2025~2026学年江苏市九年级上学期期末模拟考试数学试题（A卷） 含答案

/2025-2026学年江苏市九年级上学期期末模拟考试数学试卷A一、选择题

1.剪纸是中国非物质文化遗产的瑰宝，以刀剪为笔，红纸为媒，绘就千年文化传承．以下剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A. B. C. D.

2.2024年江苏省实现生产总值137008.0亿元，位居全国第二．将137008.0亿用科学记数法表示为（

）A.1.37008×105 B.1.37008×1013

3.现有4条线段，长度依次是3，6，9，11，从中任选三条，能组成三角形的概率是（

）A.14 B.12 C.35

4.将抛物线y=x2+4x−A.y=(x−1)2+3

5.若关于x的一元二次方程(k−1)xA.k≥54 B.k>54 C.k>

6.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，CD=CB，∠BAD=30∘A.60∘ B.50∘ C.30∘

7.从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再抽取1张，两次抽取的数字之和为偶数的概率是（

）A.12 B.38 C.58

8.已知AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OE=BE．点P是劣弧AD⌢上任一点（不与A、D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，已知∠F==A.53 B.65 C.3 二、填空题

9.抛物线y=

10.如图，点O在直线AB上，∠AOC=120∘,OD平分∠BOC，

11.关于x的一元二次方程x2−x

12.等腰三角形的一个底角为55∘

13.在平面直角坐标系中，点P(−

14.如图，在△ABC中，∠ABC=30∘，AB=AC=23，点D是边BC上的点，将△ACD沿AD折叠得到△AED，线段AE

15.在△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，BC=2，将△ABC

16.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作⊙O:x2+y2=m(m三、解答题

17.解方程：（1）2x（2）2(

18.解方程：x

19.在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为AB⌢，测得弧所对的弦长AB为12.8cm，弧中点到弦的距离为2cm．设AB⌢所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB

20.如图，从152m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离

21.有3部影片在“六一”档上映，分别是《哆啦A梦：大雄的地球交响乐》《维和防暴队》《猩球崛起：新世界》．小红和小海两名同学分别从《哆啦A梦：大雄的地球交响乐》《维和防暴队》《猩球崛起：新世界》三部电影中随机选择一部观看，将《哆啦A梦：大雄的地球交响乐》表示为A，《维和防暴队》表示为B，《猩球崛起：新世界》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小红同学的选择为x，小海同学的选择为y．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x（2）求小红和小海两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．

22.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点1,3,2,2.

23.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，延长EC交AB延长线于点F，且EF是⊙O的切线，连接（1）写出图中一个与∠CAE（2）求证：△BCF（3）若CDAC=1

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(5,0)，B(4,−3)（1）画出旋转后的图形△OA′B′（2）求点A运动的路径长．

25.如图1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，MN为支撑杆；其中一端固定在窗户下沿边AC上的点M处，另一端点N在窗框底边AB上滑动(窗户关闭时，AC，MN叠合在AB边上)，支撑杆MN的长度固定不变，窗户打开一定角度后，AC即与AB构成一个旋转角∠CAB，其俯视平面图如图2所示，窗户的旋转角∠CAB的大小控制在一定范围内：0≤∠CAB≤160（1）现将窗户打开至旋转角∠CAB=45∘时，第一次测得（2）在(1)的基础上，继续打开窗户，即AC绕点A逆时针旋转，旋转角∠CAB从45∘开始逐渐增大，旋转后点M，N的对应点分别为点M′，N

26.如图，抛物线y=−x2+bx+c与（1）求该抛物线的解析式；（2）求(1（3）设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出

27.荔枝是广东省的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．信息及素材素材一在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同．素材二荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖．素材三果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒．（1）任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率；（2）任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为（3）任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为____________cm．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）

28.如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD,CD（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB=∠ADC，求证：BP（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD为⊙O的直径，∠CGB=∠HGB，BG=2

答案与试题解析2025-2026学年江苏市九年级上学期期末模拟考试数学试卷A一、选择题1.【正确答案】C【考点】轴对称图形中心对称图形本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

C2.【正确答案】B【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥解：将137008.0亿用科学记数法表示为1.37008×1013．

3.【正确答案】B【考点】列举法求概率三角形三边关系本题考查了列举法求概率以及三角形的三边关系，找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可用概率公式求解．解：从长度分别为3，6，9，11的四条线段中任选三条有如下四种情况：

