成都八年级下期末数学B卷几何压轴题汇编一(含答案)

最新成都八年级下期末数学B卷几何压轴题汇编一

一.解答题(共60小题)

L如图1,揩ZiABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰ABED

和等腰ADHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边

形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.

。)将ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线

殁-----------------；S矩拶师：SABCD=----------

0平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求

AD的长.

0如图4,四边形ABCD纸片满足AD//BC,ADvBC,ABj_BC,AB=8,CD=10,小明把该纸片

折会，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长.

2如图1,矩形0ACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上,且点C(6,10),点D(0,2),点P为矩形AC、

CB两边上的一个点.

(1)当点P与C重合时，求直线DP的函I数解析式;

(2)如图②，当P在BC边上.将矩形沿着OP折叠，点B对应点B恰落莅AC边上，求此时点P的坐标.

(3)是否存在P使4BDP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.3.如图，在平面直角坐标系中，已知OABC的顶点A(10,0)、C(2,4),点D是OA的中点，点

P在

BC上由点B向点C运动.

（1）求点8的坐标；

（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为，秒，当四边形PCDA是平行四边形时,

求f的值；

（3）当△0D尸是等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

4.分层探究

（1）问题提出：如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，Z£4F=45°,连接EF.求证：

EF=BE+DF,解题思路：把AABE绕点4逆时针旋转度至AADG,可使AB与AD重合.由/FDG

=AQG+NAOC=180°,则知“、。、G三点共线，从而可证」）,从而得EF

=BE+DF,阅读以上内容并填空.

（2）类比引申：如图2,四边形ABCO中，AB=AD,ZBAD=90°,点E、尸分别在边BC、CD±,

NEA/=45°.探究：若NB、N。都不是直角，当/8、N。满足什么数量关系时，仍有EF=BE+DF?

（3）联想拓展：如图3,在△人8c中，ZBAC=90°,AB=AC,点。、E均在边8C上，并且

5.如图，在平行四边形ABCD中，ZBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻

边作平行四边形ECFG,如图1所示.

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；

（2）若NABC=120°,连接BG、CG、DG,如图2所示,

①求证：△DGC9ABGE；

②求N8QG的度数；

(3)若NA8C=90°,4B=8,AO=14,M是E/的中点,如图3所示，求。M的长.

6.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（-26,0）,将x轴绕点A逆时针旋转30°得直线/,直

线/交），轴于点B.过点4作直线/的垂线交x轴于点C.

（1）求直线BC的解析式;

（2）线段A8,8C的中点分别是D,E,点尸在x轴上，且以点D,E,C,F为顶点的四边形是平行四

边形，求点F的坐标；

（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使以这两点及点4,B为顶点的四边形是正方形？若存在,

请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，已知乙4。8=60°,在乙4。8的平分线OM上有一点。（不与点。重合）.将一个120°角的顶

点与点。重合，它的两条边分别与直线。4,OB相交于点D,E.

（I）如图1,当NDCE绕点、C旋转到CD与Q4垂直时，求证：OZ）+OE=JSoC；

⑵如图2,当/OC£绕点C旋转到。。与OA不垂直时，（I）中的结论是否还成立？若成立，请证明；

若不成立，说明理由；

（3）当NOC£绕点C旋转到CO与OA的反向延长线相交时，线段OD,OE与OC之间又有怎样的数

量关系？请直接写出你的结论，不需证明.

8.如图，在平面直角坐标系中,直线y=2x+4与x轴交于点A,与>>轴交于点B,过点B的直线交x轴于

点C,且6c面积为10.

（1）求点C的坐标及直线BC的解析式.

（2）如图1,设点F为线段AB中点，点G为），轴上一动点，连接FG,以FG为边，点G为直角顶点

向右侧作RtZXFGQ,且FG：GQ=1：2,在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G

的坐标.

（3）如图2,若M为线段BC上一点,且满足SAMBAOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上

是否存在点Q，使以点D,E,B,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

图1图2

9如图，在△ARC中，AC=RC=\2,Z4C«=120°，点D为边作

等边△（；/）£

(1)如图1,若NCD4=45°,求CO的长.

