2023-2024学年北京市京郊绿色联盟四校联考高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年北京市京郊绿色联盟四校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{b|b2﹣3b＜0，b∈Z}，A∩B≠∅，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．2或32．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝cosx B．y＝lgx C．y=x32 D．y＝e3．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则1cA．4 B．6 C．8 D．104．（5分）“φ=−π4+kπ，k∈Z”是“函数y＝tan（x+φA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a，b∈R，且2a﹣b＞2b﹣a，则（）A．1a＜1b B．tana＞tanb C．3﹣a＜2﹣b D．a|a|＞6．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时7．（5分）设函数f(x)=sinxx，则f（A．奇函数，且存在x0使得f（x0）＞1 B．奇函数，且对任意x≠0都有|f（x）|＜1 C．偶函数，且存在x0使得f（x0）＞। D．偶函数，且对任意x≠0都有|f（x）|＜18．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且|OB|＝3|OA|，则（）A．f(6)=2B．f（1）+f（9）＝0 C．f（x）在（3，5）上单调递减 D．函数f（x）的图象关于点(−59．（5分）已知函数f(x)=xx2(x≤a)(x＞a)，若存在实数b，使函数g（x）＝f（xA．a＜0 B．a＞0且a≠1 C．a＜1 D．a＜1且a≠010．（5分）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP→A．12 B．23 C．6+23 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）向量a→=(cos50°，sin50°)与b→12．（5分）如图，点P0(45，35)为锐角α的终边与单位圆的交点，OP0逆时针旋转π3得OP1，OP1逆时针旋转π3得OP2，…，OPn﹣1逆时针旋转π3得OP13．（5分）若函数f（x）＝sinx•cos（x+φ）的最大值为1，则常数φ的一个取值为．14．（5分）已知O是△ABC内一点，且满足(OA→+OC→)⋅15．（5分）函数f（x）=b|x|−a（a＞0，b＞0）的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题正确的是①“囧函数”的值域为R；②“囧函数”在（0，+∞）上单调递增；③“囧函数”的图象关于y轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线y＝kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（15分）已知向量a→，b→满足|a（1）求|a（2）若向量2a→+b→17．（15分）已知函数f（x）=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a(ω＞0，a∈R)．f（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）函数f（x），x∈[−π18．（15分）在△ABC中，a＝5，b2﹣bc+c2＝25．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：b＝7；条件②：sinB=3条件③：AC边上的高BH=919．（15分）已知函数f（x）＝log2（ax+1）﹣x（a＞0，且a≠1）为偶函数．（1）求a的值；（2）若∀x1∈[0，π]，∃x2∈[﹣1，1]，使sin2x20．（15分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯xn），xi∈N*，i＝1，2，⋯n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn）∈Sn，给出如下定义：①AB→=(b1−a1，b2−a2，⋯，bn−an)；②λ（a1，a2，⋯，an）＝（λa1，λa2，⋯，λan）（λ∈R）；③A与B之间的距离为d（A，B）=i=1n|ai−bi|（1）当n＝5时，设A＝（1，2，1，2，5），B＝（2，4，2，1，3），求d（A，B）；（2）若A，B，C∈Sn，且存在λ＞0，使得AB→=λBC→，求证：d（A，B）+d（B，C）＝d（（3）记I＝（1，1，⋯，1）∈S20.若A，B∈S20，且d（I，A）＝d（I，B）＝13，求d（A，B）的最大值．

