广东省普通高校专升本考试专用教材高等数学

第一章

函数与极限第一节

映射与函数知识导图精讲精析一、映射1.映射的概念定义1在两个非空集合A，B之间存在一个法则f，使得对A中每个元素x在B中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从A到B的映射，记作f：A→B.其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(

x)，即y=f(

x)，而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像；集合A称为映射f的定义域，记作Df，即Df=A；A中所有元素的像所组成的集合称为映射

f的值域，记作Rf或f（A）,即Rf=f(A)={f(x)|x∈A}.若Rf=B，即B中任一元素y都是A中某元素的像，则称

f为A到B上的满射；若对A中任意两个不同元素x1≠x2，它们的像f(x1)≠f(x2)，则称

f

为A到B上的单射；若映射

f

既是单射，又是满射，则称

f

为一一映射（或双射）.精讲精析一、映射

精讲精析精讲精析一、映射2.逆映射定义2

设

f

是A到B的单射，则由定义，对每个y∈Rf，有唯一的x∈A，使得

f(x)=y.于是，我们可定义一个从Rf到A的新映射g，即g：Rf→A.对每个y∈Rf，规定g(y)=x，这里的x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射，记作f－1，其定义域

，值域

.只有单射才存在逆映射.精讲精析一、映射

精讲精析

精讲精析二、函数的概念1.函数的定义由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定函数的两个必不可少的要素.也就是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个函数就是相同的函数.精讲精析二、函数的概念

精讲精析精讲精析精讲精析2.分段函数定义5在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，称为分段函数.例如，分段函数它的定义域为R，当x∈(－∞,0)时，对应的函数值f(x)=－x；当x∈［0,+∞)时，对应的函数值f(x)=x.精讲精析二、函数的概念精讲精析

精讲精析二、函数的概念

精讲精析二、函数的概念3.复合函数精讲精析精讲精析

精讲精析二、函数的概念注：从函数图像上来看，两个互为反函数的函数，它们的图像关于直线

y=x对称.精讲精析求函数y=f(x)的反函数，通常是把解析式y=f(x)变形为x关于y的等式x=g(y)，然后互换x与y的位置，得到y=g(x)，函数y=g(x)即为函数y=f(x)的反函数.小贴士精讲精析

精讲精析二、函数的概念

精讲精析三、函数的基本性质精讲精析精讲精析2.函数的奇偶性定义10

设函数f(x)的定义域为D，且D关于原点对称，即对任一x∈D，都有－x∈D.若f(－x)=f(x)对一切x∈D成立，则称f(x)为偶函数；若f(－x)=－f(x)对一切x∈D成立，则称f(x)为奇函数.精讲精析三、函数的基本性质注：从函数图像上看，偶函数的图像关于

y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.精讲精析在判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(－x)的关系.小贴士

精讲精析三、函数的基本性质精讲精析精讲精析作差与作商是判断函数单调性常用的方法，需要注意的是，作商判断单调性时，要考虑函数值的正负.小贴士

精讲精析三、函数的基本性质注：并非所有的周期函数都有最小正周期.例如，狄利克雷函数

任何正有理数都是它的周期，由于不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期.精讲精析

小贴士

精讲精析四、基本初等函数

精讲精析四、基本初等函数指数幂及其运算性质：其中a>0，b>0，m∈R，n∈R.备考提示

精讲精析四、基本初等函数

精讲精析四、基本初等函数

精讲精析四、基本初等函数3.对数函数

精讲精析四、基本初等函数对数的运算性质：其中a>0且a≠1；b>0；c>0且c≠1；M>0，N>0；n∈R.备考提示精讲精析四、基本初等函数4.三角函数正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数y=cotx统称为三角函数，它们的图像如图1-4所示.精讲精析精讲精析四、基本初等函数

精讲精析四、基本初等函数4.三角函数三角函数的常用公式：备考提示精讲精析四、基本初等函数

精讲精析精讲精析四、基本初等函数定义13

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成的函数，称为初等函数.巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习第二节

极限知识导图

精讲精析一、数列的极限1.数列与数列极限的定义精讲精析一、数列的极限注：数列{xn}可以看成定义在正整数集上的函数xn=f(n)，数列的通项就是这个函数的表达式.需要

注意的是，并不是所有数列都能写出它的通项.

精讲精析一、数列的极限

精讲精析一、数列的极限精讲精析精讲精析精讲精析

精讲精析一、数列的极限2.收敛数列的性质注：定理4可以推广至有限多个收敛数列的情形.利用定理4和推论2可以计算一些稍复杂的数列的极限.例3计算下列极限.精讲精析一、数列的极限精讲精析精讲精析定理4和推论2的应用前提是单个数列的极限存在，如果单个数列的极限不存在，那么就要寻找其他方法计算极限.通常，如果分子、分母都是关于n的多项式，那么可以同时除以分子和分母的最高次幂项.此外，对于无穷项相加的情形不能直接使用定理4.小贴士精讲精析

精讲精析一、数列的极限精讲精析精讲精析

精讲精析一、数列的极限精讲精析精讲精析

精讲精析二、函数的极限

精讲精析二、函数的极限精讲精析

精讲精析二、函数的极限精讲精析精讲精析

精讲精析二、函数的极限

精讲精析二、函数的极限

3.自变量趋于无穷时函数的极限

精讲精析二、函数的极限

精讲精析

精讲精析二、函数的极限

精讲精析二、函数的极限注：当x→∞，x→+∞，x→－∞，x→x0+，x→x0－时，上述结论也成立.

