2027届新高三数学热点突破复习概率统计

2027届新高三数学热点突破复习概率统计提能训练练案[69]1．(13分)(2025·高考新课标Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．P(χ2≥k)0.0050.0100.001k3.8416.63510.828得分保障：得分点：第(1)问，正确找出人数给3分，概率计算正确再给3分；第(2)问，写出零假设给2分，χ2计算正确并比较给3分，结论正确再给2分．失分点：第(1)问未正确获取信息．第(2)问缺少零假设；计算χ2时代入或计算错误；计算正确但结论写错．(1)记甲同学答对的试题数为X，求X的分布列与期望；(2)求甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多的概率．[解析]

(1)打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜得3分．所以p3＝p3.

(1分)打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲全胜得4分；甲胜3个球得3分，乙胜1个球得1分．(2)由(1)可知p4－p3＝p3(4－3p)－p3＝3p3(1－p)，【打完2m个球后甲比乙至少多得2分，包括：甲得2m分，乙得0分；甲得2m－1分，乙得1分；……；甲得m＋2分，乙得m－2分；甲得m＋1分，乙得m－1分】【p2m的表达式比较复杂且不易化简，如果继续计算p2m＋1，p2m＋2，q2m等，会使问题更加复杂．注意到要证p2m＋1－q2m＋1<p2m－q2m，即证q2m－q2m＋1<p2m－p2m＋1，所以考虑寻求p2m＋1与p2m的递推关系，同理也可得到q2m＋1与q2m的递推关系，达到简化计算的目的】对于p2m＋1，考虑前2m个球的情况．若打完2m个球后，甲、乙得分一样，或者甲比乙得分少，则第2m＋1个球无论甲胜负，甲都不可能比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则第2m＋1个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙恰好多得2分，则第2m＋1个球甲必须胜才能满足甲比乙至少多得2分．【要证p2m－q2m<p2m＋2－q2m＋2，即证q2m＋2－q2m<p2m＋2－p2m，所以考虑寻求p2m＋2与p2m的递推关系，同理也可得到q2m＋2与q2m的递推关系】对于p2m＋2，考虑前2m个球的情况．若打完2m个球后，甲比乙得分少，则剩下两个球(第2m＋1和2m＋2个球)无论甲胜负，甲都不可能比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲、乙得分一样，则剩下两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙恰好多得2分，则剩下两个球甲全胜，或者一胜一负都能满足甲比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分．得分保障：压轴解答题确保拿下前两小问、第三小问的一些步骤分，达到保9分争17分的目的．二项分布保障2分：第(3)问要计算p2m，q2m，p2m＋1，等若干式子，发现甲得分服从二项分布后，可先写出打完2m个球后甲比乙至少多得2分的所有情况，得到p2m的表达式可得2分．时间分配建议：先保证第(1)(2)两问的完整计算，读题带计算约5min，之后留足10min思考并计算第(3)问，在第(3)问尝试5min左右后，若仍找不到合适的解法，可将想到的一些式子列出，争取一些步骤分．提能训练练案[69]1．(2026·浙江新阵地教育联盟联考)某市A，B两个博物馆为应对暑期参观高峰，招聘博物馆讲解员志愿者，参与者通过笔试、面试、模拟技能这3项考核后可以被聘为志愿者．所有参与者均需参加3项考核，且3项考核的结果互不影响，3项考核均通过后聘为讲解员志愿者．去年有100名高中生参加A博物馆志愿者招聘，具体招聘结果如下表所示：性别参加考核但未聘用的人数参加考核并成功聘用的人数男生4510女生3015(1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断去年100名高中生参加A博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别是否有关联；(2)若小乐通过A，B两个博物馆考核的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．参考数据：α0.150.10.050.0250.010.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解析]

(1)H0：去年100名高中生参加A博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别无关性别参加考核但未聘用的人数参加考核并成功聘用的人数合计男生451055女生301545合计75251002．(2026·湖北荆州起点考试)在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织A，B，C，D共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者(记为W)进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者(记为L)进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若W获胜则比赛结束，W获得冠军，L获得第2名；若L获胜，则需加赛一轮，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．(1)求A队全胜夺冠的概率；(2)设A队在整个赛事中参赛场次为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)．[解析]

(1)A全胜夺冠的条件是：A赢得第一轮比赛，赢得第二轮胜者组比赛，赢得决赛．X＝5：注意到A若前两场均胜，则其不可能参加第五场比赛，故其前4场比赛的胜负情况仅有两种：“胜负胜胜”“负胜胜胜”，第五场为加赛．(1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望；(2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中(至少抽中一个)，求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率．(2)设“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，并抽中”为事件A；“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中”为事件B，AB表示：①三个抽奖机中选取自然风光类、历史文化类，其中自然风光类中奖；②三个抽奖机中选取自然风光类、特色体验类中奖；③三个抽奖机中选取历史文化类、特色体验类，其中特色体验类中奖．4．(2025·广东八校检测)马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态无关．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．现有A，B两个盒子