（2）如图2,点。在48边上移动过程中，连接AE,取AE的中点F,连接CE

①求证：BCVCF.

②如图3,连接。R过点。作OGJ_BC于点G,将△CFD沿C77翻折得△CF。'，连接AD',求出当

AD,取最小值时，OG的长.

10.如图1,直线y=-2x+〃"为常数）交x轴的正半轴于点4（2,0）.交），轴正半轴于点注

<1）求直线人8的解析式；

（2）点C是线段AB中点，点尸是x轴上一点，点。是y轴上一点，若以4、C、P、Q为顶点的四边

形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；

（3）如图2,若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为3以AP为底作等腰4APM（点M在x

轴下方），过点A作直线/〃PM.过点。作OE_L/1M于E,延长EO交直线/于点尸，连接PF、OM,若

2NPFO+NAFE=180°,请用含，的代数式表示△PMO的面积.

\

0\

图1囱2备用囹

11.在正方形ABCD中，线段£尸交对角线AC于点G.

（1）如图1,若点E、尸分别在A3、C。边上，AE=CF,求证：FG=L:G；

（2）如图2,若点F在A8边上，点尸在边的延长线上，且AE=C7二（1）中结论是否依然成立？

请说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接DG并延长交BC于点H,若BH=5,BE=\2.求正方形A8C。的面积.

01图2图3

12.(1)如图1,在中，AB=5,4c=3,AO为〃C边上的中线.延长4。到点£使DE=AO,连

接8E(或将△AC。绕着点。逆时针旋转180°得至［「△EB。)，把人仄AC,2人。集中在△ABE中，利用

三角形三边的关系即可判断中线AQ的取值范围是.____

(2)如图2,在RtAABC中，NA=9()“，O为8c的中点，£、F分别在边AB、AC上，且DEVDF,

若RE=2*CF=5,求E厂的长.

(3)如图3,四边形A8CO中，ZA=90°,ZD=120°,E为AD中点、,F、G分别边人B、CD±,且

EF1EG,若AF=4,DG=2限求G/长.

B如图1,将矩形OA4C放在直角坐标系中，。为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，04=4,0C=8.把

矩形OABC沿对角线03所在直线翻折，点C落到点。处，。。交A3于点E.

(1)求点E坐标.

(2)如图2,过点D作DG//BC,交OB于点G,交AB于点H,连接CG,试判断四边形BCGD的形

状，并说明理由.

(3)在(2)的条件下，点M是坐标轴上一点，直线08上是否存在一点N,使以。、D、M、N为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由.

u已知点E,产分别是平行四边形ABC。的边8C,CD上的点，NE4F=60°.

（1）如图1，若A8=2,AF=5,点£与点从点尸与点。分别重合，求平行四边形A8C0的面积:

(2)如图2,若4B=BC,NB=NE4产=60°,求证：AE=AF；

(3)如图3,若BE=CE,CF=3DF,A8=4,AF=6,求AE的长

度.图1图2图3

15.如图I,平面直角坐标系中，直线），=-工+加交x轴于点A（4,0）,交），轴正半轴于点B.

4

（1）求△403的面积：

（2）如图2,直线AC交y轴负半轴于点C,AB=BC,P为线段AB（不含A,B两点）上一点，过点尸

作y轴的平行线交线段AC于点Q,设点P的横坐标为/,线段PQ的长为d,求〃与/之间的函数关系

式；

（3）在（2）的条件下，历为线段CA延长线上一点，且4M=CQ,在直线AC上方的直线AB上是否存

在点N,使4Q例N是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说

16.如图，在正方形A6CD中，对角线AC与6。相交丁点O,以6为顶点的等腰RlABEF绕点6旋转,

连接A/7与CE相交于点G,连接DG.

(1)求证：CE_LAB

(2)求证：AG+CG=®DG；

(3)连接CR当EG：AG：FG=\：2：5,.且S尸方楼c厅时，求。G的长和ABa•的面积.

17.如图1,在平面宜角坐标系M7)，中,已知宜线AB：)，=-工+3与直线CD；y=G-2相交于点M(4,

2

a),分别交坐标轴于点4、B、C、D,点P是线段C。延长线上的一个点，的面积为15.

