四川广安市加德学校2025-2026学年高二（领航班）下学期期中考试数学试题（含答案）

PAGE2广安加德学校2025-2026学年下期高2024级领航班半期考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的展开式中常数项为（）A.10 B.15 C.20 D.302.记为等差数列的前项和．若，则（）A.140 B.150 C.160 D.1803.已知随机变量，，且，，则（）A. B. C. D.4.某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为（）A. B. C. D.5.函数在点处切线的斜率为1，则的最小值为（）A B. C. D.6.某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（）A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.27.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》中，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前四项分别为:，则下列说法错误的是（）A. B.C.数列是单调递增数列 D.数列有最大项8.已知直线与双曲线分别相交于两个不同的点，是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设函数，则（）A.在上单调递减 B.时，的值域为C.有三个零点 D.曲线关于点对称10.已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（）A. B.数列QUOTE是等差数列C. D.11.已知函数，定点，下列说法正确的是（）A.的极大值为B.方程有三个解C.若不等式恰好有两个整数解，则的最小值为D.曲线QUOTE上任意一动点，以为直径且与轴相切的圆有2个三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知随机事件，，若，，，则.13.在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________.14.从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可达到点的概率为，则的值为________，________（用含的式子表示）.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若，且a1＝2．（1）证明：为等差数列，并求Sn．（2）若，数列{bn}的前n项和Tn，求证：．16．广安市拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，且．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）已知P为线段B1C中点，求直线AP与平面A1CD所成角的正弦值．18．（17分）已知椭圆Γ：，Γ的下顶点为C，左焦点为F1，动直线l与椭圆Γ交于A、B两点．（1）若T是椭圆Γ上的一个动点，求|TC|+|TF1|的最大值；（2）设，O为坐标原点，若四边形OABE为平行四边形，求直线l的方程；（3）若直线l经过定点P（0，1），坐标平面上是否存在定点Q（不同于点P），使得|QA|•|PB|＝|PA|•|QB|恒成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．（17分）已知函数f（x）＝（x2﹣ax+1）lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上各恰有一个零点，分别记为x1和x2．（i）证明：函数f（x）在两点（x1，0），（x2，0）处的切线平行；（ii）记曲线y＝f（x）在点（x1，0）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值．广安加德学校2025-2026学年下期高2024级领航班半期考试数学试题答案1.C2.B3.D4.A5.C6.B7.D8.C9.AD10.BCD11.AC12.13.14.①；②8.【详解】将代入双曲线方程中，整理得，得，设，则，，所以，所以，令，设，则，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，则当时，函数取得最小值，此时，所以，解得，所以.10.【详解】设等比数列的公比为，由，取，可得，即①，再取，可得，即②，因，由，得，将①代入，得，即，解得或，当时，，舍去；当，，则，故A错误；因，则，由，可知数列是等差数列，即B正确；因，则，故，即C正确；由可得，则QUOTE.故D正确.11.【详解】对于A，设QUOTE，求导得：，令，得；时

，单调递增；

时，单调递减，故极大值为

，A正确；对于B，设，当时，由解析式可知单调递增，且QUOTE，又，由零点存在性定理可知在

有1个零点，当时：，令则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即的最小值为即当时，，在单调递增，又，因此当，无零点，综上可知方程总共只有1个解，B错误；对于C，QUOTE，代入，可得：，化简可得QUOTE，由题意不等式恰好有两个整数解，由于直线恒过定点，由A得到的图象，结合图象可知：这两个整数解只能是1和2，故，解得，即的最小值为，故C正确，对于D，以为直径的圆，设圆心为的中点QUOTE，半径QUOTE.由于圆与轴相切，因此可得：QUOTE，化简得：，即，联立方程，消去得：，即.设，可得：，令，则，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.又QUOTE，QUOTE，，因此可得：在QUOTE和各有一个零点，即存在QUOTE和QUOTE，使得，由此可得：当时，在单调递增；当时，在单调递减；当时，在单调递增；又QUOTE，QUOTE，，，，由此可得：在和和存在三个零点；即方程存在两个正根一个负根，再将根代入时可得：对于负根，对应无解，对于正根，对应有正负两种情况.因此可得：以为直径且与轴相切的圆有4个，故D错误.15.【答案】（1），所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以；（2），＝．16.解：（1）由题意可知，所求概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，．则X的分布列为：X123P∴．设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，则Y的分布列为：Y0123P∴．（或∵，∴）．（）由E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．17.解：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝BB1＝2，，，，则A1A⊥AD，又四边形BCC1B1是正方形，则B1B⊥BC，B1B∥A1A，所以A1A⊥BC，又AD∩BC＝B，AD，BC⊂平面ABC，因此A1A⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1，在等边△ABC中，D为AB中点，则CD⊥AB，又AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1．（2）取BC中点为O，B1C1中点为Q，则OA⊥BC，OQ⊥BC，由（1）知，A1A⊥平面ABC，OA⊂平面ABC，则OA⊥AA1.又B1B∥A1A，故OA⊥BB1，又BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，则OA⊥平面BCC1B1.即OA，OB，OQ两两垂直，以O为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），，，C（﹣1，0，0），，B1（1，2，0），因为P为线段B1C中点，所以P（0，1，0），，，，设平面A1CD的法向量为，则，则，即，故可取，设直线AP与平面A1CD所成角为á，则，所以直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为．18.解：（1）因为椭圆Γ：，则F1（﹣1，0），F2（1，0），C（0，﹣2），所以，当且仅当T、F2、C共线（F2介于T、C之间）时，等号成立，即|TC|+|TF1|的最大值为；（2）因为，O为坐标原点，所以直线OE：，由题知l平行于OE，可设直线l：，联立，化简得56x2﹣60bx+25b2﹣100＝0，则Δ＝3600b2﹣4×56（25b2﹣100）＞0，即，所以，由|AB|＝|OE|可知，，又，解得：，所以直线方程为或；（3）当直线l斜率存在时，设方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得（4+5k2）x2+10kx﹣15＝0，则，，当直线l平行于x轴时，|PA|＝|PB|，因此|QA|＝|QB|，此时Q在y轴上，设Q（0，m），当直线l斜率不存在时，不妨设A（0，2），B（0，﹣2），则有|QA|•|PB|＝|m﹣2|•3＝|PA|•|QB|＝|m+2|，解得m＝4或m＝1（舍），下面证明点Q（0，4）符合条件：设直线l：y＝kx+1，要证，即PQ是∠AQB的角平分线，只要证明kAQ+kBQ＝0，而，又2kx1x2﹣3（x1+x2）＝＝0，因而得证，综上，存在定点Q（0，4）．19.解：（1）当a＝2时，f（x）＝（x2﹣2x+1）lnx，则，令，则，故h（x）在（0，+∞）上递增，又h（1）＝2ln1+1﹣1＝0，则x∈（0，1）时，h（x）＜0，又x﹣1＜0，故f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，又x﹣1＞0，故f'（x）＞0，故f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；（2）（i）证明：当lnx＝0时，x＝1，根据题意，零点x1，x2分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不等于1，因此x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根，故x1+x2＝a，x1x2＝