人教版高中数学必修2 第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优卷） 解析版

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优卷）

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得。分.

1.下列命题错误的是（）

A.若£与书都是单位向量，则£=九

B.“同=|中是“£=户的必要不充分条件.

abx

C.若茄都为非零向量，则使同+同=°成立的条件是Z与否反向共线.

D.若a=B,B=c,则〃=c.

【答案】A

【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.

【详解】对A,£花都是单位向量，贝石模长相等，但方向不一定相同，

所以得不到£=3,A错误；

对B,“同=W”推不出“£=尸，但“£=产能推出“同=W”，

所以“同=同”是》的必要不充分条件，B正确；

对C,因为〉与B反向共线，

abGJk

且三，左都为单位向量，则盲+同=°，C正确；

|〃|SI\a\啊

对D,若”==则£=工，D正确，

故选：A.

2.如图，在△力吕。中，AB=6,AC=3,/BAC=；J5=i5S,则方.茄=（）

A.9B.18C.6D.12

【答案】D

【分析】由丽=2反可得而=;凝+;於，则而而=万（;初+,就）=!刘、,布.正，代入化简即可

得出答案.

【详解】由丽=2反可得：反二；死，

1

所以力。-40=-8c=—（力。-44,所以/。=一/3+—/。，

33、733

而方=布仕方+2就]」希+2布元，

U3J33

因为48=6,4C=3,/84C=-,

2

所以益•而=；/+1君.就=白36=12.

故选：D.

3.如图，圆M为△44C的外接圆，，48=4,AC=6,N为边8C的中点，则而.万？=（）

A.1（）B.13C.18D.26

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的儿何意义求解可得可得而.万与丽.祝，再根据平面向量的

运算可得出结论.

—1———

【详解】TN是8C边的中点，可得1N=5（/18+/C）,

•.•M是△44。的外接圆的圆心，

•••Zv7=|ZwIIIcosZBAM=||J^|2=1x42=8,

-----------1—,

同理可得4W-4C=514cl2=18,

/.ANAM=-（AB+AC）7M=^-AMAB+匕丽•左=匚8+U18=13.

22222

故选：B.

4.如图，在△力4c中，M为线段BC的中点，G为线段4W上一点，AG=2GM过点G的直线分别交直线48,

_________4]

4C于P,0两点，AB=xAP（x>0）,4C=yA0（y>0）,则工+^^■的最小值为（）.

A

烝

BC

M

2

9

C.3D.9

【答案】B

【分析】先利用向量的线性运算得到而=；/+3福，再利用三点共线的充要条件，得到》+，=3,再利用基本

JJ

不等式即可求出结果.

【详解】因为M为线段8C的中点，所以4"=5(力8+力。)，又因为衣=2的，所以46=3力"=](44+4。)，

又方=x"(x>0),AC=yAQ(y>d)f所以於+而，

又P,G,0三点共线，所以：+]=1,即x+y=3,

g741I/1r/川1F.xW+1)11..I~l~4』+1)、(

所以—+---=-(-+----)X+(v+1)1T4H----H---+1>-(5+2--------——)A,

xy+\4xy+\4|_y+\x」4Vy+\x.

当且仅当二，=4匕D,即x==|时取等号.

J'+1x33

5.如图，在△"(?中，ZBAC=^AD=2DB,。为CQ上一点，且Q=〃?Z+：荔，若|衣(=3,|万卜4,则开.丽

1乙

的值为()

【答案】D

【分析】结合题意可知RC,。三点共线，进而得到机=：,利用向量基本定理表示出8=；力〃-.4。,进而表示出

43

万丽计算即可.

【详解】因为而=2而，所以力。=：力优

3

?一—_2)_

所以而=乱+1方=晶+§75=0+§(65-2)=56万+52,

因为力尸=mAC+—AB,所以月尸=ni.4C+—X—AD=tnAC+—AD,

2224

BP=

31

因为PC。三点共线，所以解得加2

—1——1—

所以/尸=一/。+—48,

42

^CD--Cb^-CA--CB-¥-CA--\iAD-~AC\--~AC--~AB-^C.

33333、,33

所以万・丽=(；就+g利(河_码，

即万.丽」"刀」就2=叵2-屋土

3343412

故选：D.

6.某学生体重为〃?kg,处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳腮的最大拉力大小均为日“gN(重力加速度大

小为如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为()

A71Qf_27r

A,ND・T

【答案】B

【分析】设两只胳膊拉力最大时的夹角为仇。€(0m)，根据力的平衡可得|耳+耳|=〃呜，结合向量的数量积的运算,

即可求得答案.

