黑龙江哈尔滨市2026届高考第一次模拟考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页黑龙江哈尔滨市2026届高考第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量a=(−1,2)，bA．−4 B．−1 C．12．已知全集U=R，集合A=x(A．(−1,0) B．{−3．若双曲线的渐近线方程为2x±3y=A．y24−x29=1 4．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5=35，SA．13 B．15 C．17 D．195．某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种6．已知tanα=2，α∈0A．31010 B．1010 C．−7．“(ax+1)6的展开式中x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>A．−π18,π6 B．−π二、多选题9．已知复数z=2iA．z在复平面对应的点位于第二象限 B．z的虚部是iC．z=2 10．已知函数f(x)A．曲线f(x)在B．函数f(xC．若点P是曲线y=f(x)上的动点，则点D．若过点A(0,a11．已知正方体ABCD−A1B1CA．当P在线段BC1上运动时，四面体B．当P在正方体表面上运动时，若AP⊥B1C．当P在线段AE上运动时，直线D1P与ADD．当P在线段A1C上运动时，四面体P三、填空题12．在△ABC中，已知A=13．已知函数f(x)=14．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P为椭圆C上一点，P四、解答题15．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表所示.零件数x/个60708090100加工时间y/min95104108116122经计算得i=(1)建立加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程；(2)关于加工零件的个数与加工时间，由（1）问你能得出什么结论？参考公式：经验回归方程y=bx+a16．在数列an中，已知an+(1)求证数列1a(2)设bn=log21an−1，cn=1b17．如图，三棱柱ABC−(1)证明：AB(2)若三棱柱ABC−A118．已知抛物线E:x2=2py(p>0(1)求E的方程；(2)设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为M，直线AF交E于另一点B，证明：B、O、M(3)若点C，D在E上，且线段CD的中点在直线y=x上，点P19．由于人类对某种小型濒危动物的长期保护，使得其种群数量偏离平衡值的波动量y=fx（单位：千只）与时间x定义：若函数gx在a1．振荡性：g'x在2．衰减性：任意给定正实数m，存在实数n，使得当x>n时，gx(1)求fx在0(2)根据定义判断函数fx在0(3)设hx=f答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《黑龙江哈尔滨市2026届高考第一次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ADBCCABCACBCD题号11答案ACD1．A【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可.【详解】因为平面向量a=(−1,2)，整理得−x−42．D【详解】解一元二次不等式(x+2)(x−1)≥因为全集U=R，因此：3．B【详解】因为双曲线的渐近线为2x±3又双曲线经过点(32,2)所以双曲线方程为4x2−4．C【分析】利用等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式计算即可得.【详解】设等差数列an的公差为d，则S5=故a8故选：C.5．C【分析】解法一：按间接法：用总的选法数减去不符合的选法可得；解法二：用分类加法计数原理计算可得.【详解】解法一：总共有2+4=6名候选人，任选不符合“至少有一名工程师”的情况是“全选专家”，从4名专家中选3人的选法为C4因此至少有一名工程师的选法为20−解法二：直接分两类计算：第一类：选出的3人为1名工程师和2名专家的选法为C2第二类：选出的3人为2名工程师和1名专家的选法为C2根据分类加法计数原理得共有12+6．A【详解】因为tanα=2，所以sin又因为sin2α+cos2又α∈0,π2所以sinα7．B【详解】(ax+1)若x2的系数为60，则15a2所以“(ax+1)6的展开式中反之，若a=2，则展开式中x2故“a=2”能推出“(ax+故“(ax+1)6的展开式中8．C【分析】先根据正弦函数的性质得f(x)=2sin3x+【详解】因为函数fx图象经过点0,3，并且在y轴右侧的第一个零点为π所以A=2，T4所以T=2π3=2πω，所以故f(因为f−518π=−1，令fx=所以，根据对称性可知，当x=−π因为函数fx在−518所以，m∈−π18,9．AC【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可【详解】解：z=则z在复平面对应的点为(−z的虚部为1，所以B错误，z=z=故选：AC10．