2027届新高三数学热点复习利用导数证明不等式

2027届新高三数学热点复习利用导数证明不等式考教衔接·活用教材探究式精练

收获一个“赢”命题点一移项构造函数证明不等式例1：(2026·海口模拟)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)求f(x)的单调区间；

学霸笔记：证明不等式f(x)≥g(x)成立时，可以类比作差法，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或φ(x)＝g(x)－f(x)，进而证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0.一般地，当y＝f(x)，y＝g(x)为基本初等函数时，常用此法．提醒：有的不等式需要先变形再移项作差．跟踪训练

(2026·绥化模拟)已知函数f(x)＝x3－6x.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；解析：由题意得f(2)＝－4，f′(x)＝3x2－6，所以切线的斜率为k＝f′(2)＝6.因为切点为(2，－4)，所以切线方程为y＋4＝6(x－2)，即6x－y－16＝0.(2)当x∈(0，＋∞)时，求证：f(x)≥－3x－2.解析：证明：令g(x)＝f(x)＋3x＋2＝x3－3x＋2，x>0，则g′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以当x＝1时，g(x)有最小值g(1)＝0，所以当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥0，即当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥－3x－2.命题点二最值法证明不等式例2：(2023年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性．解析：f′(x)＝aex－1，x∈R.当a≤0时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，得x>－lna，令f′(x)<0，得x<－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．

(2)若a＝e，证明：f(x)<xex＋1.

学霸笔记：若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商的形式．

(2)证明：f(x)>1.

1．(13分)已知函数f(x)＝(x－x2)lnx＋k的图象在点(1，f(1))处的切线经过点(0，1)．(1)求实数k的值；解析：因为f(x)＝(x－x2)lnx＋k，所以f′(x)＝(1－2x)lnx＋(1－x)，x>0，所以f′(1)＝(1－2)ln1＋(1－1)＝0.又因为f(1)＝(1－12)ln1＋k＝k，所以函数f(x)＝(x－x2)lnx＋k的图象在点(1，f(1))处的切线为y－k＝0(x－1)，即y＝k，又切线过点(0，1)，所以k＝1.

2．(15分)已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

4.(17分)(2026·保定模拟