2023-2024学年北京市京郊绿色联盟四校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{b|b2﹣3b＜0，b∈Z}，A∩B≠∅，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．2或3【考点】交集及其运算；空集及空集的性质．【答案】C【分析】首先求出集合B，然后根据A∩B≠∅，求出a的值即可【解答】解：∵B＝{b|b2﹣3b＜0，b∈Z}，∴B＝{b|0＜b＜3，b∈Z}∵A＝{0，a}，A∩B≠∅，∴a＝1或2故选：C．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝cosx B．y＝lgx C．y=x32 D．y＝e【考点】奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．【答案】D【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．【解答】解：y＝cosx在（0，+∞）上不单调，A错误；y＝lgx为非奇非偶函数，B错误；y=x32y＝e|x|为偶函数，且x＞0时，y＝ex单调递增，D正确．故选：D．3．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则1cA．4 B．6 C．8 D．10【考点】基本不等式及其应用．【答案】A【分析】由已知结合二次函数的性质及基本不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得，a＞0且Δ＝4﹣4ac＝0，即ac＝1，a＞0，所以c＞0，则1c+4a≥24ac=4，当且仅当1所以1c故选：A．4．（5分）“φ=−π4+kπ，k∈Z”是“函数y＝tan（x+φA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】正切函数的奇偶性与对称性；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】直接利用正切函数的性质以及充分条件与必要条件求出结果．【解答】解：当函数y＝tan（x+φ）的图象关于(π4，0)易知{φ|φ=−π4+kπ}所以“φ=−π4+kπ，k∈Z”是“函数y＝tan（x+φ故选：A．5．（5分）设a，b∈R，且2a﹣b＞2b﹣a，则（）A．1a＜1b B．tana＞tanb C．3﹣a＜2﹣b D．a|a|＞【考点】指数函数的单调性与最值；等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】D【分析】令f（x）＝x+2x，则f（x）在R上单调递增，则f（a）＞f（b），可得a＞b，结合不等式的性质检验各选项．【解答】解：令f（x）＝x+2x，则f（x）在R上单调递增，若2a﹣b＞2b﹣a，则a+2a＞2b+b，即f（a）＞f（b），所以a＞b，当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误，当a＝2，b＝1时，B显然错误；当a＝2，b＝1.5时，C显然错误；当a＞b≥0或a≥0＞b时，D成立，当0＞a＞b时，a2＜b2，则a|a|＝﹣a2，b|b|＝﹣b2，﹣a2＞﹣b2，D显然成立．故选：D．6．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】C【分析】把x＝0，y＝192；x＝22，y＝48代入函数y＝ekx+b中，求解即可得到结论．【解答】解：函数y＝ekx+b中，x＝0时，y＝192；x＝22时，y＝48；所以eb＝192，e22k+b＝48，即（e11k）2•eb＝48；解得e11k=1当x＝33时，y＝e33k+b＝（e11k）3•eb=1该食品在33℃的保鲜时间是24小时．故选：C．7．（5分）设函数f(x)=sinxx，则f（A．奇函数，且存在x0使得f（x0）＞1 B．奇函数，且对任意x≠0都有|f（x）|＜1 C．偶函数，且存在x0使得f（x0）＞। D．偶函数，且对任意x≠0都有|f（x）|＜1【考点】函数的奇偶性．【答案】D【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得f（x）为偶函数，再分析x与sinx的大小关系，可得f（x）的值域，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=sinxx，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）=sin(−x)(−x)=sinxx=设g（x）＝x﹣sinx，（x＞0）其导数g′（x）＝1﹣cosx≥0，即有g（x）＝x﹣sinx为增函数，则有g（x）＝x﹣sinx≥g（0）＝0，即x＞sinx恒成立，则有f（x）=sinx同理可得：f（x）＞﹣1，即有对任意x≠0都有|f（x）|＜1，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且|OB|＝3|OA|，则（）A．f(6)=2B．f（1）+f（9）＝0 C．f（x）在（3，5）上单调递减 D．函数f（x）的图象关于点(−5【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】D【分析】借助图象求出ω、得出解析式后结合正弦型函数性质逐一判断选项即可．【解答】解：因为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），所以f（x）max＝1，因为△ABC是等腰直角三角形，所以|AB|＝2=πω，所以ω又因为|OB|＝3|OA|，所以点A（−12，0），所以−12×所以f（x）＝sin（π2x+对于A，f（6）＝sin（π2×6+π4）对于B，f（x）的最小正周期是4，所以f（1）+f（9）＝2f（1）＝2sin（π2+π4）对于C，因为3＜x＜5，所以7π4＜π2x+π4＜11π4，所以函数f对于D，f（−52）＝sin（−5所以函数f（x）的图象关于点(−52，0)故选：D．9．（5分）已知函数f(x)=xx2(x≤a)(x＞a)，若存在实数b，使函数g（x）＝f（xA．a＜0 B．a＞0且a≠1 C．a＜1 D．a＜1且a≠0【考点】函数零点的判定定理．【答案】D【分析】根据函数y＝x，y＝x2的性质，通过讨论a的范围，从而确定a的范围即可．