分离变量法-数学物理定解问题课件

第二章分离变量法1-2.0预备知识－常微分方程

2-二阶常系数线性方程的标准形式2.0预备知识－常微分方程3-特征根(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程特征方程2.0预备知识－常微分方程4-(2)有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3)有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0预备知识－常微分方程5-2.0预备知识－常微分方程6-二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0预备知识－常微分方程7-2.1有界弦的自由振动8-分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville

理论。基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解2.1有界弦的自由振动9-2.1有界弦的自由振动研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：特点:方程齐次,边界齐次.10-(1)没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为;(2)各点振幅随点而异，而与时间无关，用

X(x)表示,所以驻波可用表示。驻波的特点：端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1有界弦的自由振动11-2.1有界弦的自由振动设且不恒为零，代入方程和边界条件中得①

由不恒为零，有：取参数这个式子的左端是x的函数,右端是t的函数，何时恒等？12-④

②

…..……..③④利用边界条件2.1有界弦的自由振动13-则⑤

特征值问题参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1有界弦的自由振动14-2.1有界弦的自由振动由边值条件(i)方程通解为(ii)时，通解由边值条件得C1=C

2=0从而，无意义.

无意义15-2.1有界弦的自由振动

由边值条件从而即(iii）时，通解故而得16-2.1有界弦的自由振动再求解T：其解为所以两端固定弦本的征振动叠加…….⑤

17-2.1有界弦的自由振动将展开为Fourier级数，比较系数得代入初始条件得：定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。18-再求解T：其解为所以两端固定弦本的征振动叠加…….⑤

2.1有界弦的自由振动19-将展开为Fourier级数，比较系数得代入初始条件得：2.1有界弦的自由振动定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。20-（特征值问题）齐次边界条件（特征函数）分离变量法图解

2.1有界弦的自由振动21-则无穷级数解为如下混合问题的解上，，且定理：若在区间2.1有界弦的自由振动22-⑴弦上各点的频率和初位相都相同，因而没有波形的传播现象。⑵弦上各点振幅因点而异在处，振幅永远为0二、解的物理意义节点腹点特点最大振幅频率初位相在处，振幅最大,为nNu(x,t

)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。

n＝1的驻波称为基波,n>1的驻波叫做n次谐波.2.1有界弦的自由振动23-例1设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦做微小横向振动时的位移，其中与弦的材料和张力有关.解设位移函数为，则需要求解下列定解问题2.1有界弦的自由振动24-因此，所求的解为：

=

2.1有界弦的自由振动25-解：令,得化简:例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件引入参数得2.1有界弦的自由振动26-2.1有界弦的自由振动得C1=C

2=0从而，无意义分离变量：时，由边值条件27-(ii) 时,,(iii)时,则而由边值条件由边值条件从而2.1有界弦的自由振动28-本征值本征函数2.1有界弦的自由振动T的方程其解为29-所以故代入初始条件:将展开为傅立叶余弦级数，比较系数得解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件决定.2.1有界弦的自由振动30-2.2有限长杆的热传导问题31-例1．细杆的热传导问题长为l的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热,x=0端温度为0，x=l端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。解：定解问题为2.2有限长杆的热传导问题32-得本征问题由及齐次边界条件，有设且并引入参数λ分离变量代入方程2.2有限长杆的热传导问题33-当或时,当时,由得由得故即令有函数方程2.2有限长杆的热传导问题34-由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为：ry图12.2有限长杆的热传导问题35-2.2有限长杆的热传导问题对应的本征函数的方程：解为故由初始条件得可以证明函数系在上正交，在（*）式两端乘以并在[0,l]上积分,得

且模值36-（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解（三）将特征值代入另一常微分方程，得到（四）将叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程－－（方程齐次）分离变量法解题步骤－－（边界条件齐次）2.2有限长杆的热传导问题37-分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注2.2有限长杆的热传导问题38-左端点右端点特征值特征函数取值范围

一

一一

二

二

二二一课堂练习总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系2.2有限长杆的热传导问题39-练习：求下列定解问题的解

