2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}2．（5分）已知a∈R，（2+ai）i＝4+2i（i为虚数单位），则a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．33．（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）A．100，20 B．100，10 C．200，20 D．200，104．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B．如果α∥β，m⊂α，m∥n，那么n∥β C．如果α∩β＝l，α⊥β，m⊥l，那么m⊥β D．如果m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β5．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，AC＝3，点D为边AC上一点，且，则＝（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣36．（5分）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为6m，母线SA长为12m（如图2）．若C是母线SA的一个三等分点（靠近点S），从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（）A． B． C．16m D．12m7．（5分）定义：，当五位数满足a＜b＜c，且c＞d＞e时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（）A． B． C． D．8．（5分）函数y＝f（x）的定义域为R，f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1；对任意的a，b∈R，f（a+b）＝f（a）f（b）．下列结论：①f（0）＝1；②对任意x∈R，有f（x）＞0；③f（x）是R上的减函数．正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、多选题：本题共3小题、每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分．（多选）9．（6分）如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A．这10年粮食年产量的极差为15 B．这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C．这10年粮食年产量的中位数为29 D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差（多选）10．（6分）若平面向量，，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若，则∥ B．若，则与同向的单位向量为 C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为 D．若，则z＝2n+4m的最小值为4（多选）11．（6分）已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，O为BD的中点，在翻折过程中，则（）A．在任何位置，都存在AC⊥BD B．若，当平面BCD⊥平面ABD时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 C．若，当二面角A﹣BD﹣C为时，三棱锥C﹣ABD的体积为 D．若，当二面角A﹣BD﹣C为时，三棱锥C﹣AOB的外接球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）＝．13．（5分）公司要求甲、乙、丙3人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的概率为．14．（5分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则λ﹣μ的值为．四、解答题：本题共5大题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量与向量的夹角为，且，，．（1）求λ的值；（2）记向量与向量的夹角为θ，求cos2θ．16．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC＝0．（1）求B；（2）若a+c＝4，求△ABC面积S的最大值．17．（15分）2024年安徽省首次采用了“3+1+2”新高考模式．该模式下，计算学生个人总成绩时，“3+1”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（在政治、地理、化学、生物中选修2科）以赋分成绩记入．赋分成绩的具体算法是：先将我省某再选科目原始成绩按从高到低划分为A、B、C、D、E五个等级，各等级人数占一定的比例，依照转换公式（转换公式：（Y2﹣Y）（T﹣T1）＝（Y﹣Y1）（T2﹣T），其中Y1，Y2分别表示某等级所对应原始分的下限和上限，T1，T2分别表示对应等级赋分区间的下限和上限，Y表示某等级内考生的原始分，T表示相应等级内某考生的赋分成绩），将五个等级的原始分分别转换到相应的五个分数区间，并将所得分数小数点后“四舍五入”，得到保留为整数的转换分作为赋分成绩．具体等级比例和赋分区间如表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间100～8685～7170～5655～4140～30（1）我校某学生高考查分显示政治是81分，已知该学生所在等级原始分上限、下限分别为77分、63分（以上数据仅是示例），求该生政治科目今年高考的原始分；（2）现从我省今年高考化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．求出图中a的值，并用样本估计总体的方法，估计我省今年高考化学原始成绩A等级中的最低分（小数点后四舍五入，保留为整数）．18．（17分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，点E是棱PA的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；（3）若PA＝AB＝2，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．19．（17分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）＝x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）＝kx+sin2x是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，．是否存在正常数T，使得对于任意的a∈[﹣2，2]，函数f（x）都为“T同比不减函数”，若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】根据集合的定义计算即可．【解答】解：由A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}，所以A∪（∁RB）＝{x|x≥﹣1}．故选：B．2．（5分）已知a∈R，（2+ai）i＝4+2i（i为虚数单位），则a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．3【考点】复数的混合运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．【解答】解：（2+ai）i＝4+2i，则﹣a+2i＝4+2i，故﹣a＝4，解得a＝﹣4．故选：C．3．（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）A．100，20 B．100，10 C．200，20 D．200，10【考点】频率分布直方图．【答案】B【分析】利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解．【解答】解：由题意得，样本容量为：（350+450+200）×10%＝100，抽取C村贫困户的户数为：200×10%×50%＝10．故选：B．4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B．