微积分复习资料

第一章

1.1区间与邻域

1.1.1区间

开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还

分为有限区间(a,b)[afb],无限区间(-8,b)(a,+8)(a,b成为

区间的端点)。

全体实数的集合R也可表示为无限区间(-8,+8)

L1.2邻域

定义，设5为某个正数，称开区间(工。-为点工。的6的邻域,

简称为点工。的邻域，记作U(右,a)即

={xoko-a<x0<x0+(j}=[x\\x-x0\}

1.2函数的概念

1.2.1函数的定义

设48是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合

A中的任意一个数x,在集合8中都有唯一确定的数y和它对应，那么

就称f:/tB为从集合A到集合8的一个函数，记作y=/(%),%GA

或/(/)={y//(%)=y,y€B}其中％叫做自变量，y叫做x的函数,

集合A叫做函数的定义域，与％对应的y口」做函数值，函数值的集合

{/(%)/%£4}叫做函数的值域。

1.2.2函数的表示法

函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。

1.2.3函数关系的建立

为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关

系，并根据实际背景确定函数的定义域。

1.3函数的基本性质

1.3.1函数的单调性

设函数y=/Q)在区间/上有定义，％及欠2为区间I上任意两点，且

%iV%2。如果恒有f(%l)<f(%2)，则称/CO在/上是单调增加的；

如果恒有/(%1)>八%2)，则称/(%)在/上是单调减少的。单调增加和

单调减少的函数统称为单调函数。

1.3.2函数的奇偶性

设函数y=f(%)的定义域〃关于原点对称。如果在〃上有/(%)=

/(-%),则称/(%)为偶函数；如果在〃上有/(%)=-/(-%),则称/(%)

为奇函数。

L3.3函数的周期性

设函数y=/(X)的定义域为。如果存在一个非零数使得对于任

一％ED有(x±/)€。，且/(%±/)=/(x),则/(%)称为周期函数，1

称为/(X)的周期，如果在函数/(%)的所有正周期中存在一个最小的正

数，则我们称这个E数为“X)的最小正周期。我们通常说的周期就是

指最小正周期。

1.3.4函数的有界性

定义，若存在常数M>0,使得对任意工€/,有|/(x)|EM,则称函

数/(%)在区间/上有界。

若对任意常数M>0,总存在％G/,有|/(X)|<M,则称函数/(%)在区

间/上无界。

还有上有界和下有界，只有上有界或只有下有界都是无界

例1：设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，考察下列复合函数奇偶性:

ABg[f(x)]C/[/(%)]

分析：判断函数的奇偶性，只需从定义出发，考察/(-%)与/(%)的关

系

例2：函数y=—、是界函数

rc-arccotx

1.4反函数与反三角函数

1.4.1反函数

反函数的定义：若函数7.•DT/(D)为单射。若存在逆映射

广则称此对应法则广1为/的反函数。

习惯上，y=/(%),%£。的反函数记作丫=/-1(%),%6/(0)。简单

来说，对于y=/0),解出x=f(y),再交换%,y,得到反函数。

x

例如，v—e，解=Iny,再交换工、y,得y=Inxo

反函数的性质：

1、函数y=/(x)单调递增(减)，其反函数y=广1(%)存在，且也单

调递增(减)。

2、函数y=/(%)与其反函数y=fT(%)的图像关于直线y=%对称。

例3：求丫=恋的反函数

1.4.2反三角函数

反正弦函数：正弦函数y=s讥x的反函数，由于y=s出x在其定义域

(-8,+8)内不具单调性，因此正弦函数y=sinx,xE(一8，+oo)

不存在反函数。若将定义域限制为,手，易见y=s讥》在该定

义域上单调递增，故存在反函数，反函数定义域为[-L1J.,值域为

—十，*将函数y=sm%在[―?,外上的反函数称为反正弦函

数，记作％=arcsiny,按习惯写为y=arcsinxo

即y=s出5的反函数为反正弦函数丫=arcs出工,xe

[T1]

以此类推

反余弦函数：定义函数y=cosx,e[0,句的反函数为反余弦函数y=

arccosx,xG[—1,1]

反正切函数：y=tanx,xe的反函数为反正切函数丫=

arctanx,x6(—8,+oo)

反余切函数：y=cotx,x6(0,TT)的反函数为反余切函数丫=

arccot%,%e(-oo,+oo)