BCD【分析】对A，利用导数的几何意义可求切线方程；对B，利用导数判断函数的单调性即可求出函数f(x)的值域，对C，当在点P处的切线与直线y=x+1【详解】求导，得f′x=1−xe故曲线f(x)在x=0令f′x>0，则x<当x∈−∞,−1时，当x=1时，f(x)取得最大值1e，又x→所以函数fx故函数f(x)当曲线y=fx在点P处的切线与直线y=x设点Px0,x0ex0，则f′x0设过点A的切线切点为x,xex，则若过点A至少可以作曲线的两条条切线，则函数y=a与函数对函数y=x2当x∈−∞,0当x∈0,2时，当x∈2,+∞又x→−∞时，y→+∞；当x→+∞时，f所以函数y=则当0<a≤4e此时过点A至少可以作曲线y=11．ACD【分析】求出点P到平面D1AE的距离d不变，得到VD1−APE=VP−D1AE=13S△D1AEd为定值即可判断A；求证B1E【详解】对于A，VD1−AP所以由AD1⊂平面D1AE、BC所以点P到平面D1AE的距离d对于B，线段B1E在平面ADD1A1由正方体结构性质可知AD1⊥DE，又D故AD1⊥平面DEB1AB1E在平面AB取BC中点M，连AM，则由正方体结构性质可知AM⊥B又BE∩BB1=B，B又B1E⊂平面B因为AD1∩AM=A，A取CC1中点N，连接MN所以MN,AD1所以点P轨迹为四边形AMND对于C，过P作PH⊥CD于H，连D1H，易知则由D1H⊂平面CDD1C1得PH随着P从点A运动到E，D1H增大，PH减小，从而tan∠因此当点P位于点A时，成角最小为∠D对于D，取AC中点O，过O作面AB又由正方体结构特征可知平面PAC⊥平面ABC球半径R为△APC因为∠APC又sin∠所以sin∠APC∈12．45/【分析】利用正弦定理和三角函数二倍角公式求解.【详解】在△AB因为A=2B所以代入a=8因为0<B<所以82cosB13．±【详解】因为函数f(所以f(x)即x2ln1+114．2【分析】根据椭圆的定义及所给条件，可表示出PF1和PF2的长度，根据旁切圆的切线长性质，可建立F1M与PF1、PF2、F1F2的关系，又因为F【详解】解法一：设F1F2=2c由圆I与线段PF1的延长线和线段PF2的延长线分别相切于点A和点B，与线段F1F2相切于点因为PF1=3PF又因为|PA所以32a+2λc因为函数f(λ)=即椭圆C离心率的取值范围是23解法二：切线长定理、向量条件由椭圆定义求焦半径根据椭圆定义PF1+PF2应用切线长定理设圆I与PF1延长线切于A，与PF2延长线切于B，与根据切线长定理：F1A=F设F1M=从P点出发的切线长|从P点出发的切线长|由|P3又M在线段F1F2联立方程n=解得m由F1M=代入F1M=2整理得2c因此，离心率e=c已知λ∈18代入e=1解法三：旁切圆性质公式确定旁切圆切点位置圆I是△PF1对于三角形的旁切圆，其与一边的切点到对应顶点的距离公式为F代入PF1=3a2结合向量条件，由F1M→联立2c-因此离心率e=ca已知λ∈18代入e=1215．(1)y(2)答案见解析【详解】（1）由题x=60+所以i=15b=ia^所以加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程为y^（2）由回归直线方程可知，斜率b>0，说明加工零件个数x与加工时间y呈正线性相关，零件数每增加一个，加工时间平均增加16．(1)证明见解析(2)[【详解】（1）1an故1所以1an−1是以（2）由（1）可知1ancS由Sn单调递增，1n故2λ−1即λ的取值范围为[117．(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取AB中点M，连接MC，MA1，可证得（2）利用体积可得sin∠A1MC=1，进而可证A1M【详解】（1）取AB中点M，连接MC，又因为△ABC又因为∠A1AB=π3又因为CM∩A1M=M，C又A1C⊂平面A（2）由三棱柱ABC−即VA解得sin∠A1MC=1，即所以以M为原点．以MA方向为x轴，以CM方向为y轴，以MA则A1所以AC设平面A1CC则n1⋅AC=所以平面A1CC又A设平面A1CB则n2⃗⋅A1所以平面A1CB设平面A1CC1与平面cosθ即平面A1CC1与平面18．(1)x(2)证明见解析(3)6【分析】（1）先得到焦点为F0,p（2）设直线AF的直线方程为y=kx+14，Ax（3）解法1：设CD的中点为(t,t),t≠0,t≠1，Cx解法2：同解法1得到S=解法3：设直线CD的方程为y=k1x+b，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式及点到直线的距离公式表示出△PCD【详解】（1）抛物线E:x2=2由抛物线定义|AF|因此，抛物线E的方程为x2（2）由（1）知，F0显然直线AF的斜率存在，设直线AF的直线方程为y=设Ax1,y1联立y=kx则Δ=k2+1>0而kOM=−1所以kOM=kOB，所以

（3）解法1：由题意，设CD的中点为(t,t),则x3+x结合y3=x32则x3kC所以|C直线CD的方程为y−t=则点P12,1到直线则△PCD令u=t(所以S=u⋅令S′>0，得0<u所以函数S(u)在0则Smax解法2：同解法1得到，S=124当且仅当4t−t2=解法3：设直线CD的方程为y=联立y=k1则Δ=k12+则yC所以xC+x因为线段CD的中点在直线y=所以k12=k1则|CD|点P12,1到直线所以△PCD令t=k1所以S=t−令S′(t)>0，得所以函数St在0,6则Smax

19．(1)极值点x=3π4和(2)是，证明见解析.(3)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据导数得到函数的单调性，从而得到极值点；（2）根据定义直接判断即可；（3）考虑x→0