2025-2026学年甘肃省嘉峪关市酒钢第三中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年甘肃省嘉峪关市酒钢第三中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则2+3=（）A.（-2，-4） B.（-3，-6） C.（-5，-10） D.（-4，-8）2.复数的共轭复数是（）A.i+2 B.-2+i C.-2-i D.2-i3.设m∈R，复平面内表示复数z=2m+（m-3）i的点在直线x+y=0上，则z=（）A.2+2i B.2-2i C.-2-2i D.-2+2i4.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'顶点连接的向量中，与向量相等的向量有（）A.6个

B.9个

C.0个

D.3个5.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）

A. B.- C.1 D.﹣16.假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最大值和最小正周期分别是（）A. B. C. D.7.已知在“斜二测”画法下，△ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.8.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则=（）A.5

B.10

C.13

D.26

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法中，正确的是（）A.任意单位向量的模都相等．

B.若A，B是平面内的两个不同的点，则=

C.若向量∥，∥，则∥

D.零向量与任意向量平行10.已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（）A.（4，5） B.（8，9） C.（2，-1） D.（3，-1）11.欧拉公式eθi=cosθ+isinθ（其中i为虚数单位，θ∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A. B.为纯虚数

C.复数eπi的模长等于1 D.的共轭复数为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若，与夹角是，则=

.13.已知tan（α-）=，则tanα=

．14.i表示虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i2025+i2026=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=3+mi（m∈R），且（1+3i）z为纯虚数，

（1）求复数z；

（2）若z=（2-i）w，求复数w的模|w|．16.(本小题15分)

已知向量=（1，3），=（-1，3），=（λ，2）．

（1）若=m+3，求实数m，λ的值；

（2）若（2+）⊥（-），求与2+的夹角θ的余弦值．17.(本小题15分)

在△ABC中，sin2C=sinC．

（Ⅰ）求∠C；

（Ⅱ）若b=6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．18.(本小题17分)

已知点M（sinxcosx,sin2x），，O为坐标原点，函数.

（1）求f（x）的解析式及最小正周期.

（2）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,AD为∠BAC的角平分线，AB=2AC，BD=2.若，求△ACD的面积.19.(本小题17分)

著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理.已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，且AB=6，AC=4.

（1）求的值；

（2）证明：；

（3）若，求的值.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】ABC

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】i

15.【答案】解：（1）由z=3+mi（m∈R），

得（1+3i）z=（1+3i）（3+mi）=（3-3m）+（9+m）i，

∵（1+3i）z为纯虚数，

∴3-3m=0且9+m≠0，

∴m=1．

∴z=3+i；

（2）z=（2-i）w，

得w=，

∴|w|=．

16.【答案】解：（1）由=m+3，

​​​​​​​得（1，3）=（-m，3m）+（3λ，6），

即解得λ=0，m=-1；

（2）2+=（1，9），-=（-1-λ，1）；

因为（2+）⊥（-），所以-1-λ+9=0，

解得λ=8；

令=2+=（6，8），

则与2+的夹角θ的余弦值为

cosθ===．

17.【答案】解：（Ⅰ）∵sin2C=sinC，

∴2sinCcosC=sinC，

又sinC≠0，∴2cosC=，

∴cosC=，∵0＜C＜π，

∴C=；

（Ⅱ）∵△ABC的面积为6，

∴absinC=6，

又b=6，C=，

∴×a×6×=6，

∴a=4，

又cosC=，

∴=，

∴c=2，

∴a+b+c=6+6，

∴△