2023-2024学年福建省三明一中高二(上)月考数学试卷(一)(8月份)

2023-2024学年福建省三明一中高二（上）月考数学试卷（一）（8月份）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知点，，则直线AB的倾斜角是（）A．60° B．30° C．120° D．150°2．（5分）已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为（）A．x+4y+1＝0或x＝3 B．x+4y﹣1＝0或x＝3 C．x+4y+1＝0 D．x+4y﹣1＝03．（5分）若直线l1：ax+3y+1＝0与直线l2：2x+（a+1）y+1＝0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣24．（5分）圆与圆内切，则实数m的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则|+|＝（）A． B．3 C． D．46．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于a，则•的值为（）A．a2 B．2a2 C．3a2 D．a27．（5分）已知实数x，y满足3x﹣4y﹣6＝0，则的最小值为（）A．2 B． C． D．8．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知直线l：mx+y+1＝0，A（2，1），B（0，﹣1），则下列结论错误的是（）A．直线l恒过定点（0，1） B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行（多选）10．（5分）已知圆A：x2+y2﹣2y﹣3＝0，则下列说法正确的是（）A．直线x＝﹣1与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点B（﹣1，﹣1）在圆A外 D．圆A上的点到直线3x﹣4y+19＝0的最小距离为3（多选）11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F在棱C1D1上，下列判断正确的是（）A．若B1F∥平面A1BE，则F为C1D1的中点 B．平面ADC1B1⊥平面A1BE C．异面直线A1B与CE所成角的余弦值为 D．若AB＝1，则（多选）12．（5分）过原点的直线l与圆M：x2+y2+2x﹣2y﹣16＝0交于A，B两点，且l不经过点M，则（）A．弦AB长的最小值为8 B．△MAB面积的最大值为 C．圆M上一定存在4个点到l的距离为 D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（1，﹣1）且与直线2x+3y﹣6＝0垂直的直线方程为．14．（5分）已知空间向量、、共面，则实数λ的值为．15．（5分）若A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则△ABC的形状是．（选填：锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）16．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝6，点E在棱AB上，BE＝2AE，动点P满足BP＝PE．若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为；若点P在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥M﹣B1CF的体积的最小值为．四、解答题（本大题6共小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知，．（1）求；（2）当时，求实数k的值．18．（12分）已知△ABC的顶点A（1，1），C（3，﹣4），边BC的垂直平分线所在直线方程为x﹣y﹣5＝0．（1）求边BC所在直线方程；（2）求△ABC的面积．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．（1）设＝，＝，＝，用向量，，表示，并求出BC1的长度；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．20．（12分）已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0）、A（﹣2，4）、B（1，1）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l的斜率为，在y轴上的截距为﹣1，且与圆C相交于P、Q两点，求△OPQ的面积．21．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝2，D为BC的中点，点E在AA1上．（1）证明：BC⊥平面A1AD；（2）若二面角A1﹣DE﹣C1大小为30°，求以A1，E，D，C1为顶点的四面体体积．22．（12分）如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．（1）若t＝﹣1，求切线所在直线方程；（2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．