其中2.2有限长杆的热传导问题40-2.3二维拉普拉斯方程

的边值问题41-2.3二维拉普拉斯方程的边值问题1.矩形域上拉普拉斯方程的边值问题例1．矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和，求稳恒状态下薄板的温度分布。定解问题为：解42-再利用x=0和x=a处的齐次边界条件得设且代入方程故本征问题当时，，2.3二维拉普拉斯方程的边值问题43-2.3二维拉普拉斯方程的边值问题当时，将代入有解：考虑边界条件（y方向上），有解得比较系数44-所以解为作为例子取，，可求得于是2.3二维拉普拉斯方程的边值问题45-考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题,设板的上下两面绝热,圆周边界上的温度已知为求稳恒状态下的温度分布规律。2.圆域上的拉普拉斯方程的边值问题2.3二维拉普拉斯方程的边值问题46-采用平面极坐标。令2.3二维拉普拉斯方程的边值问题47-分离变量代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由可知，又圆内各点的温度有界，因而所以应满足条件2.3二维拉普拉斯方程的边值问题48-（二）利用条件,确定特征值问题并求解得到两个常微分方程的定解问题(1)(2)2.3二维拉普拉斯方程的边值问题先求哪一个？先求(1)啊!可以确定特征值啊!为什么？49-1)时，无非零解；特征值特征函数2)时，有非零解3)时，通解以为周期,必须是整数,2.3二维拉普拉斯方程的边值问题50-（三）将特征值代入另一常微分方程，得得到方程通解满足有界性条件的通解将代入方程2.3二维拉普拉斯方程的边值问题51-满足周期性条件和有界性条件的特解为2.3二维拉普拉斯方程的边值问题52-（四）将叠加,利用边界条件确定系数满足周期性和有界性条件的通解为:利用边界条件，得由此可以确定系数2.3二维拉普拉斯方程的边值问题53-注:经过化简,方程的解可以表示为称为圆域内的泊松公式.2.3二维拉普拉斯方程的边值问题54-2.4非齐次方程的解法

55-2.4非齐次方程的解法(I)

非齐次振动方程定解问题特征函数法56-令其中2.4非齐次方程的解法57-令为待定函数.并将按特征函数系展为级数其中2.4非齐次方程的解法58-将(3),(4)代入(1)得两端比较将(3)代入初始条件2.4非齐次方程的解法59-常数变易法所以2.4非齐次方程的解法60-例在环形区域内求解下列定解问题解考虑极坐标变换:2.4非齐次方程的解法61-定解问题可以转化为:相应的齐次问题的特征函数系为:2.4非齐次方程的解法62-于是可以设原问题的解为:代入方程，整理得2.4非齐次方程的解法63-比较两端和的系数可得2.4非齐次方程的解法64-由边界条件，得所以2.4非齐次方程的解法65-由边界条件，可知满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为2.4非齐次方程的解法66-下面求.方程的通解为由端点的条件，得原问题的解为2.4非齐次方程的解法67-2.5非齐次边界条件的处理68-2.5非齐次边界条件的处理

处理非齐次边界条件问题的基本原则是:选取一个辅助函数,通过函数之间的代换:使得对新的未知函数边界条件为齐次的.69-例1．振动问题（I）解：取故要求满足(I)的边界条件，即解得思路:作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次2.5非齐次边界条件的处理70-代入(I),得的定解问题(II)令2.5非齐次边界条件的处理71-如果仍取的线性函数作为，则有此时除非，否则这两式互相矛盾。当x＝0和x=l

满足第二类边界条件注意：应取2.5非齐次边界条件的处理72-例定解问题其中A,B为常数.解:令2.5非齐次边界条件的处理73-代入方程，得选满足它的解为2.5非齐次边界条件的处理74-于是满足的方程为：2.5非齐次边界条件的处理75-利用分离变量法，求解得其中从而，原定解问题的解为2.5非齐次边界条件的处理76-一.选择适当的坐标系.原则:边界条件的表达式最简单.二.若边界条件是非齐次的,引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三.对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个,其一是方程齐次,并具有原定解条件的定解问题(分离变量法)；其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定