2023-2024学年北京市101中学高三(上)开学统考数学试卷(一)

2023-2024学年北京市101中学高三（上）开学统考数学试卷（一）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪B＝（）A．[﹣1，0） B．（﹣∞，0） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，1]2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知等比数列{an}的首项和公比相等，那么数列{an}中与a3a7一定相等的项是（）A．a5 B．a7 C．a9 D．a104．下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝x2﹣|x| B． C．f（x）＝e|x| D．f（x）＝|lnx|5．函数的图象大致为（）A． B． C． D．6．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（）A． B． C．4 D．127．已知a，b，c∈R，则“a＞b”的一个充分而不必要条件是（）A．a2＞b2 B．a3＞b3 C．2a＞2b D．ac2＞bc28．△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC形状必为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案均有可能9．如图，质点P在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P的角速度大小为2rad/s，起点P0为射线y＝﹣x（x≥0）与⊙O的交点．则当0≤t≤12时，动点P的纵坐标y关于t（单位：s）的函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．10．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T＝an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足a1＝m（m＞0），，则下列结论中错误的是（）A．若a3＝4，则m可以取3个不同的值 B．若，则数列{an}是周期为3的数列 C．对于任意的T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列 D．存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：＝．12．定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，若f（a﹣1）＞f（2﹣a），则a的取值范围是．13．若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝．14．若，且，则的最大值为．15．已知函数f（x）＝x2﹣2x+2t，g（x）＝ex﹣t．给出下列四个结论：①当t＝0时，函数y＝f（x）g（x）有最小值；②∃t∈R，使得函数y＝f（x）g（x）在区间[1，+∞）上单调递增；③∃t∈R，使得函数y＝f（x）+g（x）没有最小值；④∃t∈R，使得方程f（x）+g（x）＝0有两个根且两根之和小于2．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．已知公差大于0的等差数列{an}满足a2+a5＝12，a3a4＝35，Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若Sm，a2，ai（m，i∈N*）成等比数列，求m，i的值．17．已知△ABC的面积为4，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①a＝6，cosC＝﹣；条件②：A＝C，cosB＝﹣．（1）b和c的值；（2）sin（A﹣B）的值．18．已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x，a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．19．已知函数f（x）＝2sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）f（x﹣）．当x∈[0，m]时，g（x）的取值范围为[0，2+]，求m的最大值．20．已知函数f（x）＝ex+asinx﹣1（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝0处取得极小值，求a的值；（Ⅲ）若存在正实数m，使得对任意的x∈（0，m），都有f（x）＜0，求a的取值范围．21．已知无穷数列{an}满足an＝max{an+1，an+2}﹣min{an+1，an+2}（n＝1，2，3，⋯），其中max{x，y}表示x，y中最大的数，min{x，y}表示x，y中最小的数．（1）当a1＝1，a2＝2时，写出a4的所有可能值；（2）若数列{an