例4：若sinx=-^,xe(兀,分,则x=

1.5复合函数与初等函数

1.5.1复合函数

复合函数的定义：设函数y=/(〃),〃eDp函数〃=gM,xG%,

值域先c%则

Y=f[gM]或y=(fog)(x),AGDg

称为由y=fQ),〃=gO)复合而成的复合函数。其中a为中间变量。

注函数g和函数/构成的复合函数Fog的条件是RgDf,否则不能构

成复合函数。

就是g(x)的值域含于f(x)的定义域。

2

例，函数y=arcsina,U6(-1;1),u=x4-2,xcR在形式上构成复

合函数。

y=arcsin(x2+2)但由于/+2的值域为[2,4-oo]2[-1,1],y=

arcsin^x2+2)没有意义。

需要掌握的是复合函数的分解，经常会用到

例5,对、=谈M工分解

例6已知/(3x-2)=4%2—5,求/(%+1)

1.5.2基本初等函数与初等函数

常值函数y=C(C为常数)；

基函数y=%Q(QER是常数)；

指数函数y=ax(a>0且QH1)；

对数函数y=logax(a>0且QW1)；

三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y—cotx,y—

secx,y=escx；

反三角函数y=arcsinx,y=arcosx,y=arctanx,y=

arccotx；

以上六种统称为基本初等函数。

初等函数的定义

由基木初等函数经过有限次的四则运算和有限次的符合步骤所构成

的并用一个式子表示的函数，称为初等函数。

需要特别指出的是，一般我们见的函数都是初等函数，但是分段函数

不是初等函数，因为分段函数用几个解析式来表示，但是有些分段函

数经过形式的转化可以用一个式子表示，就是初等函数。

例题答案

例1解:A(一切=/一(%)],所以是偶函数

B：g[/(r)]=g[-f(x)]=g[/(X)]，所以是偶函数

C："(r)]=/[—/(%)]=-/W)],所以是奇函数

例2解：由十°<arccotx<兀，0Vzr-arccotx<兀，故>=工石

是无界函数

例3解：由原式反解出％关于y的表达式，得、=篝，交换x,y的位

置得反函数为、=箸

2-3%

例4解：因为一卫Varcsin工VH所以％=兀+arcs出工

2424

例5解：y=asinx由y=a",u=sin%复合而成

例6解:令3%—2=u,%(u+2)则/(〃)=£(a+2)2—5,/(%+

1)=久X+3)2—5

第二章

数列的极限

一、主要知识点

1.数列极限的概念：

设｛Xn｝为实数数列，a为定数.若对任给的正数£，总存在正整

数N,使得当n>N时有|Xn-a|<£则称数列｛Xn｝收敛于a,定数a

称为数列｛Xn｝的极限。

记作limX”=〃或XnTT°°)

〃T3C

另外：如果数列极限不存在，则称数列是发散的。

2.收敛数列的性质：

①数列极限具有唯一性，|XgM；如果数列是无界的，M是不存在的。

②收敛数列具有有界性，|X,卜加

③收敛数列具有保号性。limX“=〃若a〉o,当n>正整数N时'%n>0

〃一>30

④如果数列｛xj收敛于a，则其任一子数列也收敛，极限为a.

二、例题略

三、习题略

极限的概念

1、极限概念

当函数的x逐渐趋近某个定值时，该函数的值也会逐渐趋近某个值,

这个值就是函数的〃极限〃.

2、当x玲8时函数的极限

定义中的Xf8指|x|f8.

如果从某一时刻起，X总取正值而且无限增大，则记为Xf+oo.

如果从某一时刻起，X总取负值而且|x|无限增大，贝IJ记为X>8.

下面的规律在计算中可以利用：

—劭n=m

nw-1b0

a^x+qx+…+〃”

hm------!------------=\0n<m

…力。/"+。产+•••+〃〃

oon>m

只要能记住这类题目分子分母同除以X的最高次幕，然后分别求分子

分母各项的极限即可.

3、当x玲xO时函数的极限

理解定义，要注意：根据极限定义，lim/⑴存在，函数可以在点xO

没有定义.

4、定理

极限无穷大的充分必要条件是止无穷和负尢穷都存在且相等

一个常数的极限等于这个常数本身

5、函数极限性质

唯一性、局部有界性、局部保号性

二、极限的运算法则

在某一变化过程中，两个变量的和、差、积、商(分母不为0)、塞

的极限等于两个变量极限的和、差、积、商、幕.

