2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第六节 对数函数

第三章函数与基本初等函数第六节

对数函数课标解读考向预测1.了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点.2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中档．预计2026年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质，题型为选择题或填空题，难度中档.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础a>10<a<1图象1．对数函数及其性质(1)概念：函数_____________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是___________．(2)对数函数的图象与性质y＝logax(a＞0，且a≠1)(0，＋∞)定义域____________值域____性质当x＝1时，y＝0，即图象过定点________当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是______在(0，＋∞)上是_______(0，＋∞)R(1，0)增函数减函数2.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______对称．它们的定义域和值域正好互换．y＝logaxy＝x×√√√解析：设f(x)＝logax，因为函数f(x)的图象过点(4，2)，所以f(4)＝loga4＝2，则a＝2，f(x)＝log2x，它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x.故选A.(4，－1)考点探究—提素养对数函数的图象及其应用(2)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，则(

)A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3解析：画出函数y＝e－x，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的图象，如图所示，数形结合，知x2<x1<x3.(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(

)解析：因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意．又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1)，由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2对称，排除C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2<0，可知A错误．故选B.4对数函数的性质及其应用(多考向探究)解析：a＝2log20.4＝0.4，b＝log0.42<log0.41＝0，0＝log0.31<log0.30.4<log0.30.3＝1，则c>1，故c>a>b.故选C.对数值比较大小的四种常见类型(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．3.(多选)已知a＝log827，b＝log916，c＝log48，则(

)A．a<b B．a>c

C．b<c D．b<a考向2解简单的对数不等式(1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)<0的解集是(

)A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞)解析：依题意，f(x)<0等价于log2x<x－1，在同一直角坐标系中作出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图所示，可得log2x<x－1的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．故选D.(2)(2025·陕西名校联盟质检)不等式log2x＋log4x<3的解集为________．(0，4)(3)不等式loga(2x＋3)>loga(5x－6)(a>1)的解集为________．与对数函数有关的不等式的求解策略

解决对数函数综合问题的策略(1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求，这是解决对数问题的出发点．(2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形，这是研究性质的重要途径．(3)注意等价转化思想方法的合理运用，这是解决对数综合问题的关键．5.已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)解析：由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.故选D.6．已知f(x)＝1＋log3x(x∈[1，9])，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝_____．5课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考向对数函数的定义域及应用对数函数的图象及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用考点求与对数函数相关的函数的定义域与对数函数有关的复合函数的奇偶性问题与对数函数有关的复合函数的单调性问题比较大小问题与对数函数有关的复合函数的单调性问题与对数函数有关的复合函数问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★考向对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用考点利用对数函数的图象求参数的取值范围对数型函数图象的识别与对数函数有关的复合函数问题与对数函数有关的复合函数问题由函数的性质写解析式与对数函数有关的复合函数的单调性问题与对数函数有关的复合函数的值域问题题号151617181920难度★★★★★★★★★★★★★考向对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用考点解对数方程与不等式与对数函数有关的复合函数问题比较大小问题由对数函数的单调性求参数的取值范围与对数函数有关的复合函数问题与对数函数有关的复合函数问题4．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(

)A．[1，2) B．[1，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)5．已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，则下列结论正确的是(

)A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．b<c<a解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，解得1＜a≤2.二、多项选择题9．在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(

)解析：当a>1时，y＝ax在R上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(3，0)，则D符合要求．故选BD.三、填空题12．(2025·江苏名校模拟)写出一个同时满足下列性质①②的函数为f(x)＝______________________．①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在定义域上单调递增．解析：loga(MN)＝logaM＋logaN，且f(x)＝logax(a>1)单调递增．故答案为log2x(满足logax(a>1)均可)．log2x(满足logax(a>1)均可)13．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．解析：因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以y＝f(x)＝log5x在定义域(0，＋∞)上为增函数，由x2－2x>0，得x>2或x<0，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．(－∞，0)14．已知f(x)＝ln(x2＋2x＋m)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)的值域为R，所以x2＋2x＋m≤0