(1)求直线C。解析式和点P的坐标；

(2)在(1)的条件下，平面直角坐标系内存在点M使得以点B、MM、P为顶点的四边形是平行四

边形，请直接写出点N的坐标；

(3)如图2,当点P为直线C。上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接PQ与

。。•点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成直线的解析式，以及OQ的最小值.

图1图2

18.如图，在矩形A8C0中，0A=8,OC=6,D,£分别是ABBC上一点,AD=2,CE=3,OE与CD

相交于点F.

(1)求证：OE_LCD；

(2)如图2,点G是CO的中点，延长OG交8C于从求CH的长.

19.如图，在△A8C中，NB=NACB=45°,AB=37历，点力是BC上一点，作。E_L4/)交射线AC于£

D/7平分NAOE交AC于F.

(1)求证：AB・CF=BD,CD；

(2)如图2,当NAEQ=75°时，求CT的长:

20.如图1,A8CD在平面直角坐标系xQv中，已知点4(7,0)、B(0,4)、C(3,2),点G是对角线

AC的中点，过点G的直线分别与边A3、CD交于点、£、几点。是直线£尸上的动点.

(1)求点。的坐标和S四边形BEFC的值；

(2)如图2,当直线石尸交X轴于点〃(5,0),且5,附c=S四造旧跖七时，求点P的坐标；

(3)如图3,当直线石厂交3轴于点K(3,0)时，在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、4、Q、

C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

参考答案

一.解答题（共30小题）

L如图L将纸片沿中位线EH折叠,使点4的对称点。落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BE。

和等腰的底边上的高线所，"G折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边

形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.

（1）将。A8CD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形4EFG,则操作形成的折痕分别是线段

9—；S短形人七巾：SJABCD=—L■上一•

（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求

4。的长.

（3）如图4,四边形A8C。纸片满足AD//BC,AD<BC,AB±BC,A8=8,CQ=10,小明把该纸片折

春，得到登合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出A力、8c的长.

【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；

由折叠的性质得：AABE丝AAHE,四边形AHFG三四边形DCFG,

•••△A8E的面积=的面积，四边形八〃FG的面积=四边形QC户G的面积,

***S^AEFG="^°ABCDf

，S矩形AEFG：S^ABCD=1:2;

故答案为：AE,GF,1:2：

（2）•・•四边形EFG”是矩形，EF=5,EH=\2,/FEH=90“，

・•・FH=y]EF2+EH2=J52+122=13,

由折叠的性质得：DH=NH,AH=HM,CF=FN,

:.CF=AH,

：.AD=DH+AH=HN+FN=FH=\3；

（3）有以下三种基本折法:

①折法1中，如图4所示:

由折叠的性质得：AD=BG,AE=BE=J«=4,CF=DF=G^=5,GM=CM,ZFMC=90°,

•・•四边形EFMB是叠合正方形，

：.BM=FM=4,

JGM=CA/=^p2_pM2=^52_42=3,

：.AD=BG=BM-GM=1.BC=BM+CM=1-

②折法2中，如图5所示：

AD

图5

由折叠的性质得：四边形EM4G的面积=声形A8C。的面积，AE=BE=3=4,DG=NG,NH=

CH,BM=FM,MN=MC,

・・・G〃==5,

•・•四边形EMHG是叠合正方形，

:・EM=GH=5,正方形EM〃G的面积=52=25,

VZB=90°,

JFM=BM=^2-42=3'

设AD=x,则MN=FM+FN=3+x,

•・•梯形A4C。的面积」"(AABC)X8=2X25,

2

OR

：.AD+BC=­f

2

：.BC=--x,

2

25

：.MC=BC-BM=--x-3,

2

,:MN=MC,

._25a

..37+x-------K-3,

2

解得：工=也，

4

1Q25_2137

・"£)=*,BC=・=

4

作GM_L6c于M,

图6

则E,G分别为AB,C。的中点,

则4〃=4£=6E=4F=4,CG=[cQ=5,正方形的边长Eb=G"=虫回,

乙

GM=FM=4,CA/=^52-42=3,

：,BC=BF+FM+CM=\\,FN=CF=1,DH=NH=8-1=\,

：,AD=5.