这些运莫法则可以推广到有限多个函数的代数和及乘积的情况，但无

限个函数的代数和及乘积就不能用这些法则来计算.

三、两个重要极限

第一个是

「sinx,

lim----=1

10X

记住：分子分母都是无穷小量，而且分母和sin后的东西完全相同才行.

sin0(x)1

lim=I

0o(x)

第二个是

lim(l+—)x=e

X—>00X

它的变形是

lim(1+x)x=e

x->0

记住：括号里是1+无穷小量，指数是括号里的无穷小的倒数.

对重要极限要熟悉变量的关系和在表达式中的位置.

能用第一个重要极限公式求解的极限也可以用罗比达法则求解.

四、函数的连续性

1、连续的概念

在一个单位里，如果有人离开，那么总要提前找接替的人，进行工作

交接，以使工作继续按现状运转，不至于中断.

〃不中断〃，就是连续性的意义所在了.

2、函数在一点连续

如果有lim/&)=/(%),则f(x)在点X0处连续，还可以这么说:若f(x)

在点xO处连续,则limf(x)=lim/(x)=f(xQ)

XT%，I/-

函数在一点连续的定义要求同时满足以下三个条件：

(1)f(x)在点xO极其邻域内有定义;

(2)函数的极限limf(x)存在；

XT%

(3)这个极限值与这点的函数值相等,BPlim/(x)=/(x0).

XT.0

3、函数在区间上连续

如果函数f(x)在某区间上每一点都连续，则称f(x)在此区间上连续，

并称此区间为f(x)的连续区间.

3、函数的间断点

/(X)在X=4是连续的，条件有三：

(1)F3)是有定义的;

(2)lim/(x)存在;

x-^a

(3)lim/(x)=/(〃).

XT。

下面看看这三个条件具体有啥意思：

•条件1的意思是，我们所考虑的这个点x=〃包含在函数的定义域

内，如果是函数/*)=—匚，我们就不能问它在是否连续，因

x-\

为它在x=I根本没有意义；

•条件2的意思是说，当x从a的左右两边向a趋近时，该函数的

值会向某个值趋近；

•条件3说的是，“幻所趋近的那个值，就是它在a那一点的函数

值.

函数于(X)在点X=〃处不连续，则称点X=〃为/(X)的间断点.

4、连续函数的运算法则

连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数.

基本初等函数在其定义域内都是连续函数，一般初等函数在其定义域

区间内都是连续的.

5、闭区间上连续函数的性质

了解零点存在定理.

五、无穷大量和无穷小量

1＞无穷大量和无穷小量的概念

无穷小量即极限为0的变量.

无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势为

零.

无穷大量和无穷小量是相对某一极限过程而言.

一个变量是否为尢穷小量但是与自变量的变化趋势紧密相关的，在小

同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势.

很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不一定是无穷小量.

无穷小量不是一个数，但数"0〃是无穷小量中唯一的一个数，即数〃0〃

是无穷小量.

无穷大(用一个睡觉的8表示：OO.)不是一个数，是一个记号，不能

写成X=8或f(x)=°°.

2、无穷小量的运算性质

(1)有限个无穷小量之和仍为无穷小量

(2)有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.

如痴皿=1并不能用重要极限来解，因为x的变化趋势不是x玲0而

X*X

是xfg,注意因此当x玲8时1/x是无穷小量，而正弦函数

是一个有界变量，利用这个性质来解是最方便的，他们乘积的极限直

接得出等于0.

例：limsin2x/x=0(x->°°)[fl]Iimsin2x/x=2(x玲0)为什么不一样？

第一个用的是无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积仍然为无穷

小量；第二个用的是重要极限公式.

X趋向不同，结果当然不同了.

注意：在用公式求极限时，要注意它的形式必须和公式完全相同，模

拟1一、8不能用重要极限公式，因为它的自变量的趋向和公式不同.

(3)有限个无穷小量之积仍为无穷小量.

这些性质不能推广到无穷大量之中.

3、无穷小量阶的比较.

两个无穷小量阶的比较是求它们比的极限，即比较两个无穷小量趋于

0的速度.

注意求两个无穷小量的比的极限时，通常把较简单的函数作为分母,

这样计算要简单些.

