2023-2024学年福建省宁德一中高二(上)第二次月考数学试卷(9月份)

2023-2024学年福建省宁德一中高二（上）第二次月考数学试卷（9月份）一、单选题（每题5分，共30分）1．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，若，则a6＝（）A．1 B．5 C．7 D．92．（5分）过点A（1，4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．x﹣y+3＝0 B．x+y﹣5＝0 C．4x﹣y＝0或x+y﹣5＝0 D．4x﹣y＝0或x﹣y+3＝03．（5分）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列{an}，则log2（a3a5）的值为（）A．8 B．10 C．12 D．164．（5分）数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，那么“k≥﹣1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）数列，，，，…，（2n﹣1）+，…，的前n项和Sn的值为（）A． B． C． D．6．（5分）已知数列{an}满足，则数列{an}的前2017项和S2017＝（）A． B． C． D．二、多选题（每小题5分，漏选得2分，共15分）（多选）7．（5分）等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn；等比数列{bn}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Tn，下列说法正确的是（）A．是等比数列，公比为2d B．{log2bn}是等差数列，公差为log2q C．若k∈N*，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k成等差数列，公差是kd D．若k∈N*，则Tk，T2k﹣Tk，T3k﹣T2k成等比数列，公比是qk（多选）8．（5分）直线l1：ax﹣y﹣b＝0，l2：bx﹣y+a＝0（ab≠0，a≠b），下列图象中正确的是（）A． B． C． D．（多选）9．（5分）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项错误的是（）A．q＞1 B．S2020+1＞S2021 C．T2020是数列{Tn}中的最大项 D．T4041＞1三、填空题（每小题5分，共15分）10．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+1，则an＝11．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且，则a9+a10+a11+a12的最小值为．12．（5分）设数列{an}中a1＝1，且满足，则a2023＝．四、解答题（40）13．（10分）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前10项和T10．14．（10分）已知直线l的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4．（1）若直线l的斜率为2，求实数m的值；（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．15．（10分）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，2019年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．（1）设n年内（2019年为第一年）总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn、Tn的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990．16．（10分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点都在函数的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且，若恒成立，求实数λ的取值范围．

2023-2024学年福建省宁德一中高二（上）第二次月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共30分）1．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，若，则a6＝（）A．1 B．5 C．7 D．9【考点】数列的求和．【答案】A【分析】由已知可得a6＝S6﹣S5，结合Sn的表达式可求得结果．【解答】解：因为Sn为数列{an}的前n项和，且，则．故选：A．2．（5分）过点A（1，4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．x﹣y+3＝0 B．x+y﹣5＝0 C．4x﹣y＝0或x+y﹣5＝0 D．4x﹣y＝0或x﹣y+3＝0【考点】直线的截距式方程．【答案】D【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距不为零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可．【解答】解：解法一：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y＝4x，即4x﹣y＝0，当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点A（1，4），所以，解得a＝﹣3，此时直线方程为x﹣y+3＝0．故选：D．解法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣1）（k≠0），则x＝0时，y＝4﹣k，y＝0时，，由题意知，解得k＝4或k＝1，即直线方程为y＝4x或x﹣y+3＝0．故选：D．3．（5分）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列{an}，则log2（a3a5）的值为（）A．8 B．10 C．12 D．16【考点】数列的应用．【答案】C【分析】推导出{an}是以2为公比的等比数列，且，解得a1＝8，由此能求出log2（a3⋅a5）的值．