2027届新高三数学热点突破复习 圆的方程

2027届新高三数学热点突破复习圆的方程1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于

的所有点的集合(或轨迹)叫作圆

方程标准(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心C

半径为

一般x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)定长(a,b)r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)之间存在着下列关系:(1)|MC|>r⇔M在

,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外;

(2)|MC|=r⇔M在

,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上;

(3)|MC|<r⇔M在

,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内.

常用结论1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.圆的三条性质:圆心在圆的任一弦的垂直平分线上;圆心在过切点且与切线垂直的直线上;两圆相切时,切点与两圆圆心共线.圆外圆上圆内[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(

)(2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则圆心为(a,b),半径为m.(

)×解析

若a=0,方程x2+y2=0表示的是点(0,0),不表示圆,若a≠0,方程x2+y2=a2表示半径为|a|的圆.×解析

由圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),可得圆心为(a,b),半径为|m|,其中,当m<0时,半径为负数,显然错误.(3)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(

)(4)若两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(

)×解析

只有当两圆的圆心距小于两圆的半径之和且大于两圆的半径之差的绝对值时,两圆才相交.×解析

由题意,两个圆是相切的位置关系,包括内切和外切.2.(人A选一教材习题改编)下列各点中,在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是(

)A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,1)B解析

由(0-1)2+(2+2)2=17<25知(0,2)在圆内;由(3-1)2+(3+2)2=29>25知(3,3)在圆外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上;由(4-1)2+(1+2)2=18<25知(4,1)在圆内.故选B.3.(人A选一教材习题改编)圆心为点C(8,-3),且过点A(5,1)的圆的一般方程是

.

x2+y2-16x+6y+48=0

4.(人B选一教材习题改编)已知圆x2+y2+2x-ay-4=0的半径为3,则实数a的值为

.

±4

5.(人A选一教材习题改编)已知两点A(4,9)和B(6,3),则以AB为直径的圆的标准方程是

.

(x-5)2+(y-6)2=10

6.(人A选一教材例题改编)已知圆C经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,则圆C的标准方程为

;若D为圆C上任意一点,且点E(3,0),则线段ED的中点M的轨迹方程为

.

(x-2)2+(y-4)2=10

考点一圆的方程例1

(2022·全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在圆M上,则圆M的方程为

.

(x-1)2+(y+1)2=5

教考衔接1.(人A选一教材例题)已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点,且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的标准方程.解

设圆心C的坐标为(a,b).因为圆心C在直线l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0.①

2.(苏教选一教材习题)求过两点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程.

规律方法

求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.(2)代数法,即设出圆的方程,标准方程或一般方程,用待定系数法求系数.[对点训练1](2025·广西一模)在平面直角坐标系xOy中,若圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切,则圆C的标准方程可以为

.(写出满足条件的一个答案即可)

(x-1)2+y2=1(答案不唯一)解析

设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切,则|a|=r,b=0,则圆的方程为(x-a)2+y2=a2,故任取非零实数a即可,现取a=1,即圆C的标准方程可以为(x-1)2+y2=1.考点二与圆有关的轨迹问题

(x-5)2+y2=16

规律方法

设平面内一动点的坐标为待求变量,给定两个定点的坐标及一个不为1的常数比例,根据动点到两定点的距离之比等于该常数的条件建立等式,通过平方、移项、合并同类项等代数变换逐步化简,最终推导出该动点的轨迹方程.[对点训练2](2025·吉林通化期中)在△ABC中,A(-5,0),C(5,0),|AB|=2|BC|,则点B的轨迹方程为

.

角度2

定义法例3

等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么.

[对点训练3]已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,点M是圆C上的动点,AM与圆C相切,且|AM|=2,则点A的轨迹方程是(

)A.y2=4xB.x2+y2-2x-2y-3=0C.x2+y2-2y-3=0D.y2=-4xB

角度3

相关点代入法例4

(2026·重庆模拟)点P在圆x2+y2=36上运动,它与点Q(4,0)所连线段中点为M,则点M的轨迹方程为(

)A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9A

规律方法

相关点法求动点的轨迹方程,只要寻找要求点与已知点之间的关系,代入已知点所满足的关系式即可.

A

考点三与圆有关的最值和范围问题

BD解析

如图,方程(x-2)2+y2=4表示以C(2,0)为圆心,半径r=2的圆.

规律方法

与圆有关的最值问题的三种几何转化法

BC解析

由x2+y2-4y+3=0,得x2+(y-2)2=1.该方程表示圆心为C(0,2),半径r=1的圆.

A

规律方法

求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路(1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.

C

12

规律方法

建立函数关系式求最值:根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

C

教材衍展圆的参数方程

1.求代数式的最值先把圆的一般方程化为标准方程,再转化为参数方程,利用参数方程把待求式化为关于参数的函数,利用三角函数的有界性求得最值.典例1(2025·浙江宁波模拟)已知实数a,b满足a2+b2=6,则ab的取值范围是(

)A.(0,3]B.(-∞,3]C.(-∞,-3]∪[3,+∞)D.[-3,3]D

BC

2.求参数的取值范围利用圆的参数方程,采用代入法把求参数的取值范围问题转化为求三角函数值域的问题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙.典例2(2026·江苏南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在一点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最大值为

.

0

A

3.求距离等最值将圆上的动点用参数方程表示,利用距离公式将距离转化为关于角参数的三角函数,再利用三角函数知识求得最值.典例3“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创,定义如下:在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的“曼哈顿距离”为d(A,B