2如图1,矩形CMC8的顶点A、8分别在x轴与y轴上，且点C（6,10）,点。（0,点P为矩形AC、

CB两边上的一个点.

（1）当点P与。重合时,求直线QP的函数解析式;

（2）如图②，当P在BC边上，将矩形沿着。尸折叠，点B对应点8恰落在4C边上，求此时点尸的坐

标.

(3)是否存在尸使△BDP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)VC(6,10),

，。4=6,OB=lO,

设此时直线OP解析式为y=k.x+b,

(4

把。(0,2).C(6.10)分别代入，得(b=2,解得工方，

(6k+b=10［匕=2

则此时直线OP解析式为y=1r+2：

(2)设10),则PB=M=〃?，如题干图2,

YOB'=04=10,0A=6,

•••"，2-0A2=8,

工B'C=10-8=2,

VPC=6-w,

・・・机2=22+(6-W)2,解得

3

则此时点。的坐标是(卫，10)；

3

(3)存在，理由为：

若△8QP为等腰三角形，分三种情况考虑，如卜.图，

①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8,

在RlZiBCP]中,8P]=8,BC=6,

根据勾股定理得：CPi=7s2-62=2^

/MP|=10-2>/7,即Pi(6,10-2>/7);

②当8尸2=。尸2时，此时尸2⑸6）;

③当。8=力23=8时，

在RtZXOEPa中，DE=6,

根据勾股定理得：P正=如2_产2干,

：.AP3=AE+EP3=2^+2,即R（6,2听+2）,

综上，满足题意的P坐标为（6,6）或（6,2^7+2）或（6,10-2^7）.

3如图，在平面直角坐标系中，已知00ABe的顶点人（10,0）、C（2,4）,点。是。4的中点，点P在

BC上由点B向点C运动.

（1）求点8的坐标；

<2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为1秒，当四边形PCDA是平行四边形时;

求，的值；

【解答】解：如图1，过C作CE_L0A于E,过8作8nLQ4于F,

•・•四边形0ABe是平行四边形，

：・0A=BC,0A//BC,

VA,C的坐标分别为(10,0),(2,4),

••・04=10,0E=AF=2,

：.BC=\0,

：.B(12,4)；

（2）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形,

由题意得:PC=10-2r,

•・•点。是的中点,

扣5,

：.OD=BC=AD=

•・•四边形PCD4是平行四边形,

：.PC=AD,即10-21=5,

.・.当少时，四边形PCD4是平行四边形;

乙

（3）如图2,①当尸。=。。=5时，过户作PE_LO4于E,

则PE=4,

:,DE=3,

：.P]<8,4）,

当点P与点。重合时，PD=OD=5；

②当PD=OP0'j,过P作PnLOA于F,

则P尸=4,OF得

：.（―»4）；

32

③当。。=。。=5时，过0作PG_LQA于G,

则PG=4,

，OG=3,

：.Pi(3,4),

综上所述：当△OOP是等腰三角形时，点尸的坐标为（8,4）,（54),(3,4),(2,4).

?

4分层探究

(1)问题提出：如图1,点£、〃分别在正方形A8C。的边8C、CQ上，Z£4/'=45°,连接ER求证：

EF=BE+DF,解题思路：把△4BE绕点A逆时针旋转90序至△ADG,可使AB与AD重合.由NFQG

=ADG+ZADC=\SOa,则知F、。、G三点共线，从而可证AAFGt&AFE(SAS),从而得

EF=BE+DF,阅读以上内容并填空.

(2)类比引申：如图2,四边形ABCD+，AB=AD,N8AD=90°,点E、尸分别在边8C、CD±,

ZEAF=45°.探究：若NB、N。都不是直角，当NB、N。满足什么数量关系时，仍有EF=BE+DF?

(3)联想拓展：如图3,在△aBC中，ZBAC=90°,48=4C,点£＞、E均在边8c上，并且/D4E=

45°.猜想B。、CE、OE的数量关系，并给出理由.

3A_________-4BA

【解答】解:(1)，：AB=AD,

・•・把△ABE绕点人逆时针旋转90°至△八DG,可使人8与人。重合.

