2027届新高三数学热点复习：集合

2027届新高三数学热点复习集合知识清单知识点1集合的含义与表示1.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系:属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”表示).3.常用数集及其符号表示:非负整数集(自然数集)N、正整数集N*(或N+)、整数集Z、有

理数集Q、实数集R.4.集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.知识点2集合间的基本关系

文字语言记法集合间的基本关系相等一般地,集合A的任何一个

元素都是集合B的元素,同

时集合B的任何一个元素

都是集合A的元素A=B子集集合A中任意一个元素均

为集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集如果集合A⊆B,但存在元

素x∈B,且x∉A,则称A是B

的真子集A⫋B或B⫌A注意

(1)空集是任何集合的子集;(2)空集是任何非空集合的真子集.易错警示

(1)解决集合间关系A⊆B或A⫋B问题时,易忽视A是空集的情况而漏解.(2)解决有关点集{(x,y)|y=x2}与数集{y|y=x2}问题时容易忽略集合的属性.知识拓展有限集的子集个数设集合A是有n个元素的有限集,即card(A)=n(n∈N*),则A的子集个数是2n;真子集个数是

2n-1;非空子集个数是2n-1;非空真子集个数是2n-2.知识点3集合的基本运算已知全集U,集合A,B.

并集交集补集图形语言

符号语言A∪B={x|x∈A,或x∈B}A∩B={x|x∈A,且x∈B}∁UA={x|x∈U,且x∉A}性质A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆AA∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆BA∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A知识拓展

德·摩根定律:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1){x∈N*|-7<x3<7}用列举法表示为{-1,0,1}.

()(2){x|x=3k,k∈N}⊆{x|x=6z,z∈N}.

()(3)⌀⊆{x∈R|x2+1=0}.

()(4)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA.

()(5)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B={x|x∈R}.

()

✕

√

√

✕

✕

2.已知集合A={x∈R|x≤10},a=

,则()A.a∈A

B.a∉A

C.a=A

D.{a}∈A

A

3.已知集合A={x|x<-1或x>0},B={x|m-1<x<m+2}.若B∪A=R,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(0,+∞)B.(-3,1)C.(-2,0)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

C4.(人教A版必修第一册P14习题T4改编)设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|1≤x≤

3},则A∩B=_________________,(∁UA)∪B=___________________.

{x|x<0或x≥1}

{x|1≤x≤2}

考点清单考点集合及其运算角度1集合间的基本关系典例1

(关系判断)(2025届浙江杭州学军中学模拟预测,1)设全集U=Z,集合A={x|x=

3k-1,k∈Z},B={x|x=6k-1,k∈Z},则

()A.A⊆B

B.B⊆AC.A=B

D.A∩B=A

B

解析

解法一

列举法从元素中寻找集合间关系.由已知得A={…,-7,-4,-1,2,5,8,11,…},B={…,-13,-7,-1,5,11,17,…},故B⊆A,故选B.解法二

元素特征法对k进行分类,从表达式中寻找集合间关系.当k是偶数时,设k=2n,n∈Z,则集合A中的元素x=6n-1,n∈Z;当k是奇数时,设k=2n+1,n∈Z,则集合A中的元素x=6n+2,则B⊆A,故选B.方法总结集合间基本关系的判断

变式训练1.(数形结合法)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则

()A.P⊆Q

B.Q⫋P

C.P⊆∁RQ

D.Q⊆∁RP

B

解析由题意得Q={x|-2<x<2},将集合P,Q表示在数轴上,如图所示,

可知Q⫋P,故选B.典例2

(利用集合间关系求参数)(2025届江苏徐州第一中学考前打靶卷,1)已知集

合A={x∈N|(x-2)(x-3)≤0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A,则a的取值构成的集合为

()A.{0}

B.{0,1}C.

D.

D

解析由题意得A={2,3},因为A∪B=A,所以B⊆A.【不要忘记空集的情况,对集合B分两

种情况讨论】当a=0时,B=⌀,满足B⊆A;当a≠0时,B=

,因为B⊆A,所以

=2或

=3,解得a=1或a=

.综上,a的取值构成的集合为

.故选D.方法总结有关A∪B=A或A∩B=B的解题路径1.由A∪B=A或A∩B=B可得B⊆A.2.对于“B⊆A”或“B⫋A”的问题,若集合B中含有参数,通常要分B=⌀和B≠⌀两种

情况进行讨论,其中B=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.变式训练2.(关键元素变式)(2025届江西联考,2)已知集合M={x|(x-2)2≤1},非空集合N={x|1≤x

≤a},若N⊆M,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)

B.[3,+∞)C.[0,3]

D.[1,3]

D

解析由题知M={x|(x-2)2≤1}={x|1≤x≤3},非空集合N={x|1≤x≤a},因为N⊆M,所以1≤a≤3,故实数a的取值范围为[1,3].故选D.3.(关键元素变式)(2026届江苏南通调研,2)已知集合A={1,4,a2},B={4,2a},A∩B=B,则

实数a的取值集合为

()A.

B.

C.{0,2}

D.

