2023-2024学年广东省佛山市s6高质量发展联盟高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省佛山市S6高质量发展联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）要得到y=5sin(x+πA．向左平移π3个单位 B．向右平移π3C．向左平移π4个单位 D．向右平移π2．（5分）已知向量a→=(2，4)，b→=(3m，2)，若A．1 B．2 C．−23 3．（5分）cos121°cos61°+sin121°sin61°＝（）A．1 B．−12 C．124．（5分）已知复数z=2+i7A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（5分）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，e1→，e2→分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且〈e1→，e2→〉=π3，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记A．3 B．2 C．6 D．76．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin2C+csinA＝0，则C＝（）A．π3 B．2π3 C．2π57．（5分）已知0＜α＜π2，2sin3α＝3sinα，则sinA．33 B．64 C．1048．（5分）已知函数y＝sin（3x+φ）（0＜φ＜π）在区间(−2π9，A．[0，π6] B．[π6，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）若{eA．{eB．{3eC．{2eD．{（多选）10．（6分）已知函数f(x)=asinx+cos(x+π6)(a＞0)A．π6为f（x）的一个零点B．f（x）在区间(−π3C．将f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到的函数为奇函数D．当x∈[−π3，t]时，f（x）的值域为[−3（多选）11．（6分）如图，为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC，测量船沿航线DA航行，且DA与AC在同一铅直平面内，测量船在D处测得∠BDA＝α，∠CDA＝β，然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处，测得∠BEA＝γ，∠CEA＝δ（δ＞γ＞β＞α，测量船的高度忽略不计），则（）A．AB=msinγsinαB．BD=msinγC．BC=msinαD．CD=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）设a∈R，若复数（a﹣2i）（2+i）为纯虚数，则a＝．13．（5分）已知向量a→=(2，2)，b→=(2，6)，则a→14．（5分）“广佛之眼”摩天轮半径为50m，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心O距地面的高度为60m，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱10min时他距离地面的高度为m．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知z1＝5+10i，z2＝3﹣4i．（1）求z1z2的值；（2）设1z=116．（15分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC=7（1）求∠ADC及△ACD的面积；（2）若BC＝2，求AB的长．17．（15分）已知对任意平面向量AB→=(x，y)，把AB→绕其起点逆时针方向旋转θ角得到向量AP→=(xcosθ−ysinθ，xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A（1）已知平面内点A（2，4），点B(2+2，4+42)，若把点B绕点A沿顺时针方向旋转π4（2）已知AB→=(1，1)，把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，CD→=(2，6)，若18．（17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bsinA（1）求A；（2）若△ABC的重心为O，且3AO=2a，求19．（17分）已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0＜|φ|＜π2)（1）求f（x）的对称轴方程、对称中心以及单调递减区间；（2）若关于x的方程f2（x）+2af（x）+2a﹣3＝0在区间(0，π3)

2023-2024学年广东省佛山市S6高质量发展联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）要得到y=5sin(x+πA．向左平移π3个单位 B．向右平移π3C．向左平移π4个单位 D．向右平移π【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】A【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】解：要得到y=5sin(x+π3)的图象，只需将y=故选：A．2．（5分）已知向量a→=(2，4)，b→=(3m，2)，若A．1 B．2 C．−23 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：a→=(2，4)，b→则6m+8＝0，故m=−4故选：D．