两个等价无穷小量可以互相代换，具有下列性质：

如果当xfxO(x-8)时，a,当夕均为无穷小量,又a

且lim巴存在，则lim—=lim—

IXDR'XT.%RNT%R'

(.v>oo)'{x>oo)*(.r>8)•

这个性质常用在极限运算中，可以简化运算，熟悉的同学可以将此性

质用在极限的乘积运算中，但要说明理由.

常用的等价无穷小量代换有：当xfO时，

sinx~九；tanx~x\arctanx-x\arcsinx~x\

x2

ln(l+x)~x;ex-1-x;I-cosx——

如果对此方法把握不大，还是运用常用的方法如罗比达法则来求解.

六、求极限的方法

1、直接代入求函数值，如果结果是一个常数，而且该函数不是分段

函数，那么，f(a)就是我们所要求的极限；

2、利用极限的四见运算求极限；

3、利用无穷小量的性质求极限；

4、利用等价无穷小求极限；

5、利用两个重要极限求极限；

6、利用罗比达法则求极限;

7、利用通分化简或根式有理化求极限；

8、消去分子分母中极限为0的因子求极限（消去零因子法）；

9、分别提取分子分母中最高阶的无穷因子求极限；

也有几种方法合并起来用的.

极限的存在准则两个重要极限

一、主要知识点：

1.了解夹逼准则、单调有界准则证明函数、数列的极限存在。

①夹逼准则：

如果数列｛Xn｝"Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：当n>NO时\其中M）£

N*,有YnWXnWZn,且｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a。则，数列｛Xn｝

的极限存在，且当limXn=ao

②单调有界准则：

如果数列不仅有界，而且单调，则该数列必收敛。

2.各重要极限:

sinx_

普厂一二1第一个重要极限定理数以未定式。有此

人（）

lim------二Ilimxsin—=1

我们可以得到以下几条:3°sinxx—>8X等。

lim(1+-)A=e同理，可得吧（1+x）"=e

X—>00Y

二、例题

arcsinx

1.求吧

x

令"—>

妊^=11m=L=i

解：xX-。sin”〃一>0sin”

u

2.1求

lim(sinx+cosx)v

10

Isir2M

lim(sinx+cosx)v=lim(sinx+cosx)2p=lim(l+sin2xfc=lim(l+sin2x)^

L

.v->0.r->0」XT。'A->0

三、习题:

1.求lim(f—)l

i一厂_i

o一P「1+tan^—3

2.求hmZ(-----)xs,n

z01+sinx

3.求〃一lim(2+〃)[ln(2+〃)-ln

4.已知吧丁“+J求常数a,b的值。

附思路答案：

1.运用分离常数法，将式子凑成「的形式。答案为e

tan.r-sinx

l+sinx3

l+sixn-*x0sinx

[..1+tanx.-j-].(.tanx-sinxtanA-sinx

2lim(-------------)s,nx=lim1+---------------

••io1+sinx—0kl+sinx

求指数极限，最后得到答案为:

2

/j、2+”24?1

3.原式二limln1+—=Inlim(l+—)2*lim(l+—)2=lne2=2

”->8InJX->00〃.V->00〃

4.ab-cosx"o,x=l带入，得a,b之间的关系式，得ab=l,再将式子中

的a让b替换，求整个式子的极限。得a=-2,b=L

2

无穷小的比较

一、主要知识点:

1.无穷小的比较:

如果lim=0,则称尸(X)是比a(x)高阶的无穷小，记作/7(x)=O(a(x))

如果lim4^=8,/(x混比a(x)低阶的无穷小:

如果.芥)―0则称必)是比a(x同阶的无穷小：

小)特别地，如果'=1,贝臆W(x灼a(x混等价无穷小。

如果lim「少乙=cw0,贝加⑴是a(x)(l勺&阶无穷小;

2.无穷小公式即X-0：

sinx~x;tanx-x;arctanx-x;arcsinx〜x;