3，6，9；3，6，11；3，9，11；6，9，11，

能组成三角形的有3，9，11和6，9，11这两组，

∴能组成三角形的概率是24=12，4.【正确答案】B【考点】二次函数图象的平移规律把y=ax^2+bx+c化成顶点式本题考查二次函数的顶点式，抛物线的平移，先将y=解：∵y=x2+4x−1=(x+2)2−55.【正确答案】D【考点】一元二次方程的定义根据一元二次方程根的情况求参数根据根的判别式和一元二次方程的定义得出k−1≠解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有实数根，

6.【正确答案】C【考点】圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等利用弧、弦、圆心角的关系求解本题考查圆中求角度，涉及弦与弧关系、圆周角定理等知识，熟记圆周角定理是解决问题的关键．

先由CD=CB得到解：∵CD=CB，

∴CD⌢=BC⌢，

∴∠COD=∠COB=12∠DOB，

∵BD⌢=BD⌢，7.【正确答案】A【考点】列表法与树状图法本题考查了列表法求概率，根据列表法求概率，即可求解．解：列表如下123412345234563456745678

共有16种等可能结果，其中两次抽取的数字之和为偶数的有8种，

所以两次抽取的数字之和为偶数的概率是816=12．8.【正确答案】C【考点】勾股定理的应用利用垂径定理求值圆周角定理相似三角形的性质与判定连接OD，BD，PO，由线段垂直平分线的性质得到△ODB是等边三角形，设∠PCD=α，由圆周角定理得到∠A=12∠POB=30∘+α，由直角三角形的性质即可求出∠PFE=60∘−α．由∠AFE解：连接OD，BD，PO，

∵弦CD⊥AB于点E，OE=BE，

∴OD=BD，

∵OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠BOD=60∘，

设∠PCD=α，

∴∠POD=2α，

∴∠POB=60∘+2α，

∴∠A=12∠POB=30∘+α，

∴∠PFE=90∘−∠A=60∘−α．

∵∠AFE=3∠PCD，

∴60∘−α=二、填空题9.【正确答案】(【考点】y=a（x-h）²+k的图象和性质直接根据顶点公式的特点求顶点坐标．∵y=3(x−1)2+10.【正确答案】30【考点】角平分线的有关计算利用邻补角互补求角度根据邻补角的性质可得∠BOC解：∵O为直线AB上一点，∠AOC=120∘，

∴∠BOC=180∘−120∘=6011.【正确答案】1【考点】根据一元二次方程根的情况求参数本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得Δ=1解：若关于x的一元二次方程x2−x+c=0有两个相等的实数根，

Δ=112.【正确答案】70【考点】三角形内角和定理本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．解：∵等腰三角形的一个底角的度数为55∘，

∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为55∘，

∴等腰三角形的顶角的度数为：180∘−213.【正确答案】(【考点】关于原点对称的点的坐标根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．解：在平面直角坐标系中，点P(−3, 7)关于原点对称的点的坐标是(14.【正确答案】3【考点】含30度角的直角三角形等腰三角形的判定与性质勾股定理的应用翻折变换（折叠问题）过点A作AG⊥BC于点G，根据等腰三角形的性质可得∠C=30∘，从而得到AG=12解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，

∵∠ABC=30∘，AB=AC=23，

∴∠C=30∘，

∴AG=12AC=3，

∴CG=AC2−AG2=3，

15.【正确答案】π【考点】求图形旋转后扫过的面积根据旋转的性质求解本题考查旋转以及扇形面积公式，熟记扇形面积公式S=n360πr2是解题的关键．

根据题意可解得解：如图，

将△ABC绕点C逆时针旋转α(0∘<α<90∘)得到△A′B′C，A′B′∥AC，

∴A′B′16.【正确答案】a>m【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质圆与函数的综合本题考查圆的性质、二次函数的图像性质．根据圆和抛物线图像的对称性可知，要满足条件，则b=0，联立圆和抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，则该方程有且仅有一个大于−m解：x2+y2=m(m>0)可化为(x−0)2+(y−0)2=m，

它表示动点(x,y)到定点O(0,0)的距离为定值m，

即x2+y2=m(m>0)的几何意义是以原点为圆心，m为半径的圆，

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是关于与x轴垂直的直线对称的，

故要使抛物线和圆有且只有两个交点，且抛物线不从⊙O内部穿过，

则抛物线对称轴为y三、解答题17.【正确答案】x1=−x1=【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-因式分解法（1）利用公式法求解；（2）利用因式分解法求解．（1）解：2x2+2x=1，