【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时,

他两只胳膊的夹角最大为O,Oe(0,70,

设此时两只胳膊的拉力为冗耳，则|川=|川=*mgN,

则山+瓦|=mg,即有|丹+瓦|2=(mg)2,

所以尸十尺2+2不用=(mg)2,

即-(wg)2+-(wg)2+2x-x(wg)2xcos<9=(mg)2,

4

故cos6>=:，故6=三，

23

故选：B

7.平面四边形力8c。中，48=2,4。=26，ACLAB,ZJDC=y,则布.方的最小值为（）

A.-V3B.-2石C.-1D.-2

【答案】D

【分析】由已知，得A,B,C,。四点共圆，从而判断点。的轨迹是以4C为弦，圆周角为事的劣弧（不含A,

C两点），根据数量积的几何意义，得出结论.

【详解】由48=2,AC=26，ACLAB,

可得tan48C=9=5故乙4BC二上,

AB3

又4ADC=q,所以乙4OC+/48C=7t,

以8c为直径作圆，则A,B,C,。四点共圆，

如图所示，故点。的轨迹是以力。为弦，圆周角为牛的劣弧（不含A,。两点），

则Ab-.AB=\Ab\\AB\cosZ.BAD=2|JDjcos/BAD,

又|布卜cos/84）表示而在而上的投影，

由图可知，万Hx）s/8/Qe[-1,0）,

故万•而2-2（此时点。在劣弧"的中点位置）,

即而砺的最小值为-2.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：①由44QC+N48c=兀，得到A,B,C,。四点在以8C为直径的圆上，

②|亚卜cos/胡。看作是布在万上的投影，结合图形特征可得投影的取值范围.

8.在△48C中，角49C所对的边分别为Ac,2asin4—Ain8=3csinC,若S表示△48C的面积，则1的最

大值为（）

5

A.五B.叵C,巫D.为

4632

【答案】D

C

【分析】由条件利用正弦定理得〃，仇C的关系，由余弦定理可得COS4,结合三角形面积公式求得（匕）2的表达式,

b-

根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.

【详解】因为2asin力-bsinB=3csinC,

由正弦定理得2a2-b2=3c2,所以/,

22

由余弦定理得cosA=匕二，

2bc4bc

所以,S2（产sin"024匕c2（l-cos2^）11&2,

（或-=r—=冰一尸L

令£■=/,则信）2=4（_入］8—1）。，当且仅当"9,即c=3〃时取等号，

h2b~644

所以m4正，

b22

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出

错即可得解.

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在梯形力8c。中，AB//CD,AB=1,CZ）=3,COSZDJC=—.cosZACD=则（）

44

A./1D=—B.cosNBAD=-显C.BAAD=--D.AC1BD

244

【答案】ABD

【分析】在"CO中由正弦定理求解.4力判断A：利用两角和差公式求解cos乙4OC判断B：利用向量数量积计算

画.而判断C：利用数量积计算祝.丽=0判断D.

【详解】在"CD中,CQSZDAC=^-,cos^ACD=—，

44

则sin/CUC=—,sinZJCD=—,

44

ADCD

由正弦定理知

sin^ACDsinZDAC

V7

3X

加,CCDsxnAACD~T3V2u十〃

即4D=一•/.“，=—7vT~=，故A正确:

sinZDJCV142

丁

6

(n-ZDAC-ZACD)

=-cos(ZDJC+ZJCD)

=sinZPJCsinZJCD-cosZZ)JCcosZJCD

用力五36

=x-------x—=，

44444

•:ABHCD,:./BAD=n-ZADC,

cosZBAD=cos(n-ZJDC)=-cosZ.4DC=*故B正确；

瓦i•通二|丽|•匹卜OS(AN&1Q)

=|防H而kosN/DC=lx孚x4故C错误；

ACBD=(JD+DC](BA+J^

=AD-BA+DC-BA+AD2+DCAD

_3JV2?3/2f/2\

4I2J214J

故就J.而，即力。180,故D正确.

故选：ABD

10.点0,〃分别是的外心、垂心，则下列选项正确的是()

A.若8。=4_^+油'[且的=〃而+(1-〃)胫，则而=比

B.若2的=初+交，且力8=2，则K.益二4

C.若N8=g,OB=mOA+nOC^则〃?+〃的取值范围为12,1)

D.若痂+3筋+4近=6，W>JcosZ^//C=--

5

【答案】BCD

【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点。的位置，即可判断A；B.根据条件，确定△ABC的形状,

即可判断B：C.建立坐标系，将利用三角函数表示〃?+〃，根据三角函数的性质，即可判断C：根据垂心的性质，得

TiAHC=HAHB=HBHC，再结合数最积公式，即可求解.