厂

ln(l+x)-x;ex-1-x;1-cosx-----«v-l-x\na

2

(1+幻"-1~ax(a/0)Vl+x-1一(〃工0)

n

3、等价无穷小替换定理：

P「P

rlim—=lim—

aa,

运用该定理时，确保在自变量过程中，无穷小量对于代数和中各无穷

小不能分别替换。

即等价无穷小替换只适用于乘、除,对于加、减等其他情形不能替换！

二、例题

1十，.tan5x-cos^+1

].求lim--------------------

X-*0sin3x

Eitan5x1.1-cosx5

原式=vlim-------+hm----------=-

x~^0tan3xa。sin3x3

注意：用拆分方法求榔艮的前提是拆分后的棚艮必须存在。

_p.ex-cos2x

o2.求hm-------------

.iox*arctanx

rex~-cos2x..-1)+(1-cos2x)

lim--------------=lim------------------------

解:x-»0x*arctanx-。x*arctanx

2

rex-1..l-cos2x_

=lun--------------+lun--------------=3

.sox*arctanxfx*arctanx

三、习题：

1、当xf0时，下列变量中与sinx相比为高阶无穷小量的是()o

(A)X(B)1—COSX(C)Vx(D)x+x2

2-sHix+x2cos—1

2.求lim------------------工

XT。(l+cosx)ln(14-x)

提示：再求此题时，注意将不等于零的极限分离出来，并用等价无穷

小替代。

3.单项选择题：

数列｛乙｝和机｝满足=0,则下列断言正确的是0

“TOO

A.若｛x“｝发散，则y〃｝必发散

民若kJ无界，则｛yj必无界

C若氏｝有界，则y〃泌为无穷小

。.若卜〃｝为无穷小，则yj必为无穷小

答案：

1.B

2.

c・01

2smx+厂cos—

lim-----------------

go(l+cosx)ln(l+x)

a•°1

3smx+x~cos-

=lim--------*limx

1+COSXln(l4-x)

13

="(3+0)=-

3.D

第三章

一、基本求导法则与导效公式

1.基本初等函数求导公式

©'=0⑵(工〃)'=少"7

⑴

(sinx)z=cosx⑷(cosx)/=-sinx

⑶

(tan.r)1=sec2x(6)(col*)'=-esc2工

⑸

r

⑺(sec.r)*=secxlanx(8)(csc.r)=-cscxcot.t

(a')'=〃'Ina(10)(e"=e'

(9)

nv1

(logaX)=——(ln.r)F=—

(IDXin47(12)x,

(arcsinx),=,*(U),\

(arccosx)=--.

Jl-i2

(13)Vl-x

(16)i

(arctanA)F=-二(arccotx)'---------

1+工1+x

2、函数的和、差、积、商的求导法则

设〃=〃"),u=W.\)都可导，则

(1)(u±v)，=u，±v，(2)(C〃)'=C〃'(C是常数)

⑶("1，"〃、+"⑷⑶’"二叱

3、反函数求导法则

若函数"=0(〉’)在某区间'，内可导、单调且9'(田0°,则它的反函数

y=/a)在对应区间,内也可导，且

,Idv1

f(x)=-r--T=K

°(y)威dx生

4、复合函数求导法则

设.V=/(〃)，而"二夕(”且/(〃)及93都可导，则曳合函数

)'=〃以幻]的导致为

dy_dydu

dxdudx或)''=/'(〃)夕(x)

二、高阶导致的运算法则

H())

(1)[W(X)±V(X)]=W(A-)"±V(X/"(2)值⑺卜“心⑺

(3)[//(ax+=d'uy，'}(ax+b)(4)"

*-0

三、基本初等函数的n阶导敬公式

⑴(丁『)=〃！(2)卜8"广)=小内(3)(优『'=a"In"a

(4)[sin(ar+/>)]'"'=a'sinax^-b^n—

(5)[cos(ax+/>)]1°=a"cosar+b+〃g)

Aav+bJI>(av+叶

⑺uor=(T广了等

(ax+b)

四、微分公式与微分运算法则

(1)d(c)=0(2)d(大")=uxp-ldx

⑶d(sinx)-cosxdx⑷d(cosx)--sinxdx

⑸J(tan.r)=sec;xdx⑹J(cotx)=-esc2xdx

(7)J(secx)=secx-tanxdx⑻tZ(cscx)=-escxcotxdx

⑼dS)=e\ix⑩d(a')=a'Inadx

01)J(InA-)=-Jx(1»t/(log/)=—!—dx

x''AIna

⑬d(arcsinx)=dx(^);/(arccosx)=-

(lj)J(arclanA)=0®J(arccotx)=-

五、微分运算法则

(1)J(w±v)=du±m⑵d(at)=cdu

vdu—udv

⑶d(wv)=vdu+udv(4)d—\=

六、基本积分公式

£1♦1».