：.ZBAE=ZDAG,

■:NBAD=90',Z£AF=45O,

：,ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZEAF=ZFAG,

VZADC=ZB=9(r,

/.ZFDG=180°,

・•・点F、Q、G共线，

在△4FE和△AFG中，

M二AG

ZEAF=ZGAF,

研二AF

:.△AFG9XAFE(SAS'),

：,EF=FG,

即EF=BE+DF,

故答案为：90,△AFE,SAS；

(2)当N8+NQ=180°时，EF=BE+DF,如图2

工

图2”

'：AB=AD,

・••把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使48与A。重合，

：,ZBAE=ZDAG,

•.•NBAO=90°,NEA尸=45°，

：,ZBAE+ZDAF=45°,

・•・“"=NF4G,

VZADC+ZB=\S(r,

.\ZFDG=I8O°,

・••点F、D、G共线,

在△?1/月和△AFG中，

'心AG

ZEAF=ZGAF,

AF=AF

.•.△AFES"FG(SAS),

:・EF=FG,

即EF=BE+DF,

故答案为:ZB+ZD=180°：

(3)猜想：DO=BD2+EO,

证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE',连接DE',如图3,

：.XACE9XABE',

:.BE'=CE,AE'=AE,4C=/ABE',ZCAE=ZE'AB,

*：AB=AC,

・・・/A8C=NAC8=45°,

AZABC+ZABE'=90°,即/E'80=90。,

：.ErB2+BD2=E'02,

又•••ND4E=45°,

・・・N84D+NEAC=45°,

/.ZE/AB+ZBAD=45°,即/E‘AQ=45°=ZEAD,

在△4OE'和△4OE中，

N=AE

/DAE'=ZDAE,

AD二AD

••.△AOE'^AADECSAS),

：,BE'=DE,

：.DE2=BD2+CE^.

5如图，在平行四边形ABCD中，ZBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻

(2)若NA3c=120°,连接BG、CG、DG,如图2所示,

①求证：△DG84BGE;

②求N3OG的度数：

(3)若NABC=90°,AB=8,AD=\4,W是斯的中点，如图3所示，求QM的长.

【解答】解：(1)证明:

尸平分N84Q,

:.NBAF=NDAF,

•・•四边形48C。是平行四边形，

:,AD〃BC,AB//CD,

:./DAF=/CEF,NBAF=NCFE,

・•・/CEF=ZCFE,

：,CE=CF,

又•••四边形ECFG是平行四边形，

・•・四边形ECFG为菱形;

(2)①'・•四边形A8CO是平行四边形,

・・・AB〃OC,AB=DC,AD//BC,

VZABC=120°,

AZBCD=60o,NBC/=120°

由(1)知，四边形CEGF是菱形,

,CE=GE,N8CG=/BC"=60。，

:.CG=GE=CE,NQCG=120°,

'：EG//DF,

••・/"G=120°=ZDCG,

•・YE是NBA。的平分线，

；・NDAE=NBAE,

■:AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

/.^BAE=/AEB,

:.AB=BE,

:.BE=CD,

：.4DGC名ABGE(SAS)；

②•：△DG84BGE,

：.BG=DG,Z13GE=ZDGC,

:.NBGD=NCGE,

•:CG=GE=CE,

•••△CEG是等边三角形,

AZCGE=6(r,

••・NBGO=60°,

°：BG=DG,

・•・△BOG是等边三角形,

•••NBOG=60°；

连接BM,MC,

VZA5C=90°,四边形4BCD是平行四边形,

・•・四边形A8C。是矩形,

又由（1）可知四边形ECFG为菱形,

ZECF=9(Y>,

・•・四边形ECFG为正方形.

*：ZBAF=ZDAF,

：.BE=AB=DC,

•・・M为E尸中点,

••・NC£M=N£CM=45°,

AZBEM=ZDCM=135°,

在和△OMC中,

BE=CD

•JZBEM=ZDa,

EM=CM

JABMEm△OMC(SAS),

NDMC=NBME.

/BMD=NBME+NEMD=NDMC+NEMD=900，

•••△BM。是等腰直角三角形.

VAB=8,AD=14,

:.BD=2\I'&5,

・•・DM=^-BD=A/130.