【详解】A.由85=〃瓦i+(l-〃,(/IjeR)可知，点42。共线，

乂瓦5=2回+耳可知，点。在NC64的角平分线上,

(|8川\BC\)

7

所以30为△48c的角平分线，4。与。C不一定相等，故A错误；

B.若2灰)=瓦5+瓦'，则点。是月。的中点，点。又是△力6c的外心,

所以“力8c=90、ACAB=|JC||Zs|cosA=|J5|2=4,故B正确;

C.因为NB=g,所以440C=与，如图，建立平面直角坐标系，

设C(r,0),A-1,今ef—,271

,8(rcose,rsin。)，0

I3

rcos0=m-

I2J

因为旃=〃)+〃1，所以

・A百

rsin^=m---r

2

21

得〃？二耳sin。，〃=cos。+耳sin。，

m+n=cos6+-73sin2sin0+—,匹住,2小

61Jz

八兀5兀13冗、

6+—esi,则加+〃w[-2,l),故C正确;

67千,，v4rn?

D.因为疝_L*C，所以疝7.胎=()，

即赤.(比-筋)=1方.沅-1后冠=0,则福.布=而•丽,

同理，7iAHC=TicTiB,所以布•比=加•丽=7万灰，

设百i尿=而丽=丽尿=X，

因为2而+3而+4灰=6，所以痂=-2短-4成，

即3而=-2瓦I.丽-版・丽=-6x，则阿卜,

4HC=-2HA-3HB，即4而:=一2班・玩一3谣・布=一5》，

则

710

cosNBHC=cos

5，x<0,故D正确.

故选：BCD

8

【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选项的关键是

转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式必.成=福.称=丽.成的应用.

11.已知的三个内角4B,C的对边分别是4,瓦C,面积为日（/+。2一〃），则下列说法正确的是（）

（11■

A.cos4cosc的取值范围是-不立

B.若。为边月。的中点，且8。=1,则△力8c的面积的最大值为且

3

C.若A/BC是锐角三角形，则2的取值范围是2）

D.若角6的平分线8E与边力C相交于点七，且BE=6，则。+4c的最小值为10

【答案】ABC

【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得8=],对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助

正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与

角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.

【详解】由题意知S=}csin3="2+c2“），整理得力+~2=美"。出，

由余弦定理知/=2QCCOS8，/.tanB=>v^G（0,7t）,=

对A,cosAcosC=cosJcos[--A1=^sinAcosA-Los2A

I3J22

C.rA1+C0S2J1.*1

=——sin2/i----------------=—sin2A------------,

442I6J4

二.cos4cosc的取值范围为,故A正确；

I24」

对B,为边力。的中点，1.2诙=^+而，

则4=a2+c2+2BA~BC=a2+c2+ac>3ao

Aac<y当且仅当4=。时,等号成立，

••S”《sc='acsin夕故B正确；

△由24433

对干r〃cinA—cosC+-sinC—.

对十C.asmAV37222,*

csinCsinCsinCtanC2

，,△力BC是锐角三角形，:.

62

9

/.tanCG,十«?,el-,21,故C正确;

对于D，由题意得雇/朋+5心8o£=S△府《,

即—cx^xsin—+—axBExsin—=—cxaxsin—,

262623

整理得“+c=ac,即1+』=1,

ac

...a+4c=(〃+4c)p+lj=5+

9,

当且仅当4=2c时，等号成立，故D错误.

故选：ABC.

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在中，AB=3,AC=2,ZBAC=120；^AT=ABCYN为4C中点，若而♦脐=一?,则实数人的值

6

为.

2

【答案】y

,___|_I__,

【分析】由题知火/=2；1?+（1-冷万，BN=-AC-ABf进而根据题意，结合向量数量积运算律得义='.

【详解】解：因为两=2就,N为4。中点,

所以，AM=~ABA[AC-AB卜AAC+(1-2,

BN=BA+AN=BA+-AC=-AC-ABt

22

------------1

因为/8=3,4C=2,/84C=12(r,AM-BN=--

6

所以丽.丽=bn+（i_/i）荔］・乒叫—

6

因为京方=|7?,商卜0$-8/10=3

所以，24+3义一^^-9（1-2）=-；,解得义=；.

263

故答案为：（2

13.△,43C的内角4，8,C的对边分别为。，〃，。，已知戾后。+圆山3=4公足康布。，Z）*23+c2-f/2=8»则△44C的

面积为.

【答案］巫.

