2023-2024学年北京十二中高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年北京十二中高二（上）期中数学试卷一、选择题.本题共12小题，每题5分，共60分.在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．直线y＝﹣2x+1的一个方向向量是（）A．（1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）2．以（1，2）为圆心且过原点的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝ B．（x+1）2+（y+2）2＝ C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+2）2＝53．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的值是（）A．， B．x＝1， C．，y＝1 D．x＝1，y＝14．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．5．“a＝1”是“直线ax+（a﹣1）y﹣1＝0与直线（a﹣1）x+ay+1＝0垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．下面结论正确的个数是（）①已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底；②任意向量满足，则；③已知向量，若与共线，则x＝﹣3．A．3 B．2 C．1 D．07．已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，过直线l：3x+4y﹣5＝0上任意一点作圆C的切线，则切线长的最小值为（）A．4 B． C． D．58．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与射线AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≤﹣4或 B． C． D．k≤﹣4或9．已知直线l1：x﹣my+1＝0过定点A，直线l2：mx+y﹣m+3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2+|PB|2＝（）A．10 B．13 C．16 D．2010．已知空间直角坐标系O﹣xyz中，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A． B． C． D．11．已知A（1，0），B（4，0），D（0，3），动点P满足|PB|＝2|PA|，则2|PD|+|PB|的最小值是（）A．8 B． C．10 D．12．在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一个平面α，使点A（2，2，2）到α的距离为1，且点B（m，0，0）到α的距离为4，则m的值为（）A．2 B．1或3 C．2或4 D．2或2二、填空题.本题共6小题，每题5分，共30分.13．直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是．14．下面三条直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x﹣my＝4不能构成三角形，请给出一个符合题意的m的值．15．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是．16．已知空间向量．（1）若，则x＝；（2）若共面，则x＝．17．已知空间中三点A（1，0，0），B（2，1，﹣1），C（0，﹣1，2），则点C到直线AB的距离为．18．已知点P（2，0）和圆O：x2+y2＝36上两个不同的点M，N，满足∠MPN＝90°，Q是弦MN的中点，给出下列三个结论：①|MP|的最小值为4；②点Q的轨迹是一个圆；③若点A（5，3），点B（5，5），则存在点Q，使得∠AQB＝90°．其中所有正确结论的序号是．三、解答题.本题共5小题，共60分.19．已知△ABC三边所在直线方程分别为AB：x+y+1＝0，BC：x﹣y+3＝0，CA：2x+y﹣2＝0．（1）求点B坐标；（2）求与点B关于直线CA对称的点D的坐标；（3）求在平面ABC内，过点B且与直线CA无公共点的直线方程．20．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，E为AA1的中点，F为DD1的中点，．（1）证明：四棱锥N﹣EFC1B1为阳马；（2）求点B1到平面NEF的距离．21．已知点P（0，﹣2）及圆C：x2+y2﹣6x+4y﹣12＝0．（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；（2）设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|＝8时，求以线段MN为直径的圆C1的方程；（3）设直线ax﹣y+3＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点Q（1，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，G是棱CC1上靠近点C的三等分点．（1）证明：EF∥平面ABB1A1；（2）从①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②直线C1C与底面ABC所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．这三个条件中选择一个作为已知．（ⅰ）判断点A是否在平面EFG内，并说明理由；（ⅱ）求平面ACC1与平面EFG夹角的余弦值．23．记集合Rn＝{（x1，x2，⋯，xn）|xi∈R，i＝1，2，⋯，n}（n≥2，n∈N），对于，定义：为由点A，B确定的广义向量，为广义向量的绝对长度，（1）已知A（1，2，﹣1，0）∈R4，B（0，2，2，1）∈R4，计算；（2）设A，B，C∈Rn，证明：；（3）对于给定A，B∈Rn，若满足且pi∈Z（i＝1，2，⋯，n），则称P为Rn中关于A，B的绝对共线整点，已知A（1，0，3），B（6，5，5）∈R3，①R3中关于A，B的绝对共线整点的个数