方法二：过M作尸于H,

TNA8c=90"，四边形A8CD是平行四边形,

・•・四边形A8CD是矩形，

又由（1）可知四边形ECFG为菱形,

NEC厂=90°,

・•・四边形ECFG为正方形,

A7CEF=45°.

AZAEB=ZCEF=45°,

BE=AB=S，

.*.C£=CF=14-8=6,

,:MH〃CE,EM=FM,

・•.0^=^712772=>/130.

图4

6.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（-2V3,0）,将x轴绕点A逆时针旋转30。得直线/,直

线/交），轴于点B,过点B作直线/的垂线交x轴于点C.

<1）求直线的解析式；

（2）线段A&"C的中点分别是。，£,点尸在入轴上，且以点，E,C,〃为顶点的四边形是平行四

边形，求点F的坐标；

（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，便以这两点及点A,B为顶点的四边形是正方形？若存在,

请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由.

-2^3,0),

；.OA=2®,

由旋转得：/84。=30°,

RlZXABO中，；・0B=2,AB=4,

：,B(0,2),

'：ABLBC,

・・・NABC=90°,

4L873

.*.BC=y7^,AC=2BC=

.・.如=隼-降¥

33

AC0),

3

设直线的解析式为：尸k壮b.

・•・直线BC的解析式为：y=-J&+2；

（2）分两种情况：

①如图2,四边形OEb是平行四边形,

VA(-2A/3,0),B(0,2),

・・・44的中点D(-V3,1),

同理得8c的中点E(喙，1),

2a

VC(-y2-,0),

2a

••F(------,0)；

3

同理得：F（2«,0）；

综上，点尸的坐标为（0）或（2«,0）；

（3）在平面直角坐标系内存在两个点，使以这两点及点A,8为顶点的四边形是正方形，有两种情况:

①如图4,AB为边,存在正方形4用VM和正方形ABPQ,

,：ZMAB=90°=ZMAG+ZBAO=ZBAO+ZABO,

：.ZABO=ZMAG,

VZAGM=ZAOB=90°,AM=AB,

•••△MGAdAO8(AAS),

・・・MG=AO=2a，AG=OB=2,

：,M(-2-2\[3,2退)，

同理得N(-2,2+25/3),P(2,2-2^3),Q(2-2-73,-25/3),

②如图5,A8为正方形的对角线，过点尸作MN〃工轴交y轴于N,过A作4M_LMN于M,

•・•人B=4,四边形人P8Q是正方形，

：.AP=BP=2\I'2,

VZAMP=ZBNP=90°,4PAM=NBPN,

•・.△AM尸也△PNB(/US),

:.PN=AM=ON,

设PN=m,贝ljBN=2+〃?，

RtZkBPN中，由勾股定理得：PB?=P^+BN^,

・•.(2>/2)2=m2+(2+w)2,

(tn+1)2=3,

解得：〃?l-1,小2=■1(舍)，

:.p(1-V3,1-V3),

同理得:0(-1-V3,1+V3)；

综上，这两点的坐标为(・2・22^3),(-2,2+2A/3)或(2,2-2^3),(2-2弧,-2^3)或

(1-V3.1-V3),(-1-V3,1+V3).

7.如图，已知N4OB=60°,在NAOB的平分线0M上有一点C(不与点。重合).将一个120°角的顶

点与点C重合，它的两条边分别与直线OA,08相交于点D,E.

（1）如图1,当NOCE绕点C旋转到C。与。4垂直时，求证：OD+OE=42OCx

②如图2,当NOC£绕点C旋转到。。与OA不垂直时，（I）中的结论是否还成立？若成立，请证明;

若不成立，说明理由；

<3）当NDCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，线段OD,OE与OC之间又有怎样的数

量关系？请直接写出你的结论，不需证明.