精讲精析二、函数的极限精讲精析

精讲精析三、无穷小与无穷大

备考提示

精讲精析三、无穷小与无穷大精讲精析精讲精析

精讲精析三、无穷小与无穷大精讲精析

备考提示三、无穷小与无穷大精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析

精讲精析三、无穷小与无穷大精讲精析3.等价无穷小因子替换求极限精讲精析三、无穷小与无穷大

小贴士精讲精析

精讲精析四、两个重要极限精讲精析精讲精析精讲精析四、两个重要极限

小贴士精讲精析精讲精析

小贴士真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习第三节

连

续知识导图

精讲精析一、函数的连续性精讲精析精讲精析

精讲精析一、函数的连续性注：在区间上每一点都连续的函数叫作该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.如果区间

包括端点，那么函数在左端点连续是指在该点右连续，在右端点连续是指在该点左连续.

精讲精析精讲精析

精讲精析二、函数的间断点精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析一般考试题目中，函数可能的间断点是使函数没有意义的点和分段函数的分段点.判断间断点的类型时，应先确定函数在该点处的左、右极限是否存在，如果至少有一个不存在，那么间断点是第二类间断点；如果都存在，那么判断左、右极限是否相等，相等为可去间断点，不相等为跳跃间断点.小贴士精讲精析精讲精析精讲精析

精讲精析三、连续函数的运算与初等函数的连续性注：根据定理5和连续函数的定义，求初等函数在其定义域内某点的极限，只需求初等函数在该

点的函数值.精讲精析

精讲精析四、闭区间上连续函数的性质

精讲精析精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习第一章

总

复

习题型荟萃题型一

相同函数的判断判断两个函数是否相同，要看函数的定义域、对应法则是否相同.其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质.方法突破题型荟萃题型荟萃题型二

求函数的定义域

方法突破题型荟萃题型二

求函数的定义域(8)函数中含正弦、余弦函数和反正弦、反余弦三角函数时，如y=sinx或cosx，定义域为（-∞，+∞）；y=arcsinx或arccosx，定义域为［-1,1］.（9）分段函数的定义域是各分段区域内自变量取值范围的并集.2.复合函数求定义域（1）若已知函数f(x)的定义域是［a，b］，求f［g(x)］的定义域的具体做法：由f(x)中的a≤x≤b，得a≤g(x)≤b，此时x的取值范围即为f［g(x)］的定义域.（2）若已知函数f［g(x)］的定义域是［a，b］，求f(x)的定义域的具体做法：由f［g(x)］中的a≤x≤b，求出g(x)在［a，b］的值域，即为f(x)的定义域.方法突破题型荟萃1.初等函数的定义域题型荟萃1.初等函数的定义域题型荟萃2.抽象函数的定义域题型荟萃题型三

求函数的解析式和函数值直接把g(x)看作f(x)中x的自变量，即得到函数f［g(x)］的表达式.方法突破1.已知函数f(x)和g(x)的解析式，求复合函数f［g(x)］的解析式题型荟萃1.已知函数f(x)和g(x)的解析式，求复合函数f［g(x)］的解析式题型荟萃题型三

求函数的解析式和函数值已知复合函数f［g(x)］和内函数g(x)的解析式，求外函数f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=φ(t)，将x=φ(t)代入f［g(x)］中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式.方法突破2.已知复合函数f［g(x)］和内函数g(x)的解析式，求外函数f(x)的解析式(1)换元法.题型荟萃2.已知复合函数f［g(x)］和内函数g(x)的解析式，求外函数f(x)的解析式题型荟萃题型三

求函数的解析式和函数值首先将复合函数f［g(x)］的表达式通过恒等变形，写成以g(x)为自变量的表达式，然后将g(x)用自变量x替换，即得f(x)的解析式.方法突破2.已知复合函数f［g(x)］和内函数g(x)的解析式，求外函数f(x)的解析式（2）凑配法.题型荟萃2.已知复合函数f［g(x)］和内函数g(x)的解析式，求外函数f(x)的解析式题型荟萃题型三

求函数的解析式和函数值当x=x0时，求复合函数f［g(x)］的函数值，先求出g(x0)的值，再把所求的结果代入f(x)计算即可.方法突破3.求函数值题型荟萃3.求函数值题型荟萃题型四

函数性质的判定和应用1.判断函数奇偶性的方法（1）定义法：若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；

若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)为偶函数.（2）图像法：若函数f(x)的图像关于原点成中心对称图形，则f（x）为奇函数；

若函数f(x)的图像关于y轴成轴对称图形，则f（x）为偶函数.方法突破题型荟萃题型四

函数性质的判定和应用

方法突破题型荟萃题型四

函数性质的判定和应用

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型五

求反函数求函数反函数的步骤：（1）由y=f(x)，解出x=f－1(y),即用y表示x；（2）将x，y的位置互换，得到y=f－1(x);（3）注明反函数的定义域，即原函数的值域.方法突破题型荟萃题型荟萃题型六

极限的计算

方法突破题型荟萃题型六

极限的计算

方法突破题型荟萃1.直接代入数值求极限题型荟萃2.约去不能代入的零因子求极限题型荟萃3.分子、分母同除以最高次幂求极限（抓大头）题型荟萃4.分子(母)有理化求极限题型荟萃5.应用两个重要极限的公式求极限

题型荟萃5.应用两个重要极限的公式求极限

题型荟萃6.用等价无穷小的代换求极限

题型荟萃7.用换底公式ab=eblna求极限题型荟萃8.分段函数在分段点处的极限题型荟萃题型七

极限式中参数的确定在求解极限式中的参数问题时，在所求极限存在的前提下，可利用极限的四则运算法则、等价无穷小代换和重要极限等方法求解.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型八