2023-2024学年福建省三明一中高二（上）月考数学试卷（一）（8月份）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知点，，则直线AB的倾斜角是（）A．60° B．30° C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【答案】B【分析】根据斜率公式以及定义即可求出．【解答】解：∵，设直线AB的倾斜角是θ，∴且0°≤θ＜180°，∴θ＝30°．故选：B．2．（5分）已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为（）A．x+4y+1＝0或x＝3 B．x+4y﹣1＝0或x＝3 C．x+4y+1＝0 D．x+4y﹣1＝0【考点】点到直线的距离公式；直线的点斜式方程．【答案】A【分析】先求出直线AB的斜率，由点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），得到直线l与直线AB平行，且直线l过点（3，﹣1），或直线l的方程为x＝3，由此能求出直线l的方程．【解答】解：∵点A（1，3）和点B（5，2），∴kAB＝＝﹣，∵点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），∴直线l与直线AB平行，且直线l过点（3，﹣1），或直线l的方程为x＝3，∴直线l的方程为：y+1＝﹣（x﹣3），或x＝3，整理得：x+4y+1＝0或x＝3．故选：A．3．（5分）若直线l1：ax+3y+1＝0与直线l2：2x+（a+1）y+1＝0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【答案】A【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．【解答】解：直线l1：ax+3y+1＝0与l2：2x+（a+1）y+1＝0互相平行，则a（a+1）＝2×3，解得a＝2或a＝﹣3，当a＝2时，直线l1，l2重合，不符合题意，当a＝﹣3时，直线l1，l2平行，符合题意．故选：A．4．（5分）圆与圆内切，则实数m的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【答案】C【分析】由圆C1，C2内切得|C1C2|＝|r1﹣r2|即可解决．【解答】解：由题知，所以C1（0，0），r1＝1，C2（3，﹣4），r2＝m，因为圆与圆内切，所以|C1C2|＝|r1﹣r2|，即5＝|1﹣m|，因为m＞0，所以m＝6，故选：C．5．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则|+|＝（）A． B．3 C． D．4【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】B【分析】利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解即可．【解答】解：x，y∈R，向量，，且，，可得x+y+1＝0，，解得x＝1，y＝﹣2，则+＝（2，﹣1，2），则|+|＝＝3，故选：B．6．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于a，则•的值为（）A．a2 B．2a2 C．3a2 D．a2【考点】平面向量数量积的性质及其运算；空间向量的数量积运算．【答案】B【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系：则A（a，0，0），B（a，a，0），C1（0，a，a），＝（﹣a，a，a），＝（﹣a，0，a），∴•＝a2+0+a2＝2a2．故选：B．7．（5分）已知实数x，y满足3x﹣4y﹣6＝0，则的最小值为（）A．2 B． C． D．【考点】函数的最值及其几何意义．【答案】A【分析】因为＝，原式的最小值即为点N（0，1）到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离，即可得答案．【解答】解：∵＝，∴上式可看成是一个动点M（x，y）到定点N（0，1）的距离，即为点N到直线3x﹣4y﹣6＝0上任意一点M（x，y）到定点N（0，1）的距离，∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即：Smin＝＝2．故选：A．8．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0【考点】圆的切线方程．【答案】D【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝，说明要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，圆心M（1，1），半径r＝2．∵＝2S△PAM＝|PA|•|AM|＝2|PA|＝．∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为y﹣1＝（x﹣1），即y＝，联立，解得P（﹣1，0）．则以PM为直径的圆的方程为．联立，相减可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知直线l：mx+y+1＝0，A（2，1），B（0，﹣1），则下列结论错误的是（）A．直线l恒过定点（0，1） B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行【考点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的一般式方程与直线的平行关系；恒过定点的直线．【答案】ACD【分析】由题意，利用直线的斜率和倾斜角，直线的斜率公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵直线l：mx+y+1＝0，令x＝0，可得y＝﹣1，故直线l恒过定点（0，﹣1），故A错误；当m＝1时，直线l即x+y+1＝0，它的斜率为﹣1，故它的倾斜角为，故B正确；当m＝0时，直线l即y+1＝0，它的斜率为0，故C错误；当m＝﹣1时，直线l即﹣x+y+1＝0，即x﹣y﹣1＝0，由A（2，1），B（0，﹣1），可得直线AB的方程为＝，即x﹣y﹣1＝0，故当m＝﹣1时，直线l与直线AB重合，故D错误，故选：ACD．