【解答】解：(1)〈OM是NAOB的角平分线,

・•・ZAOC=NBOC=±AOB=30°,

,：CDLOA,

：.ZODC=90°,

・・・NOC7)=60°，

，/OCE=/DCE・/OCD=GO°，

在Rt/SOC。中，OO=OC・cos300=

同理：。E=喙。。,

/.OEHOE=^3OC；

(2)(1)中结论仍然成立，理由：

如图2,过点。作C/_LOA于F,CG_L08于G,

：.ZOFC=ZOGC=9Q°,

•・•/A0B=6(T,

：.ZFCG=\20°,

同(1)的方法得，OF=^^-OC,OG=-^-OCf

・•・OF+OG=0OC,

-CFLOA,CG10B,且点C是乙4。月的平分线0M上一点,

:・CF=CG,

*：ZDCE=\20°,ZFCG=120°,

:./DCF=/ECG.

:.△CFDWACGE(ASA),

:.DF=EG,

：.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,

：，OF+OG=OD^EG+OE-EG=OD+OE,

：・OD+OE=MOC、

(3)结论为：OE・OD=M()C,

理由：如图3,过点。作CRLOA于F,CG1.OB于G,

：,ZOFC=ZOGC=9()0,

•・・N4OB=6(r,

AZFCG=120°,

同(1)的方法得，OF=?OC,OG=^-OC,

・•・OF+OG=43OC,

-CFLOA,CG1OB,且点C是NAOA的平分线OM上一点,

:.CF=CG,

*：ZDCE=\20°,ZFCG=120°,

・•・ZDCF=/ECG,

:.△CFD94CGE(ASA),

：.DF=EG,

：.OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

・•・OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,

：.0E-OD=^OC.

8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A,与>-轴交于点B,过点B的直线交x轴于

点C,且△ABC面积为10.

（1）求点C的坐标及直线8C的解析式.

（2）如图1,设点尸为线段AB中点，点G为），轴上一动点，连接FG,以FG为边，点G为直角顶点

向右侧作RtZ\bGQ,且FG：60=1：2,在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G

的坐标.

（3）如图2,若M为线段8C上一点，旦满足5.广*40/点后为直线AM上一动点，在x轴上

是否存在点。，使以点D,E,B,C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）直线1y=2x+4与4轴交于点A,与），轴交于点处则点A、8的坐标分别为:（-2,0）、

（0,4）,

11

△A8C面积=^XACXOB==XACX4=10,解得：AC=5,故点C（3,0）,

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：），=-劣+4…①；

（2）设点G（0,〃?），点广为线段48中点，则点尸（7,2）,

①当点G在），轴上方时,

过点G作x轴的平行线MN,过点F、Q分别作y轴的平行线分别交MN于点M、N,

VZA/GF+ZGFA/=90°,ZMGF+ZNGQ=90a,

:.NNGQ=/GFM,

/GNQ=/FMG=90°,

:.丛GNQs^FMG,

.MFMGGF1m-211

••，=，=，=.9Ua|Jn''=，='9

GNNQGQ2GNNQ2

故：GN=2〃？-4,QN=2,故点Q(2/"-4,W-2),

将点。的坐标代入>'=-恭并解得：片普

故点G的坐标为(0,当•)；

②当点G在y轴下方时，

同理可得：点G（0,2）（舍去）；

故点G（0,-yy-）；

（3）设N为线段8c上一点且S^ANB=S^0B,则ON//AB,

则直线ON的表达式为：y=2x“•②，

联立①②并解得：工=考■故点N（卷

•SA”8=寺..ANB'

:.M为N8的中点，

.z316、

・.M（—F），

55

同理直线人M的表达式为：），=西工+丝，

'1313

设点E（〃?，也〃?■图）,点。0）,

1313

①当BC是平行四边形的边时，

点B向右平移3个单位向下平移4个单位得到C,

同样点E（。）向右平移3个单位向下平移4个单位得到。（E）,

则〃?+3=〃,-4=0或m-3=n,=0.

13131313

解得：〃=¥■或〃=--Y；

44

②当BC是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：〃[+〃=3,-^-/.7-Hyy+4=0,

JLO«LO

京〃4H33

解得：，

4

故点D的坐标为：（工，0）或（-20）或（£3,0）.

444

9.如图，在△ABC中，AC=BC=\2,NACB=120°,点。是AB边上一动点，连接CD,以CO为边作

等边△（7/）£

（1）如图1,若/CD4=45°,求CD的长.

（2）如图2,点D在A8边上移动过程中，连接4E,取4E的中点F,连接。尺

①求证：BCLCF.

