2023-2024学年福建省泉州七中高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年福建省泉州七中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知向量a→=(2，1)，bA．﹣24 B．﹣23 C．﹣22 D．﹣212．（5分）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴越爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的扇形图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A．这五个社团的总人数为100 B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C．这五个社团总人数占该校学生人数的8% D．脱口秀团在扇形统计图中所占圆心角的度数为90°3．（5分）已知|a→|=8，与a→同向的单位向量为e→，|b→|=4，A．4e→ B．−4e→ C．24．（5分）若−12+32i是关于x的实系数方程ax2+bx+1＝0的一个复数根，且z＝A．35+15i B．155．（5分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m（如图），则旗杆的高度为（）A．10m B．30m C．103m D．106m6．（5分）在△ABC中，若动点P满足AB→2−AC→A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心7．（5分）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP→=xOAA．2 B．3 C．4 D．28．（5分）设Ox，Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e1→，e2→分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP→=xe1→+ye2→，则把有序数对（x，y）叫做向量OP→在斜坐标系xOy中的坐标，记作OP→=(x，y)．同时把有序数对（x，y）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标，记作P（x，y），已知在斜坐标系xOy中，△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，yA．AB→B．|ABC．若OA→∥OB→，则x1y2﹣x2D．△ABC的重心G的坐标为G(二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知i为虚数单位，则（）A．复数z＝a+bi（a∈R，b∈R），那么z•z=|zB．复数z＝（2+i）3，则|z|=35C．若x，y∈C，则x+yi＝1+i的充要条件是x＝y＝1 D．若复数z1＞z2，则z1，z2∈R（多选）10．（6分）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，s12；n，yA．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25（多选）11．（6分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=23，ABA．A=πB．若△ABC有两解，则b取值范围是(23C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是[2，4] D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3三、填空题，本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量a→=(−1，2)，a→⋅b→13．（5分）若一组10个数据a1、a2、⋯、a10的平均数为3，方差为6，则a1214．（5分）在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则PB→⋅PC四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步路．15．（13分）求解下面两题：（1）若复数z＝m2（1+i）+（3i﹣4）m+2i﹣5（m∈R）为纯虚数，求m的值；（2）已知x的方程x2﹣（tanθ+i）x﹣（2+i）＝0有实数根a，求asinθcosθ16．（15分）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求．（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数x与方差s2；（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照[5，15），[15，25），[25，35），[35，45），[45，55]分组，得到如下频率分布直方图．（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数a（结果保留整数）．17．（15分）在△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点．（1）若点P在边BC上，且BP→=13PC（2）若点P满足PA→+PB→+18．（17分）定义非零向量OM→=（a，b）的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量OM→=（a，b）称为函数f（x）＝asinx+bcosx（x∈（1）设h(x)=−2sin(x−π6)(x∈R)，写出函数h（x（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量ON→=(32，−12)的相伴函数f（x），若f（2B）＝1且b=3，求：19．（17分）一般地，n元有序实数对（a1，a2，⋯，an）称为n维向量．