【解答】解：由函数y＝x，y＝x2的性质知，当a＜0时，存在实数b，使y＝b与y＝f（x）＝x2，x＞a有两个交点；当a＝0时，f（x）为单调增函数，不存在实数b，使函数g（x）＝f（x）﹣b有两个零点；当0＜a＜1时，存在实数b，使y＝b与y＝f（x）＝x2，x＞a有两个交点；所以a＜1且a≠0，故选D．10．（5分）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP→A．12 B．23 C．6+23 【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（﹣4，0），B（﹣3，3），C（﹣1，3），圆D的方程为x2+y2＝1，可设P（cosα，sinα），从而AP→=（cosα+4，sinα），BD→=（3，【解答】解：以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣4，0），B（﹣3，3），C（﹣1，3），圆D的方程为x2+y2＝1，可设P（cosα，sinα），∴AP→=（cosα+4，sinα），BD→∴AP→⋅BD→=3×（cosα+4）−3sinα＝3cosα−3∴AP→⋅BD故选：D．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）向量a→=(cos50°，sin50°)与b→【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】40°．【分析】根据向量夹角公式，结合两角差的余弦公式即可求得．【解答】解：由向量夹角公式，可得cos＜=cos50°cos10°+sin50°sin10°＝cos（50°﹣10°）＝cos40°，又0°＜＜a→，b→故答案为：40°．12．（5分）如图，点P0(45，35)为锐角α的终边与单位圆的交点，OP0逆时针旋转π3得OP1，OP1逆时针旋转π3得OP2，…，OPn﹣1逆时针旋转π3得OPn，则cos2α＝【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】见试题解答内容【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα、sinα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值，诱导公式、诱导公式、两角和的余弦公式，求得P2020的横坐标cos（α+2020×π【解答】解：∵点P0(45，35)为锐角α的终边与单位圆的交点，OP1逆时针旋转π3得OP2，…，OPn﹣1逆时针旋转π3得OP∴cosα=45，sinα=35，故cos2α＝2cos2P2020的横坐标为cos（α+2020×π3）＝cos（α+673π+π3＝cosαcos4π3−sinαsin4π3=45•（−1故答案为：725；313．（5分）若函数f（x）＝sinx•cos（x+φ）的最大值为1，则常数φ的一个取值为−π2【考点】三角函数的最值．【答案】−π【分析】由已知可得y＝sinx与y＝cos（x+φ）同时取得最大值，求解即可．【解答】解：因为f（x）＝sinx•cos（x+φ）的最大值为1，所以y＝sinx与y＝cos（x+φ）同时取得最大值，又x＝2kπ+π2时y＝sin所以x＝2kπ+π2时，y＝cos（2kπ+π2∴φ＝2kπ−π2，不妨取φ故答案为：−π14．（5分）已知O是△ABC内一点，且满足(OA→+OC→)⋅【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】﹣1【分析】由平面向量数量积运算，结合向量投影的运算求解即可．【解答】解：已知O是△ABC内一点，且满足(OA则(OA→+OC→同理OB＝OC，即点O是△ABC的外心，则OA→故答案为：﹣1．15．（5分）函数f（x）=b|x|−a（a＞0，b＞0）的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题正确的是③⑤①“囧函数”的值域为R；②“囧函数”在（0，+∞）上单调递增；③“囧函数”的图象关于y轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线y＝kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．【考点】命题的真假判断与应用．【答案】见试题解答内容【分析】先判断函数为偶函数，再令a＝b＝1，得到特殊的函数，利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，利用数形结合的方法进行判断；【解答】解：（1）由题意f(x)=b|x|−a(a＞0，b＞0)，f（﹣x）＝f当a＝b＝1，时则f（x）=1其函数的图象如图：，其函数的图象如图：如图y≠0，值域肯定不为R，故①错误；如图显然f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，故②错误；f（x）是偶函数，关于y轴对称，故③正确；如图f（x）≠0，没有零点，故④错误；如图可知函数f（x）的图象，x＝1换为x＝a，在四个象限都有图象，此时与直线y＝kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．故⑤正确；故答案为：③⑤；三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（15分）已知向量a→，b→满足|a（1）求|a（2）若向量2a→+b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）23．