【解答】解：从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则{an}是以2为公比的等比数列，∴，127a1＝1016，解得a1＝8，所以，∴．故选：C．4．（5分）数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，那么“k≥﹣1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；数列的函数特性．【答案】A【分析】由{an}为递增数列⇔an+1＞an，解出即可判断出结论．【解答】解：由an+1＞an，得（n+1）2+k（n+1）＞n2+kn，化为：k＞﹣（2n+1），由{an}为递增数列，可得k＞﹣3．∴k≥﹣1是{an}为递增数列的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）数列，，，，…，（2n﹣1）+，…，的前n项和Sn的值为（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【答案】A【分析】将数列的每一项分为两项（2n﹣1）与，分别用等差数列与等比数列的前n项和公式来求即可．【解答】解：由于Sn＝++++…+[（2n﹣1）+]＝[1+3+5+7+…+（2n﹣1）]+（）＝＝则故选：A．6．（5分）已知数列{an}满足，则数列{an}的前2017项和S2017＝（）A． B． C． D．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】C【分析】取倒数后可得，利用累加法可得数列{an}的通项，利用裂项相消法可求S2017．【解答】解：根据，有，＝+（﹣）+...+（﹣）＝+6+10+...+4n﹣2＝+（n﹣1）（6+4n﹣2），于是，进而，则Sn＝（2﹣+﹣+...+﹣），于是，进而．故选：C．二、多选题（每小题5分，漏选得2分，共15分）（多选）7．（5分）等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn；等比数列{bn}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Tn，下列说法正确的是（）A．是等比数列，公比为2d B．{log2bn}是等差数列，公差为log2q C．若k∈N*，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k成等差数列，公差是kd D．若k∈N*，则Tk，T2k﹣Tk，T3k﹣T2k成等比数列，公比是qk【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；等比数列的性质．【答案】ABD【分析】由等差数列和等比数列的概念可以判断AB正确；由前n项和的概念与等差数列的概念以及等比数列的概念可以判断C错误，D正确．【解答】解：对于A，因为等差数列{an}的公差为d，所以（n≥2，n∈N*），故A正确；对于B，因为等比数列{bn}的各项均为正数，公比为q，所以q＞0，则（n≥2，n∈N*），故B正确；对于C，当k∈N*时，因为Sk＝a1+a2+a3+⋯+ak，S2k﹣Sk＝ak+1+ak+2+ak+3+⋯+ak+k，S3k﹣S2k＝a2k+1+a2k+2+a2k+3+⋯+a2k+k，又因为a1+a2k+1＝2ak+1，a2+a2k+2＝2ak+2，a3+a2k+3＝2ak+3，⋯，ak+a2k+k＝2ak+k，所以Sk+（S3k﹣S2k）＝2（S2k﹣Sk），所以Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k成等差数列，但是ak+1＝a1+kd，ak+2＝a2+kd，ak+3＝a3+kd，⋯，ak+k＝ak+kd，所以S2k﹣Sk＝Sk+k⋅kd，同理S3k﹣S2k＝（S2k﹣Sk）+k⋅kd，则，所以公差是k2d，故C错误；对于D，当k∈N*时，因为Tk＝b1+b2+b3+⋯+bk，T2k﹣Tk＝bk+1+bk+2+bk+3+⋯+bk+k，T3k﹣T2k＝T2k+1+T2k+2+T2k+3+⋯+T2k+k，因为，所以，又因为等比数列{bn}的各项均为正数，所以Tk≠0，T2k﹣Tk≠0，T3k﹣T2k≠0，且，所以，同理．即Tk，T2k﹣Tk，T3k﹣T2k成等比数列，且公比是qk，故D正确．故选：ABD．（多选）8．（5分）直线l1：ax﹣y﹣b＝0，l2：bx﹣y+a＝0（ab≠0，a≠b），下列图象中正确的是（）A． B． C． D．【考点】确定直线位置的几何要素．【答案】BC【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案．【解答】解：直线l1：y＝ax﹣b，l2：y＝bx+a（ab≠0，a≠b），A选项，，错误．B选项，，正确．C选项，，正确．D选项，，错误．故选：BC．（多选）9．（5分）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项错误的是（）A．q＞1 B．S2020+1＞S2021 C．T2020是数列{Tn}中的最大项 D．T4041＞1【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【答案】AD【分析】由题意可推出等比数列公比0＜q＜1，判断A；结合题意判断a2020＞1，0＜a2021＜1，即可判断B；判断等比数列的增减性，结合前n项积为Tn，可判断C；利用等比数列性质可判断D．【解答】解：由题意知a2020a2021＞1，即，因为a1＞1，可得q＞0，即等比数列{an}的各项都为正值，又（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，故若q≥1，结合a1＞1可知an＞1，则（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0不成立，故0＜q＜1，即数列{an}为递减数列，则a2020＞1，0＜a2021＜1，A错误；因为0＜a2021＜1，故S2020+1＞S2020+a2021＝S2021，B正确；由以上分析可知a1＞a2＞⋯＞a2020＞1＞a2021＞⋯＞0，故T2020是数列{Tn}中的最大项，C正确；由等比数列性质可得，0＜a2021＜1，故，D错误．故选：AD．三、填空题（每小题5分，共15分）10．