对于两个n维向量a→=(a利用n维向量的运算可以解决许多统计学问题．其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离dn，与哪个标准点的距离dn最近就归为哪类．某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值（a1）、管理能力分值（a2）、计算机能力分值（a3）、沟通能力分值（a4）（分值ai岗位业务能力分值（a1）管理能力分值（a2）计算机能力分值（a3）沟通能力分值（a4）合计分值会计（1）215412业务员（2）523515后勤（3）235313管理员（4）454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位．设四种能力分值分别对应四维向量β→（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方dn（i）小刚测试报告上的四种能力分值为β0（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐率（p）分别为1443

2023-2024学年福建省泉州七中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知向量a→=(2，1)，bA．﹣24 B．﹣23 C．﹣22 D．﹣21【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】利用向量的坐标运算即可求解．【解答】解：依题意，a→+3b则(a故选：B．2．（5分）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴越爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的扇形图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A．这五个社团的总人数为100 B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C．这五个社团总人数占该校学生人数的8% D．脱口秀团在扇形统计图中所占圆心角的度数为90°【考点】扇形统计图．【答案】B【分析】根据统计图中数据，逐个分析各个选项即可．【解答】解：对于A，这五个社团的总人数为810%=80，故对于B，因为太极拳社团人数的占比为128所以脱口秀社团人数的占比为1﹣10%﹣15%﹣30%﹣25%＝20%，故B正确；对于C，这五个社团总人数占该校学生人数的比例为802000=4%，故对于D，因为脱口秀社团人数的占比为20%，所以脱口秀团在扇形统计图中所占圆心角的度数为15×360°=72°，故故选：B．3．（5分）已知|a→|=8，与a→同向的单位向量为e→，|b→|=4，A．4e→ B．−4e→ C．2【考点】平面向量的投影向量．【答案】D【分析】根据向量数量积的定义及向量投影概念计算即可．【解答】解：由题意知a→又因为与a→同向的单位向量为e→，所以向量b→在向量a→方向上的投影向量为故选：D．4．（5分）若−12+32i是关于x的实系数方程ax2+bx+1＝0的一个复数根，且z＝A．35+15i B．15【考点】复数的运算．【答案】A【分析】由题意可得−12−32i是方程ax2+bx+1＝0的另一个复数根，然后利用韦达定理建立方程求出【解答】解：由题意可得−12−32i则−ba=−解得a＝1，b＝1，则z＝a+bi＝1+i，所以z1+z故选：A．5．（5分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m（如图），则旗杆的高度为（）A．10m B．30m C．103m D．106m【考点】解三角形．【答案】B【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．【解答】解：如图，依题意知∠ABC＝30°+15°＝45°，∠ACB＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知BCsin∠BAC∴AC=BCsin∠BAC•sin∠ABC=1061在Rt△ACD中，AD=32•AC=32×即旗杆的高度为30m．故选：B．6．（5分）在△ABC中，若动点P满足AB→2−AC→A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【考点】三角形五心．【答案】C【分析】根据向量的运算化简，可证明CB→⊥PD【解答】解：因为AB→所以CB→设BC的中点为D，则PB→+PC即CB→⋅PD所以点P在线段BC的中垂线上，故点P的轨迹过△ABC的外心．故选：C．7．（5分）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP→=xOAA．2 B．3 C．4 D．2【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】由平面向量基本定理及三角恒等变换计算可求得结论．【解答】解：以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设扇形AOB的半径为r，则A（r，0），B(−r设点P(acosθ，asinθ)(0≤a≤r，0≤θ≤2π因为OP→所以xr−y2r=acosθ则2(x+y)=(2x−y)+3y=2a因为0≤θ≤2π3，则当θ+π2=π2且a＝r故选：C．8．（5分）设Ox，Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e1→，e2→分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP→=xe1→+ye2→，则把有序数对（x，y）叫做向量OP→在斜坐标系xOy中的坐标，记作OP→=(x，y)．同时把有序数对（x，y）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标，记作P（x，y），已知在斜坐标系xOy中，△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，yA．