如果α∥β，m⊂α，m∥n，那么n∥β C．如果α∩β＝l，α⊥β，m⊥l，那么m⊥β D．如果m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面垂直．【答案】A【分析】根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可．【解答】解：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故A正确；若α∥β，m⊂α，m∥n，则n∥β或n⊂β，故B错误；由α∩β＝l，α⊥β，m⊥l推不出m⊥β，故C错误；由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β推不出α∥β，故D错误；故选：A．5．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，AC＝3，点D为边AC上一点，且，则＝（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解．【解答】解：由∠A＝60°，AB＝2，AC＝3，可得，因为点D为边AC上一点，且，可得，所以，所以．故选：D．6．（5分）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为6m，母线SA长为12m（如图2）．若C是母线SA的一个三等分点（靠近点S），从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（）A． B． C．16m D．12m【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【答案】B【分析】将圆锥侧面沿着母线SA展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合余弦定理可求得灯光带的最小长度．【解答】解：将圆锥侧面沿母线SA展开，其侧面展开图为如图所示的扇形SAA'，则A'C的长度即为灯光带的最小长度，AA'＝2πr＝6π，∠ASA′＝，CS＝＝4，CA′＝＝＝4．故选：B．7．（5分）定义：，当五位数满足a＜b＜c，且c＞d＞e时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】D【分析】由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型公式求出结果．【解答】解：由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，其中“凸数”有12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个基本事件，从中任意抽取一个，其恰好为“凸数”的概率为p＝＝．故选：D．8．（5分）函数y＝f（x）的定义域为R，f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1；对任意的a，b∈R，f（a+b）＝f（a）f（b）．下列结论：①f（0）＝1；②对任意x∈R，有f（x）＞0；③f（x）是R上的减函数．正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】抽象函数的周期性．【答案】C【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法，结合函数单调性的定义分别进行判断即可．【解答】解：令a＝b＝0，则f（0）＝f（0）f（0），又因为f（0）≠0，∴f（0）＝1，故①正确；当x＞0时，f（x）＞1，当x＝0时，f（0）＝1，即当x≥0时，f（x）≥1＞0；当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＞0，由题意得f（x﹣x）＝f（x）f（﹣x）＝f（0）＝1，即f（x）＝＞0，故②成立；对任意的x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，故存在正数z使得x1＝x2+z，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2+z）﹣f（x2）＝f（x2）f（z）﹣f（x2）＝f（x2）（f（z）﹣1），因为当x＞0时，f（x）＞1，所以f（z）﹣1＞0，因为对任意的x∈R，有f（x）＞0，所以f（x2）＞0，故f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）是R上的增函数，故③错误，故正确的有2个，故选：C．二、多选题：本题共3小题、每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分．（多选）9．（6分）如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A．这10年粮食年产量的极差为15 B．这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C．这10年粮食年产量的中位数为29 D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差【考点】统计图表获取信息；频率分布折线图、密度曲线．【答案】ABC【分析】ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误．【解答】解：A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10年的粮食年产量极差为40﹣25＝15，故A正确；B选项，i＝10×65%＝6.5，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确；C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，这10年的粮食年产量的中位数为，故C正确；D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（6分）若平面向量，，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若，则∥ B．若，则与同向的单位向量为 C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为 D．若，则z＝2n+4m的最小值为4【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】BCD【分析】利用向量坐标运算求出m，n判断A；利用数乘向量结果求出m，n，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D．【解答】解：对于A，，则，解得，则，，显然不存在λ，使，即，不共线，故A错误；对于B，，则，解得，即，，，则与同向的单位向量为，故B正确；对于C，当n＝1时，，又与的夹角为锐角，则，解得且m≠3，即，故C正确；对于D，由，得，即2m+n＝2，则z＝2n+22m，当且仅当2n＝22m，即n＝2m＝1时取等号，故D正确．故选：BCD．（多选）11．（6分）已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，O为BD的中点，在翻折过程中，则（）A．在任何位置，都存在AC⊥BD B．若，当平面BCD⊥平面ABD时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 C．若，当二面角A﹣BD﹣C为时，三棱锥C﹣ABD的体积为 D．若，当二面角A﹣BD﹣C为时，三棱锥C﹣AOB的外接球的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．【答案】AB【分析】由题意画出图形，连接AO、CO，可得AO⊥BD，CO⊥BD，得到BD⊥平面AOC，则BD⊥AC，从而判断A；∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知可得AO⊥CO，取AD的中点M，AC的中点N，连接OM，ON，MN，得∠OMN（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，求解三角形可得异面直线AB与CD所成角的余弦值，从而判断B；由题意求出三棱锥C﹣ABD的体积判断C；求出三棱锥C﹣AOB的外接球的半径，进一步求出外接球的体积判断D．