2023-2024学年安徽省六安一中高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年安徽省六安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．若a∈{﹣1，0，1，2，3}，则方程x2+y2+x+2ay+a2+a﹣1＝0表示的圆的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知椭圆方程，若△ABC的顶点B，C分别是椭圆的两个焦点，A在椭圆上，则的值为（）A．25 B． C．12 D．244．已知两定点A（﹣1，1）、B（2，5），动点P在直线上x﹣y＝0，则|PA|+|PB|的最小值为（）A． B． C．5 D．5．已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2 B． C．6 D．76．如图底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD，EC＝2PE，若，则x+y+z＝（）A．1 B．2 C． D．7．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A、B是以O（O为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是正三角形，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF，P，Q，M，N分别为DE，AB，AD，BF的中点，则＝（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．若向量＝（1，2，0），＝（﹣2，0，1），则（）A．cos＜，＞＝﹣ B．⊥ C．∥ D．||＝||（多选）10．下列说法正确的有（）A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．直线y＝x+1在x轴上的截距为1 C．经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为（多选）11．已知圆M：x2+y2﹣2x﹣3＝0，圆N：x2+y2﹣8x﹣8y+23＝0，则下列选项正确的是（）A．两圆是外切的位置关系 B．直线MN的方程为4x﹣3y﹣4＝0 C．若P、Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则|PQ|的最大值为5 D．圆M和圆N的一条公切线段长为（多选）12．已知A，B两点的距离为定值4，平面内一动点C，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，下面说法正确的是（）A．若，则S最大值为2 B．若，则S最大值为 C．若a+b＝8，则S最大值为 D．若（tan∠CAB）•（tan∠CBA）＝，则S最大值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为．14．已知椭圆C：＝1，点M在椭圆C上，已知点与点F（﹣4，0），则|MF|+|MN|的最小值为．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为．16．已知P为圆O：x2+y2＝1上一动点，过点P作圆O的切线l，交圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2＝36于点A、B，则的最大值是．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：x+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．已知平面内两点P（﹣1，﹣3），Q（3，3）．（1）求PQ的垂直平分线所在直线的直线方程；（2）过点Q作直线l，分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当|OA|+|OB|取得最小值时，求直线l的方程．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，AD＝2．（1）若E为棱SB的中点，求证：PE∥平面SCD；（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．20．已知圆C1：（x+1）2+y2＝1，C2：（x﹣1）2+y2＝9，动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，记圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线l过点C2，且与曲线C交于A，B两点，满足，求直线l的方程．21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右焦点F坐标是，且椭圆C上的点到F距离的最大值为2+，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．22．已知圆