AB→B．|ABC．若OA→∥OB→，则x1y2﹣x2D．△ABC的重心G的坐标为G(【考点】平面向量的基本定理．【答案】B【分析】根据题设中的新定义直接求解即可．【解答】解：选项A，AB→=OB→−OA→=x2e1＝（x2﹣x1）e1→+（y2﹣y1）e2→=（x2﹣x1，y2选项B，∵AB→=（x2﹣x1）e1→+（y2﹣∴|AB→|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2+2（x2﹣x1）（y2﹣y1），故选项C，若OA→∥OB→，则OA→=λOB→，即x1＝λx2，y1∴x1y2﹣x2y1＝0，故C正确；选项D，设AB的中点为F，G（x，y），则CG→=23CF∴x﹣x3=13（x1+x2﹣2x3），y﹣y3=13（y1+y2即x=13（x1+x2+x3），y=13（y1+y2+y故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知i为虚数单位，则（）A．复数z＝a+bi（a∈R，b∈R），那么z•z=|zB．复数z＝（2+i）3，则|z|=35C．若x，y∈C，则x+yi＝1+i的充要条件是x＝y＝1 D．若复数z1＞z2，则z1，z2∈R【考点】复数的运算；共轭复数；复数的模．【答案】AD【分析】由已知结合复数的基本概念检验各选项即可判断．【解答】解：A，z⋅z=（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝|z|2＝|z|B，z＝（2+i）3＝8+i3+12i+6i2＝2+11i，则|z|=4+121=5C，根x+yi＝1+i，取x＝i，y＝﹣i，否定C，错误；D，若复数z1＞z2，则复数z1与z2一定都为实数，正确．故选：AD．（多选）10．（6分）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，s12；n，yA．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【考点】频率分布直方图的应用．【答案】BCD【分析】根据直方图中的性质逐项计算即可．【解答】解：A项，（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，∴a＝0.005，A项错误；B项，[50，70]内频率为：5×0.005×10＝0.25＜0.5，[50，80]内频率为：12×0.005×10＝0.6＞0.5，则中位数在[70，80]内，设中位数为x，则0.25+（x﹣70）×7×0.005＝0.5，则x＝77.14，B正确；成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为34方差为34×[12+(87.5−85)2]+故选：BCD．（多选）11．（6分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=23，ABA．A=πB．若△ABC有两解，则b取值范围是(23C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是[2，4] D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3【考点】解三角形；平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理；三角形中的几何计算．【答案】ABD【分析】利用平面向量数量积的运算以及三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanA=3，结合A∈（0，π），可求A=π3若b＝4，则bsinA＝a，三角形只有一解，即可判断B；由题意可求π6＜B＜π2，得12由题意AD→=12(【解答】解：对于A：∵AB→∴bccosA=233×12bcsinA，即3cos又A∈（0，π），故A=π3，故对于B：若△ABC有两解，则bsinA＜a＜b，即32b＜23＜b，解得b∈（23，4），故对于C：若△ABC为锐角三角形，则0＜B＜π2，∴π6＜B＜π∴由正弦定理得b=asinBsinA=4sinB∈(2，4)对于D：若D为BC边上的中点，则AD→∴AD→又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝12，∴b2+c2＝12+bc，由基本不等式得b2+c2＝12+bc≥2bc，当且仅当b=c=23∴bc≤12，当且仅当b=c=23∴AD→2=14[(12+bc)+bc]=3+1故选：ABD．三、填空题，本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量a→=(−1，2)，a→⋅b→=−1且【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．【答案】3．【分析】先求出|a→|，再求出|【解答】解：因为向量a→则|a且a→⋅b可得|a可得|b即|b故答案为：3．13．（5分）若一组10个数据a1、a2、⋯、a10的平均数为3，方差为6，则a12【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】150．【分析】根据题意，利用方差公式可得出a1【解答】解：由题意可知，这10个数据的平均数为a=方差为s2解得a1故答案为：150．14．（5分）在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则PB→⋅PC→+【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】23【分析】如图，取BC中点为M，做PN⊥BC，将PB→⋅PC→+【解答】解：如图，取BC中点为M，做PN⊥BC，则PB→又PB→+PC→=2得PB→注意到S△ABC则|BC→|=则PM→当且仅当PM⊥BC，且|PN→|故答案为：23四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步路．15．