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+1，则an＝﹣2n﹣1【考点】数列递推式．【答案】见试题解答内容【分析】由已知可得Sn+1＝2an+1+1，而Sn＝2an+1，两式相减，可得an+1＝2an，再结合Sn＝2an+1，令n＝1求出a1，从而可得数列{an}是以﹣1为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式求解即可．【解答】解：∵Sn＝2an+1，∴Sn+1＝2an+1+1，∴Sn+1﹣Sn＝2an+1﹣2an，即an+1＝2an+1﹣2an，∴an+1＝2an，又∵a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1．∴数列{an}是以﹣1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝﹣1×2n﹣1＝﹣2n﹣1．故答案为：﹣2n﹣1．11．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且，则a9+a10+a11+a12的最小值为24．【考点】等比数列的前n项和．【答案】24．【分析】由等比数列的性质可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，结合已知条件可得，利用基本不等式可求最小值．【解答】解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＞0，由已知，可得S8﹣S4＝S4+6，由等比数列的性质可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，则，综上可得，当且仅当S4＝6时等号成立．综上可得，a9+a10+a11+a12的最小值为24．故答案为：24．12．（5分）设数列{an}中a1＝1，且满足，则a2023＝．【考点】数列递推式．【答案】．【分析】结合已知条件得出数列的递推关系nan＝（n﹣1）an﹣1（n≥3），再由已知求得a2后即可得结论．【解答】解：由（n≥2）得a1+2a2+⋯+nan＝2（1+2+⋯+n）an＝n（n+1）an，①则n≥3时，a1+2a2+⋯+（n﹣1）an﹣1＝n（n﹣1）an﹣1，②①﹣②得，nan＝n（n+1）an﹣n（n﹣1）an﹣1，∴nan＝（n﹣1）an﹣1（n≥3），又，即a1＝4a2，而a1＝1，∴，所以n≥2时，，即，∴．故答案为：．四、解答题（40）13．（10分）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前10项和T10．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【答案】（1）an＝﹣3n+5或an＝3n﹣7；（2）T10＝105．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得，可得a1，d，即可得出答案；（2）由（1）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an＝3n﹣7，则|an|＝|3n﹣7|＝，根据等差数列的求和公式，即可得出答案．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1+d，a3＝a1+2d，由题意得，解得或，∴an＝2﹣3（n﹣1）＝﹣3n+5或an＝﹣4+3（n﹣1）＝3n﹣7；（2）由（1）得an＝﹣3n+5或an＝3n﹣7，则当an＝﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比数列，当an＝3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件，故|an|＝|3n﹣7|＝，设数列{|an|}的前n项和为Tn，当n＝1时，T1＝4，当n＝2时，T2＝5，当n≥3时，Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|＝5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）＝5+＝，又当n＝2时，满足上式，综上所述，Tn＝，∴T10＝＝105．14．（10分）已知直线l的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4．（1）若直线l的斜率为2，求实数m的值；（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【考点】直线的截距式方程．【答案】（1）﹣4；（2）面积的最大值为2，y＝﹣x+2．【分析】（1）设直线l的方程为且m≠4），结合题意，列出方程，即可求得m的值；（2）根据题意，求得0＜m＜4，且得到S△AOB＝|m||4﹣m|＝﹣（m﹣2）2+2，结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）依题意直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，设直线l的方程为：且m≠4），令y＝0，可得x＝m；令x＝0，可得y＝4﹣m，即直线l经过点（m，0），（0，4﹣m），所以直线l的斜率为，解得m＝﹣4．（2）设直线l的方程为：且m≠4），由直线l分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，可得，解得0＜m＜4，又由A（m，0），B（0，4﹣m），可得S△AOB＝|m||4﹣m|＝﹣（m﹣2）2+2，当m＝2时，S△AOB取得最大值2，此时直线方程为：，即y＝﹣x+2．15．（10分）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，2019年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．（1）设n年内（2019年为第一年）总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn、Tn的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990．【考点】根据实际问题选择函数类型；数列的应用．【答案】（1）Sn＝，Tn＝；（2）至少到2