（多选）10．（5分）已知圆A：x2+y2﹣2y﹣3＝0，则下列说法正确的是（）A．直线x＝﹣1与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点B（﹣1，﹣1）在圆A外 D．圆A上的点到直线3x﹣4y+19＝0的最小距离为3【考点】直线与圆的位置关系．【答案】BC【分析】首先将圆的方程化为标准方程，即可确定圆的半径，利用圆心到直线的距离可判断A，利用y轴过圆心可得圆截y轴的弦长可判断B，求出圆心到B的距离可判断C，求得圆心到直线的距离即可确定圆上的点到直线距离的最小值可判断D．【解答】解：由圆A：x2+y2﹣2y﹣3＝0得x2+（y﹣1）2＝4，所以圆心A（0，1），半径r＝2，对于A：圆心A到直线x＝﹣1的距离为1，所以直线x＝﹣1与圆A不相切，故A不正确；对于B：圆心A在y轴上，故圆A截y轴所得的弦长为2r＝4，故B正确；对于C：把点B（﹣1，﹣1）到圆心A的距离d＝＝＞2，所以点B在圆A外，故C正确；对于D：圆A上的点到直线3x﹣4y+19＝0的最小距离为圆心A到直线的距离减去圆的半径，又圆心A到直线的距离d＝＝3，所以圆A上的点到直线3x﹣4y+19＝0的最小距离为3﹣2＝1，故D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F在棱C1D1上，下列判断正确的是（）A．若B1F∥平面A1BE，则F为C1D1的中点 B．平面ADC1B1⊥平面A1BE C．异面直线A1B与CE所成角的余弦值为 D．若AB＝1，则【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直；棱柱的结构特征．【答案】ABD【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，进而根据坐标法依次讨论各选项即可得答案．【解答】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，所以A1（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），B1（2，0，2），F（x，2，2）（x∈[0，2]），对于A选项，所以，设是平面A1BE的法向量，则，即，故令y1＝1，则，所以，解得x＝1，此时F为C1D1的中点，故A选项正确；对于B选项，设是平面ADC1B1的法向量，由于，则，即，令z2＝1得，由于，所以，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE，故B选项正确；对于C选项，，所以，所以异面直线A1B与CE所成角的余弦值为，故C选项错误；对于D选项，若AB＝1，则，故D选项正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）过原点的直线l与圆M：x2+y2+2x﹣2y﹣16＝0交于A，B两点，且l不经过点M，则（）A．弦AB长的最小值为8 B．△MAB面积的最大值为 C．圆M上一定存在4个点到l的距离为 D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上【考点】直线与圆的位置关系．【答案】ABD【分析】化简圆的方程为标准方程，结合已知条件求解选项即可．【解答】解：M：x2+y2+2x﹣2y﹣16＝0化为标准方程：M：（x+1）2+（y﹣1）2＝18．设M到直线l的距离为d，则d≤|OM|＝，对于A：由垂径定理，即|AB|≥8，当且仅当d＝，即OM⊥l时取等号，故弦AB长的最小值为8，故A正确；对于B：△MAB面积为，令t＝d2，则：△MAB面积为，t∈（0，2]，而y＝﹣t2+18t＝﹣（t﹣9）2+81在（0，2]上单调递增，所以ymax＝y|t＝2＝32，于是△MAB面积的最大值为，B正确；对于C：当OM⊥l时，d＝，到l的距离为的点由3个，C错误；对于D：A，B两点处圆的切线的交点坐标为（m，n），则直线AB为切点弦所在直线方程，为：mx+ny+m+x﹣（n+y）﹣16＝0，由于直线AB过原点，所以m﹣n﹣16＝0，即A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（1，﹣1）且与直线2x+3y﹣6＝0垂直的直线方程为3x﹣2y﹣5＝0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【答案】3x﹣2y﹣5＝0【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程．【解答】解：设与直线2x+3y﹣6＝0垂直的直线的方程为：3x﹣2y+t＝0，将（1，﹣1）代入可得3×1﹣2（﹣1）+t＝0，可得t＝﹣5，所以所求直线方程为：3x﹣2y﹣5＝0．故答案为：3x﹣2y﹣5＝0．14．（5分）已知空间向量、、共面，则实数λ的值为4．【考点】共线向量与共面向量．【答案】4．【分析】利用空间向量共面的条件，设，列出方程组求出λ的值．【解答】解：∵共面，∴存在实数x，y，使得，所以（λ，5，5）＝x（2，﹣1，3）+y（﹣1，4，﹣2）＝（2x﹣y，﹣x+4y，3x﹣2y），∴，解得故答案为：4．15．（5分）若A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则△ABC的形状是锐角三角形．（选填：锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）【考点】三角形的形状判断．【答案】锐角三角形．【分析】利用空间中两点间的距离公式可知，△ABC中，AB边最长，内角C最大，求出，可判断出C为锐角，即可得出结论．