移项，得：2x2+2x−1=0，

∵（2）解：2(x−3)2=x2−9，

变形得：2(x−3)2=(x+3)(x18.【正确答案】x1=【考点】解一元二次方程-因式分解法利用因式分解的方法解出方程即可.利用因式分解法求解可得．

解：∵x2−5x+6=0，

∴(x−2)(x19.【正确答案】11.2【考点】勾股定理的应用垂径定理的应用根据垂径定理求出BD，再根据勾股定理列出关于OB的方程求出答案即可．∵OC⊥AB，且AB=12.8cm，

∴BD=12AB=6.4cm．

根据题意可知OB=OC，

∴OD=OC20.【正确答案】水流落地点B离墙距离OB为5米【考点】二次函数的应用——喷水问题由题意可知M(1, 8)，A(0解：令OB为x轴，OA为y轴，向上，向右为正方向，建立坐标系，设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+8，

代入A(0, 152)得152=a+8，

a=−0.5，

∴抛物线的解析式为：y21.【正确答案】见解析1【考点】根据概率公式计算概率列表法与树状图法（1）理解题意，再画出树状图，得出(x,y（2）结合(1)中的树状图得小红和小海两名同学选择观看同一部电影的情况有3种，即（1）解：画树状图如下：

由树状图可知，(x,y)有9（2）解：由(1)的树状图可以看出，小红和小海两名同学选择观看同一部电影的情况有3种，即(A22.【正确答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点1,3,2,2,

∴a+【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象的画法二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质此题暂无解析解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点1,3,2,2,

∴a+23.【正确答案】∠CAO证明见解析1【考点】半圆（直径）所对的圆周角是直角切线的性质相似三角形的性质与判定（1）利用切线性质和平行线、等腰三角形性质，找出与∠CAE（2）通过切线性质、圆周角定理推导角相等，结合公共角证明三角形相似；（3）利用圆周角定理得到线段相等，结合相似三角形△BCF∽△CAF的性质，通过设BF（1）解：∵EF是⊙O的切线，

∴OC⊥EF．

又∵CE⊥AD，

∵OC // AE，则∠CAE=∠ACO．

∵（2）证明：∵EF是⊙O的切线，OC为⊙O半径，

∴∠BCO+∠BCF=90∘，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90∘，

即∠ACO+∠BCO（3）解：∵BC=DC,CDAC=12，

∴BCAC=12，

由(2)知△24.【正确答案】答图见详解，A′(0,−55【考点】生活中的旋转现象根据旋转的性质求解求某点的弧形运动路径长度求绕原点旋转90度的点的坐标（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到对应点，再与点（2）根据弧长公式即可求值．（1）解：如图，

此时，A′(0,−5)，（2）解：由题意得，圆心角n=90∘，半径r=5，

∴l=25.【正确答案】1020【考点】含30度角的直角三角形勾股定理的应用解直角三角形的相关计算（1）如图2中，过点M作MH⊥AB于点H，利用含30度直角三角形的性质得出MH=12（2）如图3中，作M′H⊥BA交BA的延长线于点H′（1）解：如图2中，过点M作MH⊥AB于点H，

在Rt△MNH中，∠MNH=30∘，MN=20cm，

∴MH=12MN=12×20（2）解：如图3中，作M′H⊥BA交BA的延长线于点H′，

在Rt△M′N′H中，∠M′N′H′=30∘，M′N′26.【正确答案】y对称轴是直线x=−1存在，Q【考点】二次函数综合——线段周长问题把y=ax^2+bx+c化成顶点式待定系数法求二次函数解析式二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质（1）用待定系数法求解析式即可；（2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标；（3）利用轴对称的性质，将求△QAC周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点Q在对称轴上，而点A和点B关于对称轴对称，因此QA=QB，△QAC的周长=QA+QC+AC=QB（1）解：将A(1,0),B(−3,0)代入抛物线y=−x（2）∵y=−x2−2x+3（3）存在．

解：连接BC交对称轴x=−1于点Q，连接AQ，

∵A(1,0),B(−3,0)两点关于抛物线的对称轴x=−1对称，

∴直线BC与x=−1的交点即为Q点，此时△QAC的周长最小，

∵y=−x2−2x+3，抛物线交y轴于C点，

∴当x=0时，y=3，即C(0,327.【正确答案】荔枝平均每株产量的年平均增长率为20此时纸盒的高为10150−【考点】含30度角的直角三角形等边三角形的性质与判定一元二次方程的应用——几何图形面积问题一元二次方程的应用——增长率问题（1）设荔枝平均每株产量的年平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解；（2）设裁掉正方形的边长为mcm，根据题意，列出方程，即可求解；（3）设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为acm，纸盒的高为bcm，根据正六边形的性质以及直角三角形的性质可得BG=12a，AG=32a，HE=