+60°=90°,

在RtZ\ACO中，由勾股定理得：AC=-7AD2-CD2=7S2-42=4^3，

在RtZVICN中，ZACN=ZBCD-ZACD=\20°-90°=30°,

・・・.=24。=2乂4y=2«,

22

♦：AE=EH,GF=FH,

：.E”是△AHG的中位线，

，EF=LAG,

2

TAG的最大值为AC的长，最小值为4V的长，

・・・AG的最大值为4禽，最小值为2近，

・・・E/的最大值为2近，最小值为迎，

:・EF的最大值与最小值的差为2V3-痘=如，

故答案为；V3.

13.(2023秋•潮南区期末)如图，在平行四边形A3CD中，已知A8=4,BC=6,ZABC=

60°,点尸是8c边上一动点(点P不与6,C重合)，连接AP,作点8关于直线AP的

对称点。，则线段QC的最小值为_W7-4_.

【分析】过点A作AH_LBC于”，利用解直角三角形得A〃=A8・sinNA8C=2正，BH=

人8・cosNA3C=2,CH=BC-BH=4,由勾股定理得4。=2板，再由AQ=/W=4,可得

点。在以A为圆心A3为半径的04上，即当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小

值=4C-4。=2巾-4.

【解答】解：如图3,过点A作A〃J_8c于〃，连接AC,

AD

•・・AB=4,BC=6,NABC=60°,

贝I」A”=AB・sinNABC=4sin600=2近,8"=AB・cosN4BC=4cos600=2,

：.CH=BC-BH=6-2=4,

在Rt△AC"中，AC=4AH2yH2=V(2^3)2+42=2W»

・.•点8与点。关于直线4P对称，

・"Q=A8=4,

・,•点。在以A为圆心AB为半径的。A上，

，当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值=AC-4Q=2救-4,

故答案为：W7-4.

14.(2022秋•淄川区期末)如图，在四边形ABCQ中，AB=4.9,E,尸分别是A/),BC的中

点，连接FE并延长，分别交必，CO的延长线于点M,N,R/BMF—/CNF,则CZ)

的长为4.9.

【分析】连接取B。的中点G,连接EG、FG,根据E,G分别是AQ,5力的中点,

得到GE为△A8O的中位线，GEJAE，同理得到GF为△3OC的中位线，GFJCD，根据

乙乙

GE为△ABO的中位线，得至ljGE〃MB,推出NGE尸=NBMF,同理NGbE=/CNR结

合/BMF=/CNF,得至IJ/GEF=NGFE,GE=GF,AB=CD,结合A8=4.9,即可求出

CD的长.

【解答】解；连接口），取3。的中点G,连接EG、FG,

,:E,G分别是AD,BO的中点，

・・・GE为△AB。的中位线，

・•・GE=yAE»

乙

,:F,G分别是BC,B。的中点，

・・・G/为△BQC的中位线，

GF[CD，

乙

TGE为△AB。的中位线，

:,GE〃MB,

・•・ZGEF=/BMF,

•・,6/为△。。。的中位线，

:・GE〃CN,

:・/GFE=NCNF,

又,：/BMF=/CNF,

：・/GEF=/GFE,

:.GE=GF,

：.AB=CDf

•・・AB=4.9,

：.CD=AB=4.9.

故答案为：4.9.

15.（2022春•海陵区校级期末）定义：作口A5CO的一组邻角的角平分线，设交点为P,P

与这组邻角的公共边组成的三角形为。A8CQ的“伴侣三角形"，APBC为平行四边形的伴

侣三角形.AB=m,8C=4,连接AP并延长交直线CD于点0,若Q点落在线段CD上

（包括端点C、Q）,则m的取值范围2W〃W4.

【分析】根据平行四边形的性质可得N8PC=90°,当点。与点。重合时，当点。与点。

重合时，分别作图，根据全等三角形的性质求出〃2的值，即可确定机的取值范围.

【解答】解：在平行四边形ABC。中，ZABC+ZBCD=\SO°,

「BP平分NA5C,PC平令/BCD,

：・/PBC=l/ABC,/PCB=L/BCD,

22

；・/PBC+NPCB=l(ZABC+ZBCD)=90°，

2

；・NBPC=90°,

当点。与点。重合时，如图所示：

•:BP平分NA5C,

NABP=/CBP,

•；NBPC=90°,

；・NAPB=NBPC=90°,

■:BP=BP,

•••△ABPgACBP(ASA),

：.AB=BC.

VBC=4,

/./??=4,

当点。与点。重合时，如图所示:

K

D(&

B

延长CP交BA的延长线于点K,

・；BP平分/ABC,

・•・/ABP=/CBP,

•：NBPC=9()°,

：.ZKPB=ZBPC=90°,

■;BP=BP,

工AKBP叁ACBP(ASA),

:.BK=BC,KP=CP,

，：AB〃CD,

:・/K=/DCP,

又•：/KPA=/CPD,

：.AKPA^/\CPD(AS4),

：.CD=AK,

'：AB=CDf

：.BC=2AB=4,

AB=2,f

"2=2,

综上所述：当点。落在线段CO上时，机的取值范围是2W〃?W4,

故答案为：2WmW4.