(1)JkA=ALV+c(2)jx'dx=—―-+e⑶J—=In|.v|+t-

⑷Jad=+c(5)p'J.v=，+c(6)|cosxdx=sinx+c

⑺jsinxdx=-cosx+c⑻J-jsec2xdx=tanx+c*

1」

(9)r=-cotx+c⑩------dx=arctanx+c

1+A-r

01)[-J-dx-arcsinx+c

七、补充积分公式

Jianiz/r=-In|cosij+(,Jcotuh=In|sinr|+r-

jsecxdx=In|secx+tanx|+cjcscxdx=In|cscx-colx\+e

^=-arclan-+c

..x

dx=arcsin一十c

a

八、下列常用凑微分公式

积分型换元公式

J/(at+bylx=—j/(av+b\l(av+/>)u=ax+b

J/（产卜"支u=x"

【例I】求lim---o

-x

sinx.・cosx-

解：hm-------=lim---------=limcos.v=

x>>0x.t->0].t-*0

I+COSX

【例2】求lim

2

AT/rtanx

I+COSX-sinx

解:hm------；——=lim---------------------=lim(-

tanxI*c2

2tanx----；—

COS'X

【例3】求1im^^

…sinx

解：lim--------=lin———=l。

sinxiocosx

【例4】求lim@3(n>0),

—xn

\_

解：lim=lim-=lim-!―=0•

-xnnxH~工…*nx11

r

【例5】求lim-，（n为正整数.A>0）.

•Cfxop心

lim与=lim<”吗学二m

解:lim=0o

I—>XC元'a

第四章微分中值定理与导数的应用

知识点整理

1.极值点设函数y=/(x)在区间(a,b)上有定义，对一点X。£(a,b),如果存

在%0的去心邻成Uj吏对任一x6U,有/'(%)<fOo)或f0)>/(Xo)，则称/(配)

函数/(x)的一个极大值或极小值，统称为极值，取得极值的点X。相应称为极

大值点或极小值点，统称为极值点。

2.费尔马定理如果函数/(>)在点/可导，且取得极值，则1(%)=0

3.罗尔定理若函数/(%)在闭区间［a,b］上连续，而在开区间(a,b)内可导，且

在区间端点取得等值(即/(a)=/(b)),则区间(a,b)内至少存在一点自，使

得f(€)=0

4.拉格朗日中值定理若函数/(x)在闭区间［a,b］上连续，而在开区间(a,b)内

可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点使得

小)=*

推论1设函数/(%)在开区间(a,b)内可导，且尸(幻=0,则在(a,b)上/(%)为常值

函数

推论2如果/(%)与g(x)在3,匕)内每一点的导数相等，即f'(x)=g'(x),

那么这两个函数在区间(a,b)内最多相差一个常数

5.柯西中值定理若/(x)与g(x)在闭区间［a,b］上连续，而在开区间(a,b)内可导,

g，(%)在(a,b)内均不为零，则在开区间(a,b)内至少有一点8,使得等式

/(b)-/(a)_/，(；)

gS)-g(a))

成立

6.洛必达法则

⑴洛必达法则I:型如果函数/(x)和g(x)满足一下三个条件:

①函数/(x)和g(x)在x=a点连续且函数/(x)=g(x)=a=0;

②在点a的某一去心邻域内r(x),g'Q)存在，且g'O)去0；

③极限lim室存在或为8：

x->xog，(x)

则极限期缁=期器(书本P124)

注意：若把洛必达法则I中的第一个条件改为lim/(%)=limg(x)=0,结论同

x—ax-*a

样成立。将a换成nt8,x->4-oo,x->-oo,x->a-/xta+中的任何一

个，结论也成立

洛必达法则I的意义在于,当定理条件满足时，将求型的不定式编的极限

转化为籍的极限,如果篇仍是型且满足条件,则可以继续应用洛必达法

则，得

fW_..f'(X)/。)

rhm=hm,=hm〃

xrag(x)x-ag(%)x-ag(%)

2.洛必达法则H5型如果函数f(x)和g(x)满足一下三个条件:

(1)1叫f(x)=8,lirn^g(x)=co；

(2)在点Q的某一去心邻域内((%),£(%)存在，且/(%)=0；

⑶极限、吸。盘存在或为8

则极限Um=lim(书本P126)

x-^xog(x)x-^xog，(x)

注意：同样的，将X—a换成XT8,%->4-00,%->-oo,XTalx->a+中

的任何一个，结论也成立

3.出现其他的未定式如：0-8,8±8,0。,18,8。，将其转化为号型或方型的形式，进

0oo

而用洛必达法则求解，具体方法如下：对于88,8±8型的未定式，可通过恒

定变换化为:型或方型的未定式，而对于0°,18,8。的未定式，则可通过取对数的

0oo

方式，转化为88未定型，再转化为蓝或台(书本P128)

4.函数单调性的充分条件：设函数/(x)在区间(Q/)内可导，且导函数/'(X)不变

号，若

⑴若((%)>0,则/(%)在区间(a,b)内单调递增；

⑵若/(x)>0,则/(%)在区间(a,b)内单调递减。(书本P133)

5.函数f(x)单调区间可能的分界点是驻点和不可导点。因此求函数f(x)的单调区

间的步骤如下：

⑴确定/G)的定义域；

(2)求出/(x)单调区间所有可能的分界点，即/(x)的驻点和不可导点，并根

据分界点把定义域分成相应的小区间；

(3)判断一阶导数在各个小区间内的符号，从而判断在各个小区间内函数

的单调性(通常列表)

6.可导函数的极值点必是函数的驻点，函数的驻点不一定是极值点，导数不存在

的点也有可能是极值点。对某区间上连续的函数f(x),若〜是它的极值点，则必

有/(勺)=0或/'(%)不存在。反之若见是函数的驻点或不可导点，则见不一定是

函数的极值点。

7、判断函数取得极值的方法：(书本P136)

(1)函数取得极值的第一充分条件(一阶导数变号法)

已知f(%)在出的邻域Ix-|<3内连续，在空心邻域0<|%-I<b内可

导，则有如下结论：

①当％o—8<x<&时,f'(%)>Q,x0<x<x0+6时，/'(%)<0,则f(%)

在点々达到极大值；

②当%o—6<x<a时，尸(%)<0,x0<x<x0+6时,/'(%)>0,则f(%)

在点看达到极小庙；

③当》在与两侧时，/'(X)均大于零或/'(X)均小于零，则点%o不是极值点

⑵函数取得极限的第二充分条件(二阶导数判断)

设/(%)在Ix-%IV6内可导,f(x0)=0,/(工。)存在,则有:

①当尸时，/(%)为极小值；

②当尸(々))<0时，"%。)为极大值；

③当尸(出)=0时，不能判别/(死)是否为极值

注意:该条件只能对驻点使用，当尸(%)=0时失效

9.求连续函数f(x)在闭区间［a,b］的最大值和最小值：(书本P138)

⑴求出/(%)在区间(Q,b)内所有的驻点和不可导点；

⑵求出驻点和不可导点以及区间端点a,b的函数值；

⑶对上述函数值进行比较，其最大者即为最大值，其最小者即为最小值

10.成本函数:C(x)=Cl+C2((x)

收益函数：R(Q)=QP=QgM

利润函数：L(Q)=R(Q)-C(Q)

二.例题讲解及分析

微分中值定理

［例一］罗尔定理

验证函数/(%)=%斤三在区间［0,3］上满足罗尔定理的三个条件，并求出

/($)=0的&点。

解/(%)=%"不是定义在(一8,3］上的初等函数，所以它在［0,3］上是连

3(2-0二3一(2T)

续的，求导得fM=V3--x-^=

2y[3^x2yf3^x

故f0)在(0,3)内可导,

且/(0)=/⑶二o,

所以f(%)在［0,3］上满足罗尔定理的所有条件，于是至少存在一点€e(0;3),

使得=%=0

解得&二2£(0,3)

［例二］拉格朗口中值定理

(3T2

20<%<1

验证/(%)=在闭区间［0,2］

1<X<4-00

上满足拉格朗日中值定理，并求出满足定理的f

解函数在［0,1)和(1,2］连续且可导；对于x=l有

7—Y

因=1,lim—=1,则得HRf(x)=1=/(I)

㈣3x-1-2XT1+

即函数f(x)在x=l点连续

/(x)-/(l)

