2025-2026学年湘教版数学必修第二册 第1章　平面向量及其应用 单元测试（含答案）

第1章平面向量及其应用一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=()A.(-2,-1) B.(2,1)C.(3,-1) D.(-3,1)2.在△ABC中,若∠A=60°,BC=43,AC=42,则∠B的大小为()A.30° B.45°C.135° D.45°或135°3.已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,∠C=120°,则△ABC的面积为()A.33 B.233 C.3 D4.已知|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为π6,则|a-3b|=(A.7 B.22 C.10 D.195.在△ABC中,a=2,b=2,∠A=π6,则此三角形(A.无解 B.有两解C.有一解 D.解的个数不确定6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-C.34AB+7.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值是(A.2 B.0 C.-1 D.-28.如图,在平行四边形ABCD中,DE=12EC,F为BC的中点,G为EF上的一点,且AG=79AB+mAD,则实数A.23 B.1C.-13 D.-二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是()A.(4,-8) B.(8,4)C.(-4,-8) D.(-4,8)10.对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)11.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下面说法正确的是()A.若bsinA=acosB,则B=πB.若b<c,则cos2B>cos2CC.若∠B=π4,b=2,a=3,D.若AB·BC<三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos<a,c>=.

13.(2025天津,14)在△ABC中,D为AB中点,CE=13CD.记AB=a,AC=b,则用a,b表示AE为;若|AE|=5,且AE⊥CB,则AE14.(2025上海,11)在坡角为θ的斜坡上,小申用两根长1米的细杆铅直的放在斜坡的两个端点A,B处,两根细杆在太阳照射下,B处细杆的影子完全在斜坡上时,A处细杆的影子在水平地面上,影长分别为0.45和0.4,则θ=.(精确到0.01°)

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)设a,b的夹角为θ,求cosθ的值;(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.16.(15分)△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a.(1)求ba(2)若c2=b2+3a2,求∠B.17.(15分)在四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.18.(17分)(2025北京,16)在△ABC中,cosA=-13,asinC=42(1)求c;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高.条件①:a=6;条件②:bsinC=102条件③:S△ABC=102.19.(17分)已知向量OA,OB是平面内两个不共线的单位向量,C为平面内一动点,且(1)若P为OC的中点,求向量OA与OB(2)若|OP|<12,求|OC|的取值范围

参考答案1.A∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).2.B由正弦定理,得BCsin则sinB=ACsin因为BC>AC,所以∠A>∠B,而∠A=60°,所以∠B=45°.3.C将c2=a2+b2-2abcosC与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=12absinC=34.A∵|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为π6∴a·b=1×2×32∴|a-3b|2=a2-23·a·b+3b2=1-23×3+3×22=7,故|a-3b|=7.故选5.B在△ABC中,a=2,b=2,∠A=π6由正弦定理可得sinB=bsin所以B=π4,或B=3π4故选B.6.A如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=7.D由平行四边形法则得PA+PB=2故(PA+PB)·PC=2PO·PC,|PC|=2-|PO|,且PO,PC反向,设|PO则(PA+PB)·PC=2PO·PC=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2,∴当t=1时,(PA+PB)·PC8.A∵DE=12EC,F为BC的中点∴DE=设AG=λAE+(1-λ)AF=λ(AD+DE)+(1-λ)(AB+BF)=λ(AD+13AB)+(1-λ)(AB+12AD)=(1-2λ3)AB+(9.AD当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8).10.ACD对于A,b=0,说法错误;对于B,显然正确;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以说法错误;对于D,如图,若a=AB,b=AC,c=AD,则(a·b)·c与a·(b·c)分别是与c,a共线的向量,显然(a·b)·c=a·(b·c)不成立.11.AB对于A,利用扩充的正弦定理得2RsinBsinA=2RsinAcosB,由于0<A<π,整理得sinB=cosB,故B=π4,故A正确;对于B,由于b<c,所以0<sinB<sinC,故sin2B<sin2C,即1-cos2B<1-cos2C,整理得cos2B>cos2C,故B正确;对于C,由于∠B=π4为锐角,b=2,a=3,b>a,则三角形的解只有一个,故C错误对于D,由于AB·BC<0,说明∠B的外角为钝角,∠B为锐角,所以△ABC的形状不能确定,故D错误.故选12.23∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1又a·b=0,c=2a-5b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-5a·b=2,∴cos<a,c>=a·13.16a+23b∵CD=CA+AD=CA∴CE=13CD=-13b+16a,则AE=AC+CE=b+16∵AE⊥CB,则AE·CB=0,得(16a+23b)(a-b)=0,整理得a2+3a·b-4b2=又|AE|=5,∴(16a+23b)2=136a2+29a·b+4整理得a2+8a·b+16b2=900.②由①②得,a·b=-4b2+180,a2=16b2-540,∴AE·CD=(16a+23b)(12a-b)=a14.12.58°将A处杆移至B处两者重合得如图所示的图形.在Rt△CBB'中,CB'=CB在△BB'D中,BDsin即0.45sin∠BB'D=sin∠CB'B=52929联立①②,解得∠BDB'≈55.62°,由tan∠CB'B=52,得∠CB'B=68.2°即∠B'DH=68.2°.故θ=∠B'DH-∠B'DB=12.58°.15.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).(2)cosθ=a·b|(3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,因为a2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=±2216.解(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=2sinA.故sinB=2sinA,所以ba(2)由余弦定理和c2=b2+3a2,得cosB=(1+由(1)知b2=2a2,故c2=(2+3)a2.可得cos2B=12,又cosB>故cosB=22,所以∠B=45°17.解(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5,∴由正弦定理得ABsin即2sin∴sin∠ADB=2sin45°∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,∴cos∠ADB=1-(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=25.∵DC=22∴BC=BD2+18.解(1)由cosA=-13得sinA=1-∵asinC=42,∴S△ABC=12absinC=12×42b=12bcsinA,∴42=22(2)若选①,a=6,则a=c.又cosA<0,∴∠A为钝角,故△ABC不存在.若选②,bsinC=1023,如图,作AD垂直BC于点D,则BC边上的高AD=1023,此时sinB=ADc=52又cosA=-13,∴A∈(π2∴∠A+∠B∈(3π4,π∴△ABC存在,此时BC边上的高AD=102若选③,S△ABC=102.由(1)知S△ABC=12×42b=102,解得b=5由余弦定理得,a=b2+∴△ABC存在.又S△ABC=12·a·AD∴12·a·AD=102,解得AD=201