无穷小的比较

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型九

函数的连续性

方法突破题型荟萃题型荟萃题型十

函数的间断点及其类型的判断

方法突破题型荟萃题型十

函数的间断点及其类型的判断2.间断点类型的判断x0是f(x)的间断点，若f(x)在x0点处的左、右极限都存在,则称x0为第一类间断点.f(x)在x0点处的左、右极限至少有一个不存在，则x0是f(x)的第二类间断点.第一类间断点中：第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型十一

证明方程根的存在性方程f(x)=0的根的存在性的判定步骤：（1）构造一个闭区间［a,b］，且函数f(x)在［a,b］上连续；（2）计算f(a)，f(b),说明f(a)f(b)<0；（3）由零点存在定理可得方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根.方法突破题型荟萃综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练第二章

导数与微分第一节

导数的概念与运算法则知识导图精讲精析一、函数的导数

精讲精析

一、函数的导数精讲精析精讲精析精讲精析

一、函数的导数

精讲精析精讲精析精讲精析

一、函数的导数精讲精析精讲精析一、函数的导数

精讲精析精讲精析精讲精析二、函数的求导法则1.基本初等函数的导数公式精讲精析二、函数的求导法则1.基本初等函数的导数公式精讲精析二、函数的求导法则

精讲精析

精讲精析二、函数的求导法则精讲精析精讲精析

精讲精析二、函数的求导法则精讲精析5.分段函数的导数对于分段函数的求导，一般情况下，在分段点处利用定义求导，其他定义区间内一般为初等函数，可以用导数公式以及导数运算法则求导.含绝对值符号的函数，需要先去掉绝对值符号，再进行求导.精讲精析二、函数的求导法则精讲精析真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习第二节

高阶导数知识导图精讲精析一、高阶导数的概念

精讲精析精讲精析精讲精析2.常用的n阶导数公式精讲精析一、高阶导数的概念精讲精析精讲精析

精讲精析二、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析

一般地，隐函数F(x,y)=0的一阶导数y′也是由隐函数确定的，这个新隐函数对x求导，即可得到一个x，y，y′与y″的关系式，其中y′可以由x，y表示，由此可以解出y″，即得到隐函数F(x,y)=0的二阶导数.精讲精析精讲精析精讲精析2.对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法，它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方构成的比较复杂的函数以及幂指函数u(x)v(x)(u(x)＞0)的求导.利用对数函数的运算性质可将原本的函数两边取对数后化简，然后利用隐函数求导法或复合函数求导法求导，因此称对数求导法，它可用来解决两种类型函数的求导问题.精讲精析二、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数精讲精析1）由多个因子的积、商、乘方、开方构成的函数的求导.精讲精析本例中对于y＜0与y＞0得到的函数导数是一样的，所以在利用对数求导法时，不用再讨论y的正负性，直接取对数求导即可.小贴士精讲精析精讲精析

精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析

二、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析三、相关变化率

计算相关变化率的一般过程是，先找到一个能联系这两个变量的方程，然后根据链式法则，对方程两边分别求导.备考提示精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习第三节

函数的微分知识导图

精讲精析一、微分的概念

精讲精析一、微分的概念3.微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义.设函数y=f(x)的图形如图2-1所示，直线MP是曲线上点M(x0，y0)处的切线，设直线MP的倾斜角为α，当自变量x有增量Δx时，得到曲线上另一点N(x0+Δx，y0+Δy)，从图可知，MQ=Δx，QN=Δy，则

QP=MQ·tanα=f′(x0)Δx，即

dy=QP.精讲精析一、微分的概念

精讲精析一、微分的概念1.基本初等函数的微分公式精讲精析二、微分的性质和运算精讲精析二、函数的求导法则1.基本初等函数的导数公式精讲精析二、函数的求导法则2.微分的四则运算法则若函数u=u(x)，v=v(x)在点x处均可微，则精讲精析精讲精析3.一阶微分的形式不变性根据复合函数的求导法则，设y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f［g(x)］的微分为

dy=f′(u)g′(x)dx.注意到g′(x)dx=du，所以

dy=f′(u)du.从形式上看，dy=f′(x)dx与dy=f′(u)du是一样的，即无论是中间变量还是自变量，一阶微分在形式上是不变的，这就是一阶微分的形式不变性.精讲精析二、函数的求导法则精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析设y=f（x）在点x0处可导，当|Δx|很小时，则有

Δy≈dy=f′(x0)Δx.利用上式可求Δy的近似值，即Δy≈f′(x0)Δx.另一方面由

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx.

(1)可得

f(x0+Δx)－f(x0)≈f(x0)+f′(x0)Δx.在（1）式中，令x0+Δx=x，则又有

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0).精讲精析三、微分的简单应用精讲精析三、微分的简单应用以下是几个工程上常用的近似公式（下面都假定|x|是较小的数值）.备考提示精讲精析精讲精析巩固练习巩固练习第二章

总

复

习题型荟萃题型一

利用导数的定义求极限

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型二

可导与连续的关系（1）关于分段函数（绝对值函数去掉绝对值符号后也可看作分段函数），需要讨论分段点处的左、右导数，然后利用函数在一点处可导的充要条件判断其可导性.（2）可导一定连续，但连续不一定可导.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型三

导数的几何意义

方法突破题型荟萃题型荟萃题型四

导数的计算

方法突破1.基本初等函数求导题型荟萃题型荟萃题型四

导数的计算

方法突破2.复合函数求导题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型四

导数的计算

方法突破3.隐函数求导题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型四

导数的计算对数求导法的步骤:（1）y=f(x)两边同时取对数;（2）两边同时关于x求导数；（3）移项，整理成y′=y′(x)的形式.对数求导法可以把乘积的函数转化成加减的函数，把函数的幂运算转化成函数的相乘运算，这会简化求导运算.方法突破4.对数求导法题型荟萃对于幂指函数求导，我们利用对数把指数从底数的“肩膀”上拉下来，幂指函数就转化成相乘的函数，进而简化求导运算.小贴士题型荟萃题型荟萃题型五

