专题07 数列求和（错位相减法）(典型例题+题型归类练)（解析版）

专题07数列求和（错位相减法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.类型一：乘型（其中是等差数列，是等比数列）类型二：除型（其中是等差数列，是等比数列）二、典型例题类型一：乘型（其中是等差数列，是等比数列）例题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知是数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式为，求的值．（特别说明，错位相减其中一种理解就是通过错位，使得齐次对齐，然后再相减）（特别说明，错位相减其中一种理解就是通过错位，使得齐次对齐，然后再相减）第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，令，则求解目标，属于典型的错位相减求和的模型.相减：（注意此处标识“”为错位相减法第一易错点，特别注意前面的“”号）化简求和：（注意此处等比数列求和只有项的和，所以求和时“”此处是“”而不是“”）感悟升华（核心秘籍）错位相减法的两个陷阱（易错点）：（1）在作差时，最后一项是“”号；（2）在化简求等比数列的和时，一定要数清楚是求“项和”，还是“项和”，也就是，还是，注意计算时的细节.【答案】(1)(2)(1)当时，，又，①当时，②

①−②得：，即，∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，∴．(2)，③，④③−④得：，所以．例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知数列，，点在曲线上，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)已知数列满足，记为数列的前项和，求.（特别说明，错位相减其中一种理解就是通过错位，使得齐次对齐，然后再相减）（特别说明，错位相减其中一种理解就是通过错位，使得齐次对齐，然后再相减）第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.相减：（注意此处标识“”为错位相减法第一易错点，特别注意前面的“”号）化简求和：（注意此处等比数列求和只有项的和，所以求和时“”此处是“”而不是“”）解答过程：【答案】(1)证明见解析(2)；证明见解析(1)因为点在曲线上，所以，因为，所以，因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列.(2)由（1）得，所以，所以，，所以，所以，所以.类型二：除型（其中是等差数列，是等比数列）例题3．（2022·湖南·模拟预测）设数列的前项和为，已知，.(1)求的通项公式；第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.但，求和前，最好化简通项为“乘型”，即：相减，化简，求和：（注意此处等比数列求和有项的和，所以求和时“”此处是“第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.但，求和前，最好化简通项为“乘型”，即：相减，化简，求和：（注意此处等比数列求和有项的和，所以求和时“”此处是“”而不是“”）解答过程：【答案】(1)(2)(1)，①当时，，②①-②得，∴，∴，∵，∴，∴也满足上式，∴为等比数列且首项为2，公比为3，∴.即的通项公式为.(2)由（1）知，所以，令，①得，②①-②得，所以.例题4．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，得，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.但，求和前，最好化简通项为“乘型”，即：相减：化简求和：解答过程：(2)若数列第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，得，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.但，求和前，最好化简通项为“乘型”，即：相减：化简求和：解答过程：【答案】(1)(2)(1)因为，所以，，…，所以．又，所以，所以．又，也符合上式，所以．(2)结合（1）得，所以，①，②①②，得，所以．三、题型归类练1．（2022·辽宁·沈阳市外国语学校高二期中）设数列的前n项和为，且满足，数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求．【答案】(1)(2)(1)解：∵，当时，两式作差得，即.当时，∴，∴为首项为2，公比为的等比数列，∴，∴，即，又，∴当时，，当时，，∴；(2)解：由题意则，①则，②①②得，∴，2．（2022·广东·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.【答案】(1)(2)(1)解：因为，所以，又因，所以，即，所以数列是以3为等比的等比数列，是以；(2)解：，则，，两式相减得，所以.3．（2022·河南郑州·三模（理））已知数列的前项和为，．(1)证明数列为等差数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2).(1)，，当时，，两式相减得：，即，则有，而，解得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．(2)由（1）知，，即，于是得，，因此，两式相减得：，所以.4．（2022·全国·模拟预测）已知公差为整数的等差数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).(1)解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，又，所以，所以．(2)解：因为，所以，所以，①，②①-②得，，所以．5．（2022·江西南昌·三模（理））已知数列为等比数列，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为，所以，两式相除可得，即，因为，所以，可得，所以，所以.(2)，则

①

②①-②可得：，故.6．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，．(1)证明：为等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)(1)由已知得．又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列；(2)由（1）可知．所以．记的前n项和为，则，且有，

①得，

②得所以所以．7．（2022·河南河南·三模（理））已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2).(1)设等差数列的公差为，则，所以.由，令得，当时，，两式相减得，也符合上式，所以.(2)，①，②，①-②得：，所以.8．（2022·全国·模拟预测（理））设数列满足，．(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析，(2)(1)解：因为，，所以，即又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以(2)解：由（1）可得，所以①，所以②，①②得即，所以；9．（2022·江西·二模（理））已知正项数列的前n项和为，，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)(1)令m=n=1，得，又，解得：或（负值舍去），令m=1，得，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.(2)由（1）可得，，所以