【解答】解：如图，连接AO、CO，∵O为BD的中点，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∵AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，可得BD⊥AC，故A正确；∵AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∵平面BCD⊥平面ABD，∴AO⊥CO，取AD的中点M，AC的中点N，连接OM，ON，MN，则OM∥AB，且OM＝AB＝1，MN∥CD，MN＝CD＝1，∴∠OMN（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，∵，∴OA＝OC＝，ON＝AC＝，在△MON中，OM＝MN＝1，ON＝，则cos∠OMN＝，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故B正确；由上可知，∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，则，而当时，OA＝OC＝，BD＝2，又BD⊥平面AOC，∴三棱锥C﹣ABD的体积为V＝S△AOC•BD＝，故C错误；当二面角A﹣BD﹣C为时，即∠AOC＝，且BO⊥平面AOC，∵，∴OA＝OC＝OB＝OD＝，AC＝，∴△AOC外接圆的半径为．设E为△AOC外接圆的圆心，则，∴三棱锥C﹣AOB的外接球的球心在过E且与OB平行的直线上，设O′E＝h，由O′B＝O′C，得，解得h＝，∴，可得三棱锥C﹣AOB的外接球的体积V＝，故D错误．故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）＝﹣．【考点】二倍角的三角函数．【答案】见试题解答内容【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵已知sin（﹣α）＝，则＝﹣cos（﹣2α）＝﹣[1﹣2]＝﹣1+2×＝﹣，故答案为：﹣．13．（5分）公司要求甲、乙、丙3人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】．【分析】分2人或3人完成任务两种情况，利用相互独立事件概率乘法公式可解．【解答】解：因为甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中有2人在规定时间内完成任务的概率为+＝，3人都在规定时间内完成任务的概率为＝，则3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的概率为P＝＝．故答案为：．14．（5分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则λ﹣μ的值为．【考点】平面向量的基本定理．【答案】【分析】先设DF＝3AF＝3，根据题意可知∠ADB＝120°，求出AB的长，延长AD交BC于M，求出BM，DM的长，再由平面向量基本定理即可得出结果【解答】解：因为，不妨设DF＝3AF＝3，因此BD＝AF＝1，AD＝4又由题意可得∠ADB＝120°，所以AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB＝42+12﹣2×4×1cos∠120°＝21，因此AB＝，延长AD交BC于M，记∠DAB＝θ，∠AMB＝α，则cosθ＝＝＝＝，所以sinθ＝，又由题意易知∠DAB＝∠DBM，则α＝120°﹣θ，在三角形DBM中，由正弦定理可得：＝＝，即＝＝，因此BM＝＝＝＝BC，DM＝＝＝，所以AD＝＝AM，因为，即＝（），整理得＝+，所以＝＝（+）＝+，又因为，由平面向量的基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ﹣μ＝＝，故答案为：．四、解答题：本题共5大题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量与向量的夹角为，且，，．（1）求λ的值；（2）记向量与向量的夹角为θ，求cos2θ．【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（1）λ＝4；（2）．【分析】（1）直接利用向量的数量积运算求出结果；（2）利用向量的夹角公式求出结果．【解答】解：（1）已知向量与向量的夹角为，且，，由，所以λ＝4．（2）因为，，所以，所以．16．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC＝0．（1）求B；（2）若a+c＝4，求△ABC面积S的最大值．【考点】解三角形；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，进而可求cosB的值，结合B∈（0，π），即可得解B的值；（2）由基本不等式可求ac≤4，进而利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）由余弦定理得，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以在△ABC中由余弦定理可得，又因为B∈（0，π），所以；（2）由a+c＝4，a＞0，c＞0，所以，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以，当且仅当a＝c＝2时取等号，故△ABC面积S的最大值为．17．（15分）2024年安徽省首次采用了“3+1+2”新高考模式．该模式下，计算学生个人总成绩时，“3+1”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（在政治、地理、化学、生物中选修2科）以赋分成绩记入．赋分成绩的具体算法是：先将我省某再选科目原始成绩按从高到低划分为A、B、C、D、E五个等级，各等级人数占一定的比例，依照转换公式（转换公式：（Y2﹣Y）（T﹣T1）＝（Y﹣Y1）（T2﹣T），其中Y1，Y2分别表示某等级所对应原始分的下限和上限，T1，T2分别表示对应等级赋分区间的下限和上限，Y表示某等级内考生的原始分，T表示相应等级内某考生的赋分成绩），将五个等级的原始分分别转换到相应的五个分数区间，并将所得分数小数点后“四舍五入”，得到保留为整数的转换分作为赋分成绩．具体等级比例和赋分区间如表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间100～8685～7170～5655～4140～30（1）我校某学生高考查分显示政治是81分，已知该学生所在等级原始分上限、下限分别为77分、63分（以上数据仅是示例），求该生政治科目今年高考的原始分；（2）现从我省今年高考化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．求出图中a的值，并用样本估计总体的方法，估计我省今年高考化学原始成绩A等级中的最低分（小数点后四舍五入，保留为整数）．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）73分；（2）87分．【分析】（1）根据题意的公式建立方程，即可求解；（2）根据频率分布直方图的性质，分别建立方程，即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得Y2＝77，Y1＝63，T2＝85，T1＝71，T＝81，代入转换公式（Y2﹣Y）（T﹣T1）＝（Y﹣Y1）（T2﹣T），可得（77﹣Y）（81﹣71）＝（Y﹣63）（85﹣81），解得Y＝73，∴该生政治科目今年高考的原始分为73分；（2）根据频率分布直方图的性质可得10（0.005+0.010+0.012+0.015+0.033+a）＝1，∴a＝0.025．设化学原始成绩A等级中的最低分为x，即第85百分位数，∵10×0.005+10×0.012+10×0.033+10×0.025＝0.75，∴0.75+（x﹣80）×0.015＝0.85，得x≈86.6≈87，故所求为87分．18．（17分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，点E是棱PA的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；（3）若PA＝AB＝2，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．【考点】几何法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直．【答案】（1）证