高阶导数高阶导数要根据定义f(n)(x)=［f(n－1)(x)］′进行计算.（1）求的阶数不多，多次求导即可；（2）若求n阶导数，要先求出若干阶导数，然后总结规律，进而得出n阶导数的表达式.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型六

函数的微分求函数的微分有两种方法：（1）用公式dy=y′dx求得微分；（2）利用一阶微分形式不变性求微分，对所给函数和方程两边分别取微分.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练第三章

微分中值定理与导数的应用第一节

微分中值定理与洛必达法则知识导图

精讲精析一、微分中值定理精讲精析罗尔中值定理的几何意义：在一段两端点高度相同，且除端点外每点都有切线的曲线上，至少存在一条水平切线（如图3-1所示）.一、微分中值定理图3-1精讲精析精讲精析精讲精析

一、微分中值定理知识清单知识点一微分中值定理拉格朗日中值定理的几何意义：在一段除端点外每点都有切线的曲线上，至少有一点的切线平行于两个端点的连线（如图3-2所示）.图3-2精讲精析拉格朗日中值定理有如下两个重要推论：推论1

如果函数y=f（x）在区间（a，b）内可导且导数恒等于0，即f′(x)≡0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内是一个常数.推论2

如果函数f（x）与g（x）在区间（a，b）内可导且导数f′(x)和g′(x)恒相等，即f′(x)≡g′(x)，则f（x）与g（x）在区间（a，b）内只相差一个常数C，即f（x）=g（x）+C.一、微分中值定理罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情况，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广.备考提示精讲精析精讲精析精讲精析

一、微分中值定理

精讲精析二、洛必达法则

精讲精析二、洛必达法则精讲精析二、洛必达法则

需要注意的是，在应用洛必达法则求极限时，必须要确认导数之比的极限存在.此外，即使导数之比的极限不存在，原不定式的极限仍可能存在，即洛必达法则是极限存在的充分不必要条件.精讲精析精讲精析精讲精析

小贴士精讲精析精讲精析

精讲精析二、洛必达法则

精讲精析精讲精析精讲精析

小贴士

精讲精析二、洛必达法则精讲精析精讲精析

精讲精析三、泰勒公式

精讲精析三、泰勒公式

精讲精析三、泰勒公式

精讲精析三、泰勒公式精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习第二节

导数的应用知识导图

精讲精析一、函数的单调性注：如果把定理中的闭区间换成其他各种区间(对于无穷区间，要求在其任一有限的子区间上满足定理的条件)，那么结论也成立.精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析二、曲线的凹凸性与拐点

精讲精析二、曲线的凹凸性与拐点(a)(b)图3-3

精讲精析二、曲线的凹凸性与拐点精讲精析精讲精析

精讲精析三、函数的极值与最值注：（1）根据极值的定义，函数的极值点一定在函数定义域的内部，而不能在端点.

（2）极值点的表示形式为该点的横坐标，即x=x0.图3-4精讲精析

三、函数的极值与最值精讲精析

三、函数的极值与最值精讲精析

三、函数的极值与最值精讲精析精讲精析精讲精析

三、函数的极值与最值精讲精析精讲精析2.函数的最值

设函数

f

(x)在闭区间[a,b]上连续，则由最值定理知，f

(x)在[a,b]上有最大值和最小值.如果f

(x)的最值不是在区间端点处取得，那么函数的最值一定是函数的一个极值.因此，可以通过比较

f

(x)在[a,b]上所有驻点、不可导点和端点处的函数值来确定函数

f

(x)在[a,b]的最大值和最小值,具体步骤如下:第一步，求出

f

(x)在(a,b)内的驻点和不可导点；第二步，计算所有驻点和不可导点处的函数值和端点处的函数值；第三步，比较求出的所有函数值，其中最大的就是

f

(x)在[a,b]上的最大值，最小的就是f

(x)在[a,b]上的最小值.三、函数的极值与最值精讲精析精讲精析精讲精析在实际问题中，往往根据问题的性质就可断定可导函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得.此时，如果f(x)在定义区间内只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0)是否为极值，就可断定f(x0)是所求的最大值或最小值.小贴士精讲精析精讲精析定义4

如果曲线上的一动点沿着曲线趋近于无穷远时，该点与某直线的距离趋近于零，则称此直线为曲线的渐近线.四、曲线的渐近线注：并不是所有曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况.1

1.水平渐近线精讲精析由此例可以看出每类渐近线有可能不止一条.小贴士精讲精析四、曲线的渐近线

2.垂直渐近线精讲精析四、曲线的渐近线

3.斜渐近线精讲精析四、曲线的渐近线精讲精析四、曲线的渐近线

小贴士精讲精析五、函数图形的描绘(1)确定函数y=f(x)的定义域和函数的性质（比如奇偶性、周期性等）;(2)求f′(x)，f″(x)，并求出f′(x)、f″(x)在定义域内的零点和不存在的点以及f(x)的间断点；(3)列表判别函数的增减及凹凸区间,求出极值和拐点;(4)求出曲线的渐近线;(5)结合上述函数性态和某些特殊点描绘函数的图形.精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析六、曲率1.弧微分如图3-6所示，函数y=f(x)的一阶导数连续,称y=f(x)是光滑曲线.精讲精析六、曲率

