《正方形的性质与判定》第2课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊的平行四边形第4课正方形的性质与判定新版北师大数学九年级上册数学第2课时正方形的判定学习目标1.通过对正方形与矩形、菱形的从属关系探究,能准确表述正方形的4条判定定理,理解“正方形=矩形特性+菱形特性”的核心判定逻辑.2.通过一题多解的证明实践,能灵活选择不同的判定方法解决几何问题,规范书写几何证明步骤,提升逻辑推理与发散思维能力.3.通过对中点四边形的深度探究与类比拓展,能提炼出中点四边形形状的核心规律,深化对特殊平行四边形判定的理解,掌握从特殊到一般的数学探究方法.情境启航问题构建协作破冰教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计目录情境启航班级劳动实践园即将启动蔬菜种植项目,班委决定定制一批正方形木质种植箱边框,要保证种植箱方正规整、不浪费种植空间.作为项目设计成员,你首先要解决的核心问题是:我们学过的正方形的定义是什么？它和之前学的平行四边形、矩形、菱形有什么从属关系？正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.平行四边形菱形矩形正方形问题构建问题1:回顾我们学习矩形、菱形的判定时,都是从定义出发,结合正方形的从属关系,请你思考:要判定一个四边形是正方形,有哪两条核心的大路径？路径1:先判定一个四边形是矩形,再添加菱形的核心特性,得到正方形；路径2:先判定一个四边形是菱形,再添加矩形的核心特性,得到正方形.问题2:基于“矩形+菱形特性→正方形”的路径,请你猜想:给矩形添加什么条件,可以判定它是正方形？请你用定义和已学的矩形、菱形判定定理,完成严谨证明.猜想1:有一组邻边相等的矩形是正方形证明:已知四边形ABCD是矩形,AB=BC∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形∵四边形ABCD既是矩形又是菱形∴四边形ABCD是正方形.问题构建猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形证明:已知四边形ABCD是矩形,对角线AC⊥BD∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC=OB=OD,四边形ABCD是平行四边形∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形∵四边形ABCD既是矩形又是菱形∴四边形ABCD是正方形这两个定理都是在矩形的基础上,添加了菱形的核心特性（邻边相等/对角线垂直）,本质是把正方形的判定转化为“矩形+菱形”的叠加，用到了数学中最核心的转化思想.问题构建问题3:基于“菱形+矩形特性→正方形”的路径,请你类比上面的探究过程,自主猜想添加的条件,独立完成定理证明,和同桌交流你的证明思路.猜想1:有一个角是直角的菱形是正方形猜想2:对角线相等的菱形是正方形问题构建例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.证明:∵BF∥CE,CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB∴∠EBC=∠ECB=45°∴EB=EC∴平行四边形BECF是菱形在△EBC中,∠BEC=180°-45°-45°=90°，∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）你还有其他的证明方法吗？法一：平行四边形→菱形→正方形问题构建例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.法二：平行四边形→矩形→正方形证明:∵BF∥CE,CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB∴∠EBC=∠ECB=45°∴∠BEC=90°∴平行四边形BECF是矩形∵∠EBC=∠ECB∴EB=EC∴矩形BECF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）问题构建例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBC=∠ECB=45°∴EB=EC，∠BEC=90°∴四边形BECF是正方形法三：回归定义证明协作破冰例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.法四：对角线法证明:∵BF∥CE,CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB∴∠EBC=∠ECB=45°∴EB=EC,∠BEC=90°,连接EF交BC于点O∵四边形BECF是平行四边形,EB=EC∴EF垂直平分BC,即EF⊥BC又∵Rt△EBC中,BC=2EO,EF=2EO∴EF=BC∴平行四边形BECF的对角线互相垂直且相等∴四边形BECF是正方形.协作破冰问题4:如图,四边形ABCD是正方形,连接它各边的中点,得到的新四边形是什么形状？请你用今天学的判定定理完成证明,思考:这个问题用到了我们之前学的什么旧知？猜想:得到的四边形是正方形

教师示范追问1:如果把正方形ABCD换成矩形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？追问2:如果把正方形ABCD换成菱形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？追问3:如果把正方形ABCD换成平行四边形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？追问4:如果把正方形ABCD换成四边形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？菱形矩形平行四边形平行四边形教师示范问题5:结合上面的探究,你发现了中点四边形形状的什么通用规律？这个规律的核心是什么？回顾我们从特殊到一般的探究过程,你积累了哪些数学探究的经验？中点四边形的形状,唯一由原四边形两条对角线的数量关系和位置关系决定,和原四边形的形状没有直接关联.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；原四边形对角线相等→中点四边形是菱形；原四边形对角线互相垂直→中点四边形是矩形；原四边形对角线相等且互相垂直→中点四边形是正方形核心本质：三角形中位线定理，把原四边形的对角线关系，完全转化为中点四边形的边的位置关系和数量关系巩固拓展问题6:现在回到我们班级的种植箱项目：（1）请你结合本节课的判定定理,设计2种不同的制作方案,指导木工师傅制作规范的正方形种植箱边框；（2）制作完成后现场验收,你能设计3种不同的验证方法,判断种植箱边框是不是合格的正方形吗？说说每种方法的判定依据.（1）制作方案：方案一：先制作一个矩形边框,再测量调整相邻两条边的长度相等方案二：先制作一个菱形边框,再用直角尺调整其中一个角为90°（2）验收验证方法：方法1：先测量四条边,确认长度全部相等,再测量两条对角线,确认长度相等,判定合格方法2：先测量四个角,确认都是90°,再测量两条对角线,确认互相垂直,判定合格.方法3：先测量两组对边分别相等,再测量一组邻边相等,且一个角是直角,判定合格.当堂检测1.下列说法中,能判定一个四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形B.对角线互相垂直的矩形C.对角线相等的平行四边形D.有一组邻边相等的平行四边形解析：A选项对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形（如筝形）；C选项判定的是矩形；D选项判定的是菱形；B选项符合本节课的正方形判定定理.B当堂检测2.若一个菱形的边长为5，要使这个菱形变成正方形，需要将它的内角调整为______°，此时正方形的对角线长为______，面积为______90

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当堂检测3.已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证：四边形CFDE是正方形.证明:∵∠ACB=90°,DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴矩形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）当堂检测4.如图,四边形ABCD是矩形,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,连接EF、FG、GH、HE（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）请添加一个条件,使四边形EFGH成为正方形,并说明理由.

（2）添加条件：AC⊥BD（或AB=BC，即矩形ABCD为正方形）理由：∵EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH,即∠HEF=90°∴菱形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）反思总结1.本节课我们学习了4条正方形的判定定理,