（13分）求解下面两题：（1）若复数z＝m2（1+i）+（3i﹣4）m+2i﹣5（m∈R）为纯虚数，求m的值；（2）已知x的方程x2﹣（tanθ+i）x﹣（2+i）＝0有实数根a，求asinθcosθ【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【答案】（1）m＝5；（2）﹣2．【分析】（1）将复数z写出复数的标准形式，根据复数的特征，列式求解；（2）将a代入方程，即可求a和tanθ，再根据三角函数变形，即可求解．【解答】解：（1）z＝（m2﹣4m﹣5）+（m2+3m+2）i，因为z为纯虚数，所以m2解得m＝5或m＝﹣1（舍），故m＝5．（2）a2﹣（tanθ+i）a﹣（2+i）＝0⇒（a2﹣atanθ﹣2）﹣（a+1）i＝0，所以a2−atanθ−2=0a+1=0，解得aasinθcosθ16．（15分）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求．（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数x与方差s2；（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照[5，15），[15，25），[25，35），[35，45），[45，55]分组，得到如下频率分布直方图．（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数a（结果保留整数）．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）5；3.6；（2）（ⅰ）120；（ⅱ）24．【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法求得正确答案；（2）（ⅰ）根据频率分布直方图求得正确答案；（ⅱ）根据中位数的求法求得正确答案．【解答】解：（1）x=s2（2）（ⅰ）600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为：（0.015+0.005）×10×600＝120．（ⅱ）由0.020×10＝0.2＜0.5，（0.020+0.035）×10＝0.55＞0.5，可得15＜a＜25，所以0.20+（a﹣15）×0.035＝0.5，解得a=0.3所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24．17．（15分）在△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点．（1）若点P在边BC上，且BP→=13PC（2）若点P满足PA→+PB→+【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【答案】（1）AP→=3【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求解；（2）根据题意可得35sinA＝21sinB＝15sinC，从而可得a：b：c＝3：5：7，再根据余弦定理，即可求解．【解答】解：（1）∵点P在边BC上，且BP→∴AP=AB=3（2）∵点P满足PA→+PB∴35sinA＝21sinB＝15sinC，∴sinA：sinB：sinC＝3：5：7，∴a：b：c＝3：5：7，∴cos∠BAC=25+49−918．（17分）定义非零向量OM→=（a，b）的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量OM→=（a，b）称为函数f（x）＝asinx+bcosx（x∈（1）设h(x)=−2sin(x−π6)(x∈R)，写出函数h（x（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量ON→=(32，−12)的相伴函数f（x），若f（2B）＝1且b=3，求：【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用．【答案】（1）OM→（2）①(3，23]；【分析】（1）根据两角之差的正弦公式，结合相伴向量的概念加以计算，可得答案．（2）①首先根据相伴函数的概念求出f（x）的表达式，结合三角恒等变换公式求出角B的大小，然后根据正弦定理将a+c表示成角A的三角函数式，利用余弦函数的性质求出a+c的取值范围；②根据三角形的面积公式，将△ABC的内切圆半径表示为r=32aca+c+3【解答】解：（1）根据题意，得h(x)=−2sin(x−π所以函数h（x）的相伴向量OM→（2）①向量ON→=(3由f（2B）＝1，得sin(2B−π6)=1，结合2B−π6b=3，由正弦定理asinA=csinC=bsinB=所以a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(2π因为B=π3，可得0＜A＜2π3，所以因此，23cos(A−π3)∈(3，2②设△ABC的内切圆半径为r，则面积S=12（a+b+c）r=12可得r=32aca+c+3≤32•设t＝a+c，t∈(3，23]，则f（t）=t2由f（t）在t+3=3t+3，即t＝0时取得最小值，可知f所以当a+c∈(3，23]时，(a+c)2可得38•(a+c)2a+c+3的最大值为38•4因此r=32aca+c+3的最大值为12，结合r＞0，可知0＜r19．（17分）一般地，n元有序实数对（a1，a2，⋯，an）称为n维向量．对于两个n维向量a→=(a利用n维向量的运算可以解决许多统计学问题．其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离dn，与哪个标准点的距离dn最近就归为哪类．某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值（a1）、管理能力分值（a2）、计算机能力分值（a3）、沟通能力分值（a4）（分值ai岗位业务能力分值（a1）管理能力分值（a2）计算机能力分值（a3）沟通能力分值（a4）合计分值会计（1）215412业务员（2）523515后勤（3）235313管理员（4）454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算