3

10

【分析】方法一：由正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4siMsin8sinC,化简求得sinJ=J,利用余弦定理，结合题

中的条件，可以得到2bccos4=8,由A为锐角，求得cos/=立，儿=述，利用三角形面积公式即可解出.

23

【详解】［方法—1：【最优解】边化角

因为加四。+底m8=4公出次山（7,由正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=4sin/lsin4sinC,

因为sinBsinCwO,所以sin/1=工.又因为〃+c?一/=8,

2

由余弦定理余=h2+c2-2hccosJ，可得2bccosA=8,

所以cos4>0,即A为锐角，且cos/l=且，从而求得历=生叵，

23

所以A/18C的面积为S=—6csin/1=1.生亘,=益巨.

22323

故答案为：空.

3

［方法二］:角化边

ca

因为Z?sinC+csinB=4asin8sinC,由正弦定理得be+be=4absinC,即c=2asinC,又—=----，所以，sinJ=一.又

sinesinA2

因为〃+。2一/=8,

由余弦定理理=b2+c2-2/?ccosA,可得2bccosA=8,

所以cos/l>0,即A为锐角，旦cos/=E，从而求得机,=述，

23

所以△48C的面积为5=，加豆仙=、述，=也.

22323

故答案为：空.

3

【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出sin/,再结合余弦定理求出be,即可求出面积，该法是本题的

最优解；

方法二：利用正弦定理边化角，求出sin4,再结合余弦定理求出火，即可求出面积.

14.△W8C中，N48。的角平分线交力C于。点，若=1且乙m。=t，则8c面积的最小值为.

【答案】百

【分析】由SJ8C=S/8D+SQD，结合三角形面积公式证明48+8C=48-8C,根据基本不等式证明8CN4,

由此求出5“比•面积的最小值.

【详解】因为N48C=g,8力为的角平分线，

所以/彳8。=/。8。=三，又BD=\,

故由三侑形面积公式可得S/勿,=g/13-8O・sin48Z）=与AB,

II

且

SACtRfD=—2BC-BD-sinZ.CBD=4

£

4

S△/ioc=-2J5-5C-sinZJ5C=

又S/BC=S-ABD+SKBD»

所以AB+BC=ABBC,

由基本不等式可得AB+BC>2筋瓦瓦7,当且仅当48=8C时等号成立,

所以48dCN4,

所以S,K=®AB-BCN^,当且仅当/18=8C=2时等号成立，

41BC4

所以邑低.面积的最小值为G.

故答案为：白.

【点睛】知识点点睛：本题主要考查三角形面枳公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合

图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.

四、解答题：本题共5小题，共77分，(15题13分，16-17题15分，18-19题17分)解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

15.在直角梯形力8C。中，已知荏=2觉，AD1AB,|Z5|=|c5|=l,动点E、尸分别在线段0c和上，且

丽=旃5，D5=(1-2)DC.

2__

(1)当4=§时，求力。£尸的值:

(2)求向量荏，际的夹角；

(3)求前+；箫的取值范围.

—.—.?

【答案】(1)4C・石尸二§

12

(2)90°

UlO泊

【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出刀和丽；再根据向量的数量积运算律即可求解.

（2）先根据向量的线性运算表示出冠，而；再根据向量的数量积运算得出荏.丽=0即可解答.

（3）先根据而而表示出衣+；抗再根据向量的数量积运算得出万+；/椅*I）、；：最后根据证[0,1]

即可求解.

2

【详解】(1)当/=］时・，

C11

/，・・I-・-・—一——・I

依题意知，BF=-BC,DE=-DC,DC=-AB.

332

则就=而+反=而+；荔,CB=AB-7C=-AD.

因为E尸=4/一4E，

7F=AB+BF=AB+-BC=JB+-(Ab--AB)=-(14D+AB),

~AE=AD+DE='AD+-DC=~AD+-'AB.

36

^\^EF=.4F-AE=-^AD+^AB.

因止匕衣.而=(而+!而)(一』而+■!■凝)=-1而2+!而:+2而.而.

232343

因为9=2反，%。|=,。卜1,ADJ.AB,

所以网=2,而.茄=0，

------2

所以力。名产=丁.

(2)由(1)知而=而-元=；荔-而.

因为讨1=%就，5£=(1-2)5C,

所以前=而+方=而+(1_/1)反=赤+^^万；

2

AF=AB+BF=7B+ABC='AB+Z(AD--AB)=A'AD+(\--)AB.

22

贝1」即=万一衣=(2—1)而+g而.