（2）{k|k＞−7且k≠−【分析】（1）根据已知条件，结合向量的数量积公式和向量的模，即可求解．（2）根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解．【解答】解：（1）∵向量a→，b→满足|a∴a→∴|a（2）∵向量2a→+∴(2a→+b→故实数k的取值范围为{k|k＞−7且k≠−117．（15分）已知函数f（x）=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a(ω＞0，a∈R)．f（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）函数f（x），x∈[−π【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】（Ⅰ）f（x）＝2sin（2x+π（Ⅱ）[−π3，【分析】（I）先利用二倍角及辅助角公式进行化简，结合最值可求a，结合周期可求ω，进而可求函数解析式；（Ⅱ）结合正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx+a＝cos2ωx+3sin2ωx+＝2sin（2ωx+π6）+因为f（x）的最大值为1，且相邻两条对称轴之间的距离为π2所以2+a+1＝1，即a＝﹣2，T＝2×π2=π所以f（x）＝2sin（2x+π（Ⅱ）令−π2+2kπ≤2x+π6则−π3+kπ≤x≤π6故f（x）在[−π2，π218．（15分）在△ABC中，a＝5，b2﹣bc+c2＝25．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：b＝7；条件②：sinB=3条件③：AC边上的高BH=9【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）依题意可得b2+c2﹣bc＝a2，再直接利用余弦定理计算可得；（Ⅱ）若选①，直接代入b2﹣bc+c2＝25，得到方程无解，故舍去；若选②，由正弦定理求出b，再代入b2﹣bc+c2＝25，即可求出c，最后根据面积公式计算可得；若选③，由锐角三角函数求出c，再代入b2﹣bc+c2＝25，求出b有两解，故舍去．【解答】解：（Ⅰ）因为a＝5，b2﹣bc+c2＝25，所以b2+c2﹣bc＝a2，所以b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理知cosA=b因为A∈（0，π），所以A=π（Ⅱ）若选①，b＝7，则72﹣7c+c2＝25，即c2﹣7c+24＝0，因为Δ＝（﹣7）2﹣4×24＝﹣47＜0，所以方程无解，不符合题意；若选②，sinB=3由正弦定理可知asinA=b解得b=10所以(10即9c2﹣30c﹣125＝0，解得c=10+1066所以S△ABC若选③，AC边上的高BH=9在Rt△ABH中sinA=BH所以AB=BHsinA=92所以b2即b2−33b+2=0，解得b=319．（15分）已知函数f（x）＝log2（ax+1）﹣x（a＞0，且a≠1）为偶函数．（1）求a的值；（2）若∀x1∈[0，π]，∃x2∈[﹣1，1]，使sin2x【考点】函数恒成立问题；函数的奇偶性．【答案】（1）a＝4；（2）[﹣1，0）．【分析】（1）由已知结合偶函数的定义即可求解；（2）由已知恒成立与存在性问题与最值关系的转化即可求解．【解答】解：（1）因为f（x）＝log2（ax+1）﹣x（a＞0，且a≠1）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），即log2（a﹣x+1）+x＝log2（ax+1）﹣x，所以2x＝log2（ax+1）﹣log2（a﹣x+1）＝log21+ax1+a−x=log2ax所以log2a＝2，即a＝4；（2）因为∀x1∈[0，π]，∃x2∈[﹣1，1]，使sin若∀x1∈[0，π]，∃x2∈[﹣1，1]，使sin2x1+msinx1+14−1m所以（sin2x1+msinx1+14−1m）min≥f（x2）min，x1∈[0，π由f（x）＝log2（4x+1）﹣x＝log2（1+4x）﹣log22x＝log2（2x+1又﹣1≤x≤1时，12≤2x≤2，所以f（x）min＝1，令t＝sinx，0≤x≤π，则0≤t≤1，设g（t）=t当−m2＜0，即m＞0时，g（t）min＝g（0）=当0＜−m2＜1，即﹣2＜m＜0时，g（t）min＝g（−整理得，m3+3m+4＝（m+1）（m2﹣m+4）≥0，解得m≥﹣1，即﹣1≤m＜0，当−m2＞1，即m＜﹣2，g（t）min＝g（1）整理得，4m2+m﹣4≤0，解得−1−658≤m≤综上，﹣1≤m＜0，故m的范围为[﹣1，0）．20．（15分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯xn），xi∈N*，i＝1，2，⋯n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn）∈Sn，给出如下定义：①AB→=(b1−a1，b2−a2，⋯，bn−an)；②λ（a1，a2，⋯，an）＝（λa1，λa2，⋯，λan）（λ∈R）；③A与B之间的距离为d（A，B）=i=1n|ai−bi|（1）当n＝5时，设A＝（1，2，1，2，5），B＝（2，4，2，1，3），求d（A，B）；（2）若A，B，C∈Sn，且存在λ＞0，使得AB→=λBC→，求证：d（A，B）+d（B，C）＝d（（3）记I＝（1，1，⋯，1）∈S20.若A，B∈S20，且d（I，A）＝d（I，B）＝13，求d（A，B）的最大值．【考点】数列的应用．【答案】（1）d（A，B）＝7．（2）见解析．（3）26．【分析】（1）当n＝5时，直接利用d(A，B)=i=1n|ai−b（2）设A＝{a1，a2，⋯an}，B＝{b1，b2，⋯bn}，C＝{c1，c2⋯cn}