B

解析由A∩B=B得B⊆A.①若2a=1,则a=

,此时A=

,B={4,1},满足B⊆A,符合题意;②若2a=4,则B={4,4},不满足集合中元素的互异性,故舍去;③若2a=a2,则有a(a-2)=0,解得a=0或a=2,当a=0时,A={1,4,0},B={4,0},满足B⊆A,符合题意;当a=2时,集合B={4,4},不满足集合中元素的互异性,故舍去.综上,实数a的取值集合为

.角度2集合的运算典例3

(2026届广东阳江月考,2)已知集合A=

,B={x||x-2|≤1},则A∪B=

()A.(-∞,3]

B.(3,+∞)C.(0,+∞)

D.(0,3]

D

解析由

≤0得x(x-2)≤0且x≠0【注意分式分母不为零】,解得0<x≤2,即A={x|0<x≤2}.由|x-2|≤1得-1≤x-2≤1【若|x|≤b,b>0,则-b≤x≤b】,解得1≤x≤3,即B={x|1≤x≤3},将集合A,B表示在数轴上,如图.

由图可知A∪B=(0,3].故选D.方法总结集合运算问题的求解

变式训练4.(情境模型变式)(2025届浙江温州三模,2)已知集合A={-1,1,2,3,},集合B={x|lnx<1},

则A∩B=()A.{1}

B.{-1,1}C.{1,2}

D.{-1,1,2}

C

解析集合A={-1,1,2,3},集合B={x|lnx<1}={x|0<x<e},所以A∩B={1,2},故选C.5.(关键元素变式)(2026届天津阶段检测,1)已知全集U=A∪B={x∈N|1≤x≤10},A∩

∁UB={1,3,5,8,9,10},则集合B的真子集的个数为

()A.15

B.16

C.31

D.32

A

解析因为U=A∪B={x∈N|1≤x≤10},所以U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},因为A∩∁UB={1,3,5,8,9,10},所以B={2,4,6,7},共4个元素,所以集合B的真子集的个数为24-1=15.故选A.典例4

(根据集合的运算结果求参)(2020课标Ⅰ理,2,5分)设集合A={x|x2-4≤0},B={x

|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=

()A.-4

B.-2

C.2

D.4

B

解析由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=

,又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-

=1,∴a=-2.故选B.变式训练6.(关键元素变式)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=

()A.{1,-3}

B.{1,0}

C.{1,3}

D.{1,5}

C

解析∵A∩B={1},∴1∈B,∴1-4+m=0,∴m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C.角度3容斥原理1.两个集合的容斥原理一般地,对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).如图所

示.2.三个集合的容斥原理一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card

(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).如图所示.典例5

(容斥原理)某校举办秋季运动会,已知某班参加田赛的学生有14人,参加径

赛的学生有15人,既参加田赛又参加径赛的学生有6人,那么该班参加运动会的学生人

数为

()A.29

B.23

C.36

D.25

B

解析设参加田赛的学生组成集合A,参加径赛的学生组成集合B,则card(A)=14,card(B)

=15,由题意,知card(A∩B)=6,所以card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=14+15-6=23,所以该班参加运动会的学生人数为23.故选B.变式训练7.(情境模型变式)为了增强身体素质,某校学生积极参加学校组织的体育特色课堂,

课堂分为A.球类项目,B.径赛项目,C.其他健身项目.该班有25名同学选择球类项目A,20

名同学选择径赛项目B,18名同学选择其他健身项目C,其中有6名同学同时选择A和B,4

名同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和C.“若全班同学每人至少选择一类项目且

没有同学同时选择三类项目,则这个班同学人数是

()A.51

B.50

C.49

D.48

B

解析设选择A,B,C三类项目的学生分别组成集合A,B,C,由题意得,card(A)=25,card(B)

=20,card(C)=18,card(A∩B)=6,card(A∩C)=4,card(B∩C)=3.因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,所以这个班同学人数是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A

∩C)-card(B∩C)=25+20+18-6-4-3=50.故选B.角度4创新题典例6

(2025届北京八一学校零模,10)集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B

1,B2,…,Bn(n∈N*).记bi为集合Bi(i=1,2,3,…,n)中的最大元素,则b1+b2+b3+…+b10=

()A.10

B.40

C.45

D.50

C

解析由题意知B1={1,2,3},b1=3;B2={1,2,4},b2=4;B3={1,2,5},b3=5;B4={2,3,4},b4=4;B5={2,3,5},b5=5;B6={2,4,5},b6=5;B7={3,4,5},b7=5;B8={1,4,5},b8=5;B9={1,3,5},b9=5;B10={1,3,4},b10=4,则b1+b2+…+b10=3+4×3+5×6=45.故选C.方法总结对于以集合为背景的创新问题常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,

以“发现”为目的.集合中的创新问题主要体现在:(1)集合中的新定义问题;(2)集合中

的新运算问题;(3)集合中的新性质问题.解决集合中的创新题的着手点如下:(1)正确理解新定义、新运算、新性质,剥去它们的外表,转化为我们熟悉的集合知识;(2)合理利用集合性质是破解问题的关键;(3)对于选择题,可结合选项,通过验证、排除、对比、特值法进行求解,当不满足要求

时,只需通过举反例来说明.变式训练8.(关键元素变式)(