因为阿=2,阿卜1,而.布=0，

所以在•乔=(人-1)亚而？+一:+2］亚丽“T+i=O

42

13

故向量而质的夹角为9(r.

(3)由(2)可知:

前二而+灰=而+(1-/1)成=而+支辿在，

2

AB

因为卜B|=2,%0卜1,AD-AB=0♦

=1+夕而2+4([_可君+21+加_引而.冠

所以AF+-~AE

2

JD|2+^1-Y祠2=^22-52+5=-(2-1)2+-,

222

由题意知，Ae[O,l],

___1__的取值范围是

所•以AF+-AEp

2

・•.AE+y4F的取值范围是[半，石.

16.已知向量〃?=(cosx+sinx,6sinx),〃=(cosx-sinx,2cosx)，函数g(x)=〃?♦〃.

(1)求g(x)的最小正周期；

(2)若函数/(x)=g(x)-。在区间。皮上恰有两个零点，求实数”的取值范围.

【答案】⑴兀

⑵口，2).

【分析】(1)首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；

(2)由题意转化为y与函数g(x)在区间0,：上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的

图象，即口J求解.

【详解】(1)g(x)=??/-/?=cos2x-sin2x+2x/3sinxcosx,=cos2x+6sin2x=2sin(2x+

・・・g*)的最小正周期r=B=兀；

7T

(2)由题知g*)=。在区间0,-上恰有两个不同的实数根，

即函数g(')在区间0,]上的图象与直线N=〃恰有两个交点，

14

令"=2丫+奈,丁xw0,7V5,/.iteTV7T

21T

的图象与直线y=a，如图.

由图知，当1K〃<2时，y=2sinw的图象与直线N=。有两个交点,

实数。的取值范围为［1,2）.

17.记△48C的内角力、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V?cos8，a2+b2-c2=y/lab

⑴求B：

（2）若△.44。的面积为3+6，求c.

【答案】（1）8=^

(2)2X/2

【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosCsinC,最后结合已知sinC=>/L:os8得cosB的值即可;

（2）首先求出4凡C,然后由正弦定理可将。力均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.

【详解】（1）由余弦定理有/+/一1=2"8$。，对比已知/

可得cosC='=&史，

lab2ab2

因为。三（（）,兀），所以sinC>0,

从而sinC=Jl-cos2c=j一'

又因为sinC=A/?cos8,即COS8=5,

注意到Be（0、兀）,

所以8=g.

(2)由(1)可得8=g,cosC=»Cw(0,兀)，从而c=：,A=

1V6+x/2

而sinA=sinX-=------------

22224

15

b

由正弦定理有.5冗一.7T一.几，

sin——sin—sin—

1234

仄而二°

4222

由三角形面积公式可知，A/IBC的面积可表示为

:222228

由已知△48。的面积为3+声，可得也回02=3+8，

8

所以c=25/2.

18.在△48c中，角4丛。的对边分别为〃也c,E^asinJ+asinCcos8+bsinCcos』=bsin8+csiM.

（1）求角8的大小：

（2）若。=2,且△力8。为锐角三角形，求△川?。的周长的取值范围；

⑶若〃=w，且外接圆半径为2,圆心为。,。为。。上的一动点，试求方.丽的取值范围.

【答案】（1）8=]

⑵（3+后,6+26）

⑶卜词

【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解:

（2）利用正弦定理将周长转化为关于角A的「角函数，利用三角函数的值域即可求解;

（3）易得三角形力6c为等边三角形，取/也中点M,可得万.丽=丽2_而2;丽2_3,由尸为。。上的一-动点,

可得产财进而可求强.方的取值范围.

【详解】（1）依题意,

a_b_c

由正弦定理,

sin/sinBsinC

由asinJ+asinCcosA+bsinCcosA=hsinB+csirvl

可得/+accosB+bccosA=b2+ac»

由余弦定理2accosB=a2+c2-b2,2bccosA=b2+c2-a2,

贝lj/+d,则cosB=a+C———=-,

lac2

因为0<4<兀，所以8=w；

/\

(2)由为锐角三角形，B=R可得力w

3162,

16

2_b_c

由正弦定理一、=4=三则而厂乎—

SH*L4s】nAsine

则人加sinA+尿osA,&osA,

b=--=1+-----------

sinJsin4siivl

C24

..2cos—/z

则A48C的周长为。+6+c=3+百X^—L=3+GX——^-7=3+-^；-

c•力A力

sinA2sin—cos—t4an一

222

由依，则白偿3，因为母吟=-----\=手，整理得：

【62）2口24；6—an43

12

tan~—+2>/3tan------1=（）,解得tan—