②如图3,连接。F,过点。作Z）G_LBC于点G,将△CF。沿C77翻折得△C77。’，连接AD',求出当

图3

VAC=BC=12,N4CB=120°,

ZA=30°=NB,

又•••CH_LAB,

・・・C〃=&C=6,

2

VZCDA=45°,

：.ZCDH=ZDCH=45°,

:.CH=DH=6,

C£>=也伊十DH』=出6+36=6^/2；

是等边三角形.

:.CD=CE,NOCE=6()°,

VZACB=120°,

；・NBCG=60°=NDCE,

:・/DCB=/ECG,

又•：AC=BC=CG,CD=CE,

•••△GCE/△FCO(SAS),

/.ZG=Z/?=30°,EG=BD,

•・•点/是AE的中点，

:.AF=EF,

又・・・4C=CG,

：.CF//EG,CF=^G,

・・・N4C5=NG=30°,

ZBCF=4ACB-ZACF=90o,

ABCXCF；

②由(2)可知：CF=^G,EG=BD,BC1CF,

VDG±BC,ZB=3()0,

••・QG=寺。，CF//DG,

:.DG=CF,

・•・四边形C/DG是平行四边形，

又♦:CFLBC,

・•・四边形CTOG是矩形，

：.ZCFD=90<>,

•・•将沿。尸翻折得△CFD',

；・NCFD=/CFD=90°,DF=D'F,

；・NDFA=NEFD,

y.-：AF=EF,

AAFD'^AEFD(SAS),

：,DE=AD\

:△CQE星等边三角形，

：，CD=DE=AD',

，当CO_LA3时，。。有最小值，即AD有最小值,

此时，NB=30°,CD1AB,

・・.CD=4C=6,BD=港CD=6点,

2

；・DG=』D=3M.

2

10.如图1,直线），=-2x+b（。为常数）交x轴的正半轴于点4（2,0）.交y轴正半轴于点B.

（1）求直线的解析式；

（2）点C是线段AB中点，点夕是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边

形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；

（3）如图2,若点夕是大轴位半轴上一点，设点P的横坐标为I,以AP为底作等腰AAPM（点M在x

釉下方），过点4作直线/〃PM.过点。作O从LAM于E,延长EO交直线/于点尸，连接PF、OM,若

2/尸/。+/4/^=180°,请用含，的代数式表示△PM。的面积.

【解答】解：（1）•・•直线产-标+力（）为常数）交x轴的正半轴于点A（2,0）,

0=-4+b,

：.b=4,

・•・直线A8解析式为：），=-2x+4；

（2）•・•直线），=-2x+4（/）为常数）交），轴正半轴于点B,

工点B（0,4）,

•・•点C是线段4?中点，

・••点C（1,2）,

•.•点。是r轴上一点，点Q是y轴上一点，

・•・设点尸（x,0）,点。（0,y）,

当AC为边时，若四边形ACQP是平行四边形时，

ACQ//AP,CQ=AP,

・•・），=2,

/.CQ=1=AP,

・••点P（1,0）,

若四边形ACPQ是平行四边形时，

・・・4。与CQ互相平分，

•.•1+01—x+2，

22

・・・x=-1,

・,•点P(-1,0),

当AC为对角线时，若四边形APCQ是平行四边形时，

JAC与PQ互相平分，

•.•1+21—0+x9

22

，x=3,

点尸(3,0)；

综上所述：点P坐标为(1,0)或(-1,0)或(3,0)；

(3))•••△AMP是等腰三角形，MP=M4,

：.ZMAP=ZMPA,

设NM"=a,

•・•直线UiMP,

：.ZFAP=ZMPA=a,

：.ZFAE=2a,

'：FE±AM,

：,ZFEA=90°,

Z^FE=9O0-2a,

又•；NNFP+NPFO+NAFE=180°,2ZPFO+ZAFE=\SO°；

：.ZNFP=ZPFO=180°-ZAFE)=[-^0°-(90°-2a)]=45°+a,

又丁NN尸尸=/FPA+/FAP,

.*.45°+a=ZFPA+a,

：.ZFPA=45°,

过点。作PN