【解答】解：因为A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则，，，所以，，，，所以，△ABC中，AB边最长，内角C最大，所以，，显然、不共线，故C为锐角，故△ABC为锐角三角形．故答案为：锐角三角形．16．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝6，点E在棱AB上，BE＝2AE，动点P满足BP＝PE．若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为2；若点P在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥M﹣B1CF的体积的最小值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】①若点P在平面ABCD内运动时，如图以A为原点建立平面直角坐标系，可得E（2，0），B（6，0）．设P（x，y），由BP＝PE可得BP2＝3PE2．即3（x﹣2）2+3y2＝（x﹣6）2+y2，⇒x2+y2＝12．即可②若点P在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内部运动，由①可得点P在半径为2，球心为A球上．如图建立空间直角坐标系，求得A到面FCB1的距离为d，求得P到面FCB1的距离的最小值d，又M到面FCB1的距离的最小值为，利用体积公式即可求解．【解答】解：①若点P在平面ABCD内运动时，如图以A为原点建立平面直角坐标系，可得E（2，0），B（6，0）．设P（x，y），由BP＝PE可得BP2＝3PE2．即3（x﹣2）2+3y2＝（x﹣6）2+y2，⇒x2+y2＝12．则点P所形成的阿氏圆的半径为2，圆心为A，②若点P在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内部运动，由①可得点P在半径为2，球心为A球上．如图建立空间直角坐标系，可得A（3，0，0），F（0，3，3），C（0，6，0），B1（3，6，3）则，设面FB1C的法向量为，，可得．A到面FCB1的距离为d＝＝．∵则P到面FCB1的距离的最小值为3﹣2＝，∵M为CP的中点，∴M到面FCB1的距离的最小值为．则三棱锥M﹣B1CF的体积的最小值为＝＝．故答案为：2，．四、解答题（本大题6共小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知，．（1）求；（2）当时，求实数k的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量的数量积运算．【答案】（1）﹣10；（2）或．【分析】（1）根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算即可；（2）由，得，再根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算即可．【解答】解：（1）已知，，则，，，所以；（2）因为，所以，解得或．18．（12分）已知△ABC的顶点A（1，1），C（3，﹣4），边BC的垂直平分线所在直线方程为x﹣y﹣5＝0．（1）求边BC所在直线方程；（2）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程．【答案】（1）BC边的直线方程为x+y+1＝0，（2）S△ABC＝3．【分析】（1）由题意先求BC的斜率，再求方程即可，（2）先求B点坐标，再求BC的长度，再求三角形的高即A点到BC的距离，再求面积即可．【解答】解：（1）由题意边BC的垂直平分线所在直线方程为x﹣y﹣5＝0，则kBC＝﹣1，又C（3，﹣4）∴BC边的直线方程为y+4＝（﹣1）（x﹣3），即x+y+1＝0，（2）由题意x﹣y﹣5＝0是BC边的垂直平分线，所以点B与点C关于x﹣y﹣5＝0对称，设B（a，b），则BC中点为（），代入得，所以B（1，﹣2），|BC|＝，A点到BC的距离为d＝＝，所以S△ABC＝．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．（1）设＝，＝，＝，用向量，，表示，并求出BC1的长度；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】见试题解答内容【分析】（1），2＝（）2，即可．（2）先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可．【解答】解：（1）∴，∴＝．（2），＝＝，＝，cos＝．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．20．（12分）已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0）、A（﹣2，4）、B（1，1）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l的斜率为，在y轴上的截距为﹣1，且与圆C相交于P、Q两点，求△OPQ的面积．【考点】直线与圆相交的性质；圆的标准方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设圆的一般式方程，把点的坐标代入圆的方程，求解方程组可得D，E，F的值，则圆的方程可求；（2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离及弦长，则△OPQ的面积可求．【解答】解：（1）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得D＝2，E＝﹣4，F＝0．∴圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y＝0；（2）圆x2+y2+2x﹣