精讲精析六、曲率2.曲率及其计算公式曲线y=f(x)是光滑曲线，如图3-7所示，精讲精析六、曲率

2.曲率及其计算公式精讲精析六、曲率

2.曲率及其计算公式精讲精析六、曲率

2.曲率及其计算公式精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析六、曲率

精讲精析精讲精析精讲精析七、方程的近似解求近似解的步骤：（1）确定根的大致范围——根的隔离区间.确定一个区间［a，b］,使所求的根是位于这个区间内的唯一实根.区间［a，b］称为所求实根的隔离区间.（2）以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似解.常用方法——二分法、切线法（牛顿法）和割线法.精讲精析七、方程的近似解

精讲精析七、方程的近似解

精讲精析精讲精析精讲精析七、方程的近似解2.切线法设f(x)在［a，b］上具有二阶导数，f(a)·f(b)<0，且f′(x)及f″(x)在［a，b］上保持定号.在上述条件下，方程f(x)＝０在(a，b)内有唯一的实根ξ，［a，b］为根的一个隔离区间.定义5

用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫作切线法（牛顿法）.如图3-11所示.精讲精析七、方程的近似解

注：如果f(b)与f″(x)同号,可记x0=b.精讲精析精讲精析精讲精析七、方程的近似解

精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习第三章

总

复

习题型荟萃题型一

罗尔中值定理和拉格朗日中值定理

方法突破题型荟萃题型一

罗尔中值定理和拉格朗日中值定理

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型二

洛必达法则

方法突破题型荟萃题型二

洛必达法则

方法突破题型荟萃

题型荟萃题型荟萃

题型荟萃3.“0·∞”型题型荟萃4.“∞－∞”型题型荟萃题型三

函数的单调性与极值（1）求函数单调性的一般步骤：①求出函数的定义域；②求导数f′(x)，求出使f′(x)=0和使f′(x)不存在的点；③用这些点把定义域分成若干个区间，分别讨论f′(x)在各个区间内的符号，从而确定函数的单调性.（2）求函数极值和极值点的一般步骤：①求出函数的定义域；②求导数f′(x)，求出使f′(x)=0和使f′(x)不存在的点；③用这些点把定义域分成若干个区间，并讨论f′(x)在各个区间内的符号，从而确定函数的极值和极值点.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型四

函数的最值及应用

(1)最值点可能是：①驻点；②使f′(x)不存在的点；③端点.（2）求最值的步骤：①求导数f′(x)，求出f(x)的驻点和使f′(x)不存在的点；②求出驻点、使f′(x)不存在的点和端点处的函数值；③比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值.（3）在实际问题中，可根据问题的实质判定函数f(x)在定义区间的内部确有最大值（或最小值），且必定在定义区间内取得，此时若函数f(x)在定义区间内仅有一个驻点x0，那么可不经过讨论，断定f(x0)是相应的最大值（或最小值）.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型五

曲线的凹凸性和拐点

求曲线的凹凸区间及拐点的步骤：（1）求出函数的定义域；（2）求f′(x)、f″(x)，求出使f″(x)=0和f′(x)不存在的点；（3）用这些点把定义域划分为若干区间，讨论每个区间内f″(x)的符号，根据f″(x)的符号得出每个区间内曲线的凹凸性；（4）总结曲线的凹凸区间，如果在某点处曲线连续且左右两侧内邻域的凹凸性相异，这一点为曲线的拐点.方法突破题型荟萃题型荟萃题型六

曲线的渐近线

方法突破题型荟萃题型荟萃题型七

曲率

方法突破题型荟萃题型七

曲率

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型八

证明题证明题的常用方法:（1）利用函数的单调性证明不等式；（2）利用罗尔中值定理证明方程根的存在性；（3）利用拉格朗日中值定理证明不等式；以上方法的共同特征：选取变量构造辅助函数，研究辅助函数的单调性、凹凸性、极值、最值等.构造辅助函数的基本思想：从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练第四章

不定积分第一节

不定积分的概念与性质

知识导图精讲精析一、不定积分的概念

精讲精析注：根据导数的四则运算，如果F(x)是

f(x)在区间

I上的一个原函数，那么对任一常数C，函数F(x)+C也是

f(x)在区间

I上的一个原函数.由此可知，若函数

f(x)在某个区间上有原函数，则它的原函数不唯一，但任意两个原函数之间只相差一个常数.一、不定积分的概念精讲精析精讲精析2.原函数存在定理定理1(原函数存在定理)

若函数f(x)

在区间I上连续，则函数f(x)在区间I上存在原函数F(x).一、不定积分的概念注：由于初等函数在其定义区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都存在原函数.

精讲精析一、不定积分的概念

精讲精析精讲精析

精讲精析二、不定积分的性质精讲精析

精讲精析三、基本积分公式

精讲精析三、基本积分公式精讲精析三、基本积分公式利用基本积分公式以及不定积分的这些性质，可以求出一些简单函数的不定积分.此外，如果被积函数不是基本积分公式里的函数，那么可以尝试使用恒等变换（三角函数使用三角恒等变换，分子、分母都是多项式的有理函数使用多项式的除法），将被积函数变成可以套用基本积分公式的形式.备考提示精讲精析精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习第二节

不定积分的计算知识导图精讲精析一、不定积分的换元积分法

精讲精析一、不定积分的换元积分法精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析熟练掌握第一换元积分法后，可以省略引入中间变量的步骤，如上例（6）.小贴士精讲精析知识点二换元积分法与分部积分法