又因/；(1)=limlim^―limi*=-1

x-»l+x-1XT1+x-1x->i+(x-i)x

3-X

1-x2

九’⑴晨师曾=lim」=lim、=-1

x-»l-X-1x—r2(zx-i)

故函数/(%)在点x=l可导，且1(1)=-1

因而函数/(x)在闭区间［0,2］上满足拉格朗日中值定理,

又"0)=1,/(2)，由定理得

/(2)-/(0)=f(0(2-0),

则有r(o

当kxvl时，f(x)=-x=-1，取?=也

当IVxV2时，尸(X)=一击二一：，取《二企

洛必达法则与不定型的极限问题

［例三］含

..x-sinx

求—

2

XTOxsinx

sinx

解原式晨如嘉』=

^2sinX^XcoSX-X^nX

cosx

=lim

x->06cosx-6xsinx-x2cosx6

如果本题一开始把原式变形,可使运算简便得多,

..x-sinxx-sinxx-sinx

—=hir.———=lxlim

XTOx2sinxXT(Ix3sinxx-*0x3

..1—cosx..sinx1

=hm------—=lim-----=-

x-03X2x->06x6

［例四芦型

00

求lim空山

XTO+lntan3x

7tan3x-sec27x7tan3xsecd7x7..3x

解原式=limlimhm-z—-lim—

2+2

x-»o+3tanlxsec3x3x->o+tan7xx-»o5ec3x3XTO+7X

［例五］S8型

求limsin2xlnx

x-»0+

原式:2机黑"2仇X鸣*X2仇

解X

=lim空=lim*=lim—x2=0

x-»0+X-2x-o+-2X-3x-*o+-2

［例六］8-8型

求lim(^—cot2x)

siMxr2cos2”sinx-xcosxsinx+xcosx

解原式=lim=lim

x-»0x2sin2xx->0(x2sinxsinx)

sinx-xcosxcosx+xsinx-cosx

=21im=21im

2

x->oXT。3x

2..sinx2

=-lim——

3x->0x3

［例七］0°型

求limBW-i)

x->o+

解设丫二%证F,两端取对数得Iny=厂。足工

=1

狐iny=x烤黄1嗯立飞嗯黑

则limxin(eJ)=&

x->0+

［例八］8。型

1

求limxx

XT+8

解设丫=装，两端取对数得lny=ilnx,

limIny=lim—=lim-=0,

XT+8XT+8XXT+8X

则limxx=e0=1

XT+8

［例九］产型

求lim(-arctanxY

XT+8Tt

解设y=(^arctanxy,两端取对数得Iny=xlngarctanx),

limIny=lim吒丁)=lim通军左

XT+8Xl+8-XXT+8-一Xo2

2

lim,、

XT+8(zx^+l)arctanxn

2£

则lim("arctanxY=e"^

XT+8n

函数的单调性

［例十］

设a>0且函数/(x)=ax3+bx2+ex+d是单调增加的，试确定a,b,c应

满足的条件

解求导/'(%)=3ax2+2bx+c>0,

因有a>0,所以有(2b)2-4•3a・c40,即

当a>0且川一3acW0时，函数/(%)单调增加

［例H^一］

证明：当工之。时，ln(1-4-x)>

证设F(x)=ln(l+x)-G［0,4-oo)，则

“Ef幻\=1丁/1铲=罚X>0,x>0,

所以，F(x)在［0,+8)上单调增加因此,当xNO时，F(x)>F(0)=0,即

x

ln(l+%)N=

•L人

［例十二］

解设/'(%)=3-}=0，得驻点X=e，有f(c)=Q>0，且/'(%)在(0,+8)

上连续

在(0,e)内，f'(x)>0，/(%)单调增加,且lim/(%)=-co，必有bG(0,e),

XT+0

使/'(b)VO，由零点定理及单调性，f(x)在(0,e)有唯一零点

在(e,+8)内,f'(%)<0,/(%)单调减小，且lim/(%)=-oo，必有

XT+8

cG(e,+8),使/(c)<0，由零点定理及单调性，f(x)在(e,4-co)有唯一零

点

综上所述，/(%)在(0,e)和(e,+8)各恰有一个零点

函数的极值

［例十三］

求函数f(%)=X3(l-%)3的极值

解函数的定义域是(一8,4-00),

求可能取得极值的点(驻点和不可导点)

r(%)=i%4-(