16.(2022春•河北区校级月考)如图，在平行四边形力BCO中，EF//AD,GH//AB,EF与

G”交于点O,则图中平行四边形的个数是9.

【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：:四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,AD//BC.

*：AD//EF.CD//GH,

：.AB//GH//CD,AD//EF//BC,

.•.图中平行四边形有：口ABCD,口ABHG,口CDGH,口BCFE,口ADFE,口AGOE,°BEOH,

口O卜CH,口共9个.

即共有9个平行四边形.

故答案为：9.

17.（2023春•浙江期中）如图，有一张平行四边形纸条ABCD,AD=5cm,AB=2cnhZA

=120°,点七，尸分别在边43,8C上，DE=\cm.现将四边形CTE。沿七尸折叠，使点

C,O分别落在点C'上.当点C'恰好落在边40上时，线段b的长为—%_c〃z.在

点尸从点B运动到点C的过程中，若边R7与边A。交于点M,则点”相应运动的路径长

为2.8-V5—cm.

【分析】当点U恰好落在边4。上时，易得CE=CF=CF,过点石作EG_LUD'

于点G,求出O'G,EG的长度，进而求出UG的长度，勾股定理求出C'E的长度，

即可得到C/7的长；分别求出厂与B重合时，AM的长，以及C'在4。上时，AM的长,

作差即可得出点M相应运动的路径长.

【解答】解：（1）当点U恰好落在边AO上时，如图：

•・•平行四边形纸条A3CO,AD=5cmfAB=2cmtZA=120°,

：.CD=AB=2cmfZD=60°,NBCD=120°,AD//BC,

：.ZCFE=ZC，EF,

•・•折叠，

：.CO'=CD=2cm,DE=D,E=\cm,ND'=ND=60°,NCFE=NC'FE,CF=

CF,

：.Z.CFE=/CEF.

：.CE=CF=CF,

过点E作EGJ_C'D'于点G,

则：NEG。'=ZCZGE=90°,

，NGED，=30°,GD1^ED'cn,

乙乙

l2-(y)C‘G=CZD'-GD',所

・•・€/E=VcyG2+EG2=V3»

ACF=V3(厘米)；

(2)当点尸与点B重合时，此时AM最短，如图：

E=V3»CDr=2,DfE=l,

：.D'层+c'/=4=。'C2,

：.ZCfED'=90°,

：.ZECrD'=30°,

AZMC1E=NBC'O'-NEC'O'=/BCD-NEC'D'=90°

同(1)法可得：BM=ME,

设8M=ME=x,则：CM=BC-BM=BC・BM=5・x,

在RtZ\MC'E中，M£2=CE2+CrM2,即：f=3-(5-x)2,

•*-AM=AD-DE-ME=4；

b

当点C在A。上时，此时M与C'重合，AM最大，

由（1）可知，AM=AD-DE-CyE=4f/§，

・••点M运动的路径长为4-畲-§=（2.8-V3）（厘米）.

故答案为：V3>2.8-V3.

B

18.(2023•蜀山区二模)如图1,在四边形48co中，已知A8=8C=CQ,N84O和NCOA

均为锐角，点。是对角线3。上的一点，PQ〃84交AO于点Q,PS〃BC交DC于点、S,

四边形PQRS是平行四边形.

(1)当点P与点8重合时，图1变为图2,若N48D=90°,求证：BR=RD；

(2)对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足

【分析】（1）可先证CR_L8D,根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得/BCR=/DCR,

进而求得N84/?=NOCR,又有A8=CR,AR=BC=CD,可证

（2）PS//BC,PS〃/?。知，点R在Q。上，故3C〃A£）.又由A3=CO知NA=NCZM

因为SR〃PQ〃BA,所以N5RO=NA=NCD4,从而SR=SD.由PS〃BC及BC=C。知

SP=SD.而SP=DR,所以SR=SD=RD故NCD4=60度.因此四边形ABCD还应满足

BC//AD,NCDA=60°

【解答】（1）证明：・・・乙48。=90°,AB//RC,

：.CRLBD.

•:BC=CD,

:・/BCR=/DCR.

•・•四边形A8CR是平行四边形，

；・NBCR=NBAR.

:./BAR=4DCR.

又,：AR=CR,AR=BC=CD,

:,AABR出ACRD(SAS).

(2)解：由PS〃QR,PS//RD(四边形PROS为平行四边形)知，点R在QQ上，

又,：PS//BC、PS//RD,

故BC//AD.

又由48=CQ