精讲精析精讲精析精讲精析

小贴士精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析

小贴士精讲精析二、不定积分的分部积分法

精讲精析精讲精析当注:熟练掌握分部积分法后，选取

u，dv的步骤可以省略，如上例(3).小贴士精讲精析精讲精析精讲精析三、有理函数的不定积分

精讲精析三、有理函数的不定积分

精讲精析三、有理函数的不定积分

精讲精析三、有理函数的不定积分

精讲精析三、有理函数的不定积分

精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析三、有理函数的不定积分

精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析三、有理函数的不定积分4.形如∫sinmxcosnxdx（m，n为非负整数）的不定积分（1）当m，n中至少有一个是奇数时，将奇数次幂项拆出一次方凑微分，从而化为三角函数的多项式的不定积分.（2）当m，n均为偶数时，常用三角变换公式进行“降次倍角”处理，然后再积分.精讲精析精讲精析三、有理函数的不定积分5.某些无理（根式）函数的不定积分一般的无理（根式）函数的不定积分不一定能求得出来，而对于一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积分，作代换的目的就是去掉根号.精讲精析精讲精析四、积分表的使用1.关于积分表的说明（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，查得所需结果.精讲精析2.利用常用积分表的公式求不定积分精讲精析精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习第四章

总复习题型荟萃题型一

原函数的概念设f(x)在区间I上有定义，且存在原函数F(x)，则∫f(x)dx＝F(x)+C，且有如下关系：（1）[∫f(x)dx]′=f(x)；（2）d[∫f(x)dx]=f(x)dx；（3）∫F′(x)dx=F(x)+C；（4）∫dF(x)=F(x)+C.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型二

直接积分法求不定积分应用不定积分的计算法则和基本公式解题：1.基本公式方法突破

题型荟萃题型二

直接积分法求不定积分应用不定积分的计算法则和基本公式解题：1.基本公式方法突破

题型荟萃题型二

直接积分法求不定积分应用不定积分的计算法则和基本公式解题：2.运算法则(1)∫［f(x)±g(x)］dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.(2)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k为常数).3.直接积分法技巧(1)化乘除为加减；(2)利用三角函数公式化简；(3)化假分式为多项式与真分式之和.方法突破题型荟萃题型荟萃题型三

第一换元积分法求不定积分方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型四

第二换元积分法求不定积分方法突破

题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型五

分布积分法求不定积分方法突破

题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型六

简单有理函数的不定积分方法突破具体解题方法已经在前面讲述，简单有理函数的积分，通常先利用拆分、配方、因式分解、平方差等方法将被积函数恒等变形，再进行积分.

题型荟萃综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练第五章

定积分及应用第一节

定积分的概念与计算

知识导图

精讲精析一、定积分的概念精讲精析

注：函数

f(x)在[a,b]上有界是

f(x)在[a,b]可积的必要条件.一、定积分的概念定理1

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.定理2

若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积.精讲精析一、定积分的概念精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析本题所求的两个和式极限都是可积函数在对应区间上的一个特殊的和式极限（将区间划分成长度相同的n个小区间，并取每个小区间的右端点）.因为定积分存在，所以根据定积分的定义，这两个和式极限存在且等于定积分.但反过来，只确定函数在区间的一个特定划分和特定取值下的和式存在极限，不能确定函数在该区间上是可积的，因为定积分的定义中对于区间的划分和每个小区间上的取值都是任意的.小贴士精讲精析

一、定积分的概念精讲精析

一、定积分的概念图5-1精讲精析图5-2精讲精析图5-3图5-4精讲精析精讲精析

二、定积分的性质精讲精析

二、定积分的性质精讲精析

二、定积分的性质精讲精析精讲精析精讲精析

二、定积分的性质精讲精析

三、微积分基本公式

精讲精析精讲精析精讲精析

小贴士精讲精析精讲精析

三、微积分基本公式精讲精析2.牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本定理)三、微积分基本公式注：牛顿莱布尼兹公式是计算定积分的基本方法，需要注意的是，应用公式的前提是函数在给定区间上连续.例如

虽然有原函数

但f(x)在x=0附近是无界的，因此f(x)在包含x=0的任何闭区间［a,b］上都不可积.由于f(x)的原函数F(x)一般可通过求不定积分得到，因此，根据牛顿-莱布尼茨公式，计算不定积分的公式以及不定积分的方法均可直接应用到定积分的计算中.精讲精析精讲精析四、定积分的计算

精讲精析精讲精析精讲精析

四、定积分的计算精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习第二节

反常积分

知识导图精讲精析一、无穷区间的反常积分

精讲精析

一、无穷区间的反常积分精讲精析

一、无穷区间的反常积分精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析

二、无界函数的反常积分（瑕积分）精讲精析

二、无界函数的反常积分（瑕积分）精讲精析

二、无界函数的反常积分（瑕积分）精讲精析

二、无界函数的反常积分（瑕积分）精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析

小贴士真题链接真题链接巩固练习巩固练习第三节

定积分的应用知识导图精讲精析一、定积分的元素法

精讲精析一、定积分的元素法

精讲精析一、定积分的元素法

精讲精析一、定积分的元素法当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间［a，b］有关的量；（2）U对于区间［a，b］具有可加性，就是说，如果把区间［a，b］分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和.（3）部分量ΔUi的近似值可表示为f(ξi)Δxi；就可以考虑用定积分来表达这个量U.精讲精析一、定积分的元素法

精讲精析二、定积分在几何学上的应用

图5-5精讲精析

二、定积分在几何学上的应用图5-6精讲精析图5-7精讲精析图5-8精讲精析

二、定积分在几何学上的应用图5-9精讲精析

图5-10二、定积分在几何学上的应用精讲精析精讲精析图5-11精讲精析

二、定积分在几何学上的应用图5-12精讲精析

二、定积分在几何学上的应用图5-13精讲精析

二、定积分在几何学上的应用精讲精析精讲精析精讲精析

三、定积分在物理学上的应用图5-15精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接图5-16真题链接真题链接真题链接巩固练习第五章

总复习题型荟萃题型一

定积分的概念和性质

方法突破题型荟萃题型一

定积分的概念和性质

方法突破题型荟萃题型一

定积分的概念和性质

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型二

定积分的计算

方法突破题型荟萃1.牛顿-莱布尼茨公式的应用题型荟萃题型荟萃2.定积分的换元法题型荟萃题型荟萃定积分换元：（1）换上、下限；（2）不加C；（3）不回代.小贴士题型荟萃3.分部积分法题型荟萃题型荟萃题型三

积分上限的函数及其导数

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型四

反常积分

方法突破题型荟萃题型四

反常积分2.无界函数的反常积分（瑕积分）此类积分首先要判断被积函数的原函数在瑕点处的极限是否存在，若存在，则该积分收敛；若不存在，则该积分发散.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型五

定积分的应用计算平面图形的面积的步骤:（1）画草图；（2）选择合适的积分变量，原则:尽可能使分的块数越少越好；（3）求交点,确定积分限；（4）列出积分式子求解.方法突破题型荟萃题型五

定积分的应用

方法突破题型荟萃题型五

定积分的应用

方法突破题型荟萃综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练第六章

常微分方程第一节

一阶微分方程知识导图

精讲精析一、微分方程的基本概念

精讲精析一、微分方程的基本概念精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析二、一阶微分方程的解法

精讲精析

二、一阶微分方程的解法精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析二、一阶微分方程的解法

精讲精析二、一阶微分方程的解法精讲精析

二、一阶微分方程的解法精讲精析

二、一阶微分方程的解法精讲精析上式称为一阶非齐次线性微分方程的通解公式，上述求解一阶非齐次线性微分方程的通解的方法称为常数变易法.一阶非齐次线性微分方程的通解公式中，右端第一项是微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，第二项是非齐次线性微分方程的一个特解.因此，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解之和.备考提示二、一阶微分方程的解法精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习第二节

二阶常系数齐次线性微分方程知识导图

精讲精析一、二阶线性微分方程及其解的结构精讲精析

一、二阶线性微分方程及其解的结构注：这里的线性无关指的是两函数之比不为常量.与此对应的线性相关指的是两函数之比为常量.

精讲精析一、二阶线性微分方程及其解的结构

精讲精析二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

精讲精析二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法精讲精析精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习第六章

总

复

习题型荟萃题型一

微分方程的概念（1）微分方程：表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变量之间的关系的方程称为微分方程.（2）微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.（3）任何代入微分方程后能使其成为恒等式的函数称为该微分方程的解.（4）如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，那么称此解为微分方程的通解.（5）当通解中各任意常数都取特殊值时所得到的解称为微分方程的特解.（6）用于确定通解中的任意常数的附加条件称为微分方程的初始条件.了解各类方程的概念及各类方程的特征，是选择做题方法的前提.方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型二

可分离变量的微分方程的求解

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型三

一阶齐次线性微分方程的解法

方法突破题型荟萃题型荟萃题型四

一阶非齐次线性微分方程的解法

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型五

二阶常系数齐次线性微分方程的解法

方法突破题型荟萃题型五

二阶常系数齐次线性微分方程的解法

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练第七章

多元函数微分法及其应用第一节

多元函数的基本概念知识导图精讲精析一、多元函数的概念

精讲精析精讲精析精讲精析图7-1图7-2图7-3精讲精析2.二元函数的几何意义设P(x,y)是二元函数z=f(x，y)的定义域D

内的任意一点，则相应的函数值是z=f(x，y)，于是，有序数组x，y，z确定了空间内一点M(x，y，z).当点P在D

内变动时，对应的点M

在空间直角坐标系中形成了一个曲面，如图7-4所示.函数的定义域D

就是曲面在xOy

面上的投影.一、多元函数的概念图7-4精讲精析

二、二元函数的极限与连续性精讲精析精讲精析

二、二元函数的极限与连续性精讲精析巩固练习巩固练习第二节

多元函数的偏导数与全微分知识导图精讲精析一、偏导数

精讲精析

一、偏导数精讲精析

一、偏导数精讲精析一、偏导数

备考提示精讲精析精讲精析

一、偏导数精讲精析精讲精析

一、偏导数精讲精析二、全微分

精讲精析

二、全微分

备考提示精讲精析精讲精析精讲精析

二、全微分由定理2和定理3可知，若二元函数可微，则函数连续且具有各变量的偏导数.但反过来，二元函数连续且具有各变量的偏导数，不一定能推出多元函数可微.定理4告诉我们，如果二元函数具有连续的偏导数,那么二元函数可微.备考提示精讲精析

二、全微分精讲精析

二、全微分精讲精析

二、全微分精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析

二、全微分精讲精析精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习巩固练习第七章

总

复

习题型荟萃题型一

二元函数的定义域与表达式求二元函数的定义域与表达式和求一元函数的定义域与表达式类似，定义域需要先列出函数变量满足的不等式（组），然后解不等式（组）.表达式可直接代入或用换元法.方法突破题型荟萃题型荟萃题型二

简单初等函数的偏导数

方法突破题型荟萃题型荟萃题型荟萃题型三

简单初等函数的全微分

方法突破题型荟萃题型荟萃题型四

复合函数的偏导数

方法突破题型荟萃题型荟萃题型五

复合函数的全微分不管是具体的还是抽象的复合函数，求全微分都可以直接利用求偏导数再求全微分，或利用全微分形式不变性求解.方法突破题型荟萃题型荟萃题型六

隐函数的偏导数

方法突破题型荟萃题型荟萃题型七

隐函数的全微分

隐函数求全微分

方法一：利用直接求偏导法或公式法求出偏导数后，代入全微分公式.

方法二：利用全微分形式的不变性.方法突破题型荟萃题型荟萃题型八

二阶偏导数

方法突破题型荟萃题型荟萃

小贴士综合训练综合训练综合训练综合训练综合训练第八章

重

积

分第一节

二重积分知识导图精讲精析一、二重积分的概念

精讲精析

一、二重积分的概念2.二重积分的几何意义如图8-1所示，称以曲面z=f(x,y)为顶，D为底的柱体为曲顶柱体.精讲精析一、二重积分的概念图8-1精讲精析

一、二重积分的概念精讲精析精讲精析

二、二重积分的性质精讲精析

二、二重积分的性质注：该结论反过来不成立.精讲精析

二、二重积分的性质精讲精析精讲精析三、二重积分的计算

(a)(b)图8-2精讲精析

三、二重积分的计算(a)(b)图8-3精讲精析

三、二重积分的计算精讲精析

三、二重积分的计算精讲精析图8-4本题也可以将区域

D

分为图中

D1，D2

两个小区域，然后在每个小区域上采用先

x后

y

的积分次序.小贴士精讲精析图8-5(1)二重积分化为累次积分时，积分次序的选择不仅要看积分区域的特征，还要考虑被积函数的特点，原则是既要使计算能进行，又要使计算尽可能地简便.(2)本题也可以将区域

D分为图中D1，D2

两个小区域，然后在每个小区域上采用先

y后x的积分次序.小贴士精讲精析图8-6精讲精析

三、二重积分的计算精讲精析

三、二重积分的计算精讲精析图8-7精讲精析图8-8在利用极坐标计算二重积分时，dxdy化为rdrdθ.小贴士精讲精析图8-9

小贴士精讲精析1.直角坐标系下交换积分次序第一步：先依据给定的二次积分限，写出积分区域D的不等式表达式，并依此画出区域D的图形；第二步：再依区域D的图形，按确定积分限的步骤，确定出另一种积分次序的积分限.

四、交换积分次序或改变积分形式精讲精析2.改变积分形式（1）直角坐标形式转极坐标形式:第一步：根据二次积分的上、下限确定积分区域D的边界线，进而画出积分区域的图形；第二步：将区域D的边界线方程用极坐标形式表示，再根据区域D的位置用极坐标下r，θ的不等式表示区域D；第三步：将x=rcosθ，y=rsinθ代入被积函数，将面积元素dxdy换成rdrdθ，然后根据D的不等式化二次积分为极坐标形式.四、交换积分次序或改变积分形式精讲精析2.改变积分形式（2）极坐标形式转直角坐标形式：第一步：根据二次积分的上、下限，确定D的边界线（方程为r，θ的方程），进而画出积分区域的图形；第二步：将区域D的边界线方程用直角坐标表示，再根据区域D的形状用直角坐标下x，y的不等式表示区域D；第三步：根据D的不等式，再结合关系式x=rcosθ，y=rsinθ以及dxdy=rdrdθ，将极坐标下的二次积分化为直角坐标形式.

四、交换积分次序或改变积分形式精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析精讲精析在熟练掌握直角坐标与极坐标互化后，可直接观察图形写出积分区域.小贴士精讲精析真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接真题链接巩固练习巩固练习第二节

三重积分知识导图精讲精析一、三重积分的概念

精讲精析一、三重积分的概念

精讲精析二、三重积分的性质

精讲精析二、三重积分的性质性质3

若f(x，y，z)在Ω上可积，且闭区域Ω被有限个平面分成有限个部分闭区域，则f(x，y，z)在Ω上的三重积分等于在各部分闭区域上的三重积分之和.性质4（保号性）

设f(x，y，z)，g(x，y，z)在Ω上可积，且在Ω上f(x，y，z)≤g(x，y，z)，则注：该性质反过来不成立.精讲精析二、三重积分的性质性质5（估值定理）

设M，m分别是f(x，y，z)在空间有界闭区域Ω上的最大值和最小值，则其中V为Ω的体积.性质6（三重积分的中值定理）

设f(x，y，z)在空间有界闭区域Ω上连续，V是Ω的体积，则至少存在一点(ξ，η，ζ)∈Ω，使得精讲精析三、直角坐标系下三重积分的计算在直角坐标系中，若对区域Ω用平行于三个坐标面的平面去分割，则得到的小闭区域dv为小长方体，于是体积元素dv=dxdydz，从而计算三重积分的基本方法是将其化为三次积分来计算，因此我们可以先将三重积分化为一个定积分和一个二重积分，然后利用前面所讲的方法将二重积分化为二次积分，方法叙述如下：设Ω由上、下两个曲面z=z2(x，y)和z=z1(x，y)所围成(z1≤z2)，且Ω在xOy坐标面上的投影区域为D（如图8-21），则直角坐标系下三重积分的计算公式为精讲精析三、直角坐标系下三重积分的计算精讲精析三、直角坐标系下三重积分的计算在作第一个积分时，先视x，y为常数，将f(x，y，z)对z积分（由z1(x，y)积到z2(x，y)），积分的结果是(x，y)的一个函数，然后再将这个函数在D上作二重积分计算.若D可表示为y1(x)≤y≤y2(x)，a≤x≤b，则三重积分就化为了先对z，后对y，再对x积分的三次积分精讲精析精讲精析精讲精析四、柱面坐标系下三重积分的计算在直角坐标系中，空间任一点P和数组(x，y，z)是一一对应的，其中(x，y)就是点P在xOy面上的投影点M在xOy面上的直角坐标.如果用极坐标(r，θ)来表示点M，则空间中的一点P与数组(r，θ，z)也是一一对应的（规定0≤r<+∞，0≤θ≤2π，-∞<z<+∞），这样所确定的坐标系称为柱面坐标系，称(r，θ，