3．（5分）cos121°cos61°+sin121°sin61°＝（）A．1 B．−12 C．12【考点】两角和与差的三角函数的逆用．【答案】C【分析】利用两角和与差的三角函数化简即可．【解答】解：由cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β），得cos121°cos61°+sin121°sin61°＝cos（121°﹣61°）＝cos60°=1故选：C．4．（5分）已知复数z=2+i7A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：i7＝i3•i4＝﹣i，则z=2+由复数的几何意义可知，z在复平面内对应的点(1故选：A．5．（5分）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，e1→，e2→分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且〈e1→，e2→〉=π3，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记A．3 B．2 C．6 D．7【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：M（3，3）和N（2，1），则OM→=3e故NM→故|NM→|=(故选：D．6．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin2C+csinA＝0，则C＝（）A．π3 B．2π3 C．2π5【考点】正弦定理．【答案】B【分析】由已知利用二倍角公式，正弦定理可得sinAsinC（2cosC+1）＝0，又sinA＞0，sinC＞0，可求cosC的值，进而可求C的值．【解答】解：由题意可得2asinCcosC+csinA＝0，由正弦定理可得2sinAsinCcosC+sinCsinA＝0，可得sinAsinC（2cosC+1）＝0，因为A，C∈（0，π），则sinA＞0，sinC＞0，所以cosC=−1解得C=2π故选：B．7．（5分）已知0＜α＜π2，2sin3α＝3sinα，则sinA．33 B．64 C．104【考点】两角和与差的三角函数．【答案】B【分析】利用两角和与差的三角函数化简得3sinα﹣8sin3α＝0，再结合题意即可求得答案．【解答】解：∵2sin3α＝2sin（α+2α）＝2（sin2αcosα+cos2αsinα）＝4sinαcosαcosα+2（1﹣2sin2α）sinα＝6sinα﹣8sin3α＝3sinα，∴3sinα﹣8sin3α＝0，又0＜α＜π∴0＜sinα＜1，∴3﹣8sin2α＝0，即sin2α=故选：B．8．（5分）已知函数y＝sin（3x+φ）（0＜φ＜π）在区间(−2π9，A．[0，π6] B．[π6，【考点】正弦函数的单调性．【答案】B【分析】根据正弦函数的性质直接求解即可．【解答】解：函数y＝sin（3x+φ）（0＜φ＜π）在区间(−2π当x∈(−2π9，因为0＜φ＜π，所以−2π3＜−所以−π2≤−即φ的取值范围为[π故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）若{eA．{eB．{3eC．{2eD．{【考点】平面向量的基底．【答案】AC【分析】根据向量共线的条件对各选项进行判定即可．【解答】解：平面内不共线的一组向量能作为基底，对于A，因为e→1−e→故不能作为平面向量的基底；对于B，设3e→1故3e1→对于C，因为−2(2e→2−3e故不能作为平面向量的基底；对于D，设e→1+故e1→+故选：AC．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=asinx+cos(x+π6)(a＞0)A．π6为f（x）的一个零点B．f（x）在区间(−π3C．将f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到的函数为奇函数D．当x∈[−π3，t]时，f（x）的值域为[−3【考点】两角和与差的三角函数；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换化简可求得f（x）的解析式，再逐项分析可得答案．【解答】解：∵f（x）＝asinx+cosxcosπ6−sinxsinπ6=（a−12）sinx∴(a−12)∴f（x）=32sinx+32cosx=∴f(π6)=又x∈(−π3，π3)时，x+∴f（x）在区间(−π3，又f(x−π6)=当x∈[−π3，t]又因为3sin(−π6)=−32，f（x）的值域为[−3故选：BCD．（多选）11．（6分）如图，为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC，测量船沿航线DA航行，且DA与AC在同一铅直平面内，测量船在D处测得∠BDA＝α，∠CDA＝β，然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处，测得∠BEA＝γ，∠CEA＝δ（δ＞γ＞β＞α，测量船的高度忽略不计），则（）A．AB=msinγsinαB．BD=msinγC．BC=msinαD．CD=【考点】解三角形；正弦定理．【答案】BD【分析】由题意分别在△BDE中，△BCE中，△CDE中，由正弦定理可判断出所给命题的真假．【解答】解：在△BDE中，∠BDE＝α，∠DBE＝∠BEA﹣∠BDE＝γ﹣α，∠BED＝π﹣γ，由正弦定理得，DEsin∠DBE=BD所以BD=msinγsin(γ−α)，BE=msinα且AB=BDsinα=msinγsinαsin(γ−α)，故故AE=BEcosγ=msinαcosγ在△BCE中，∠BCE=π2−δ，∠BEC由正弦定理得，BCsin(δ−γ)=BEsin(π2在△CDE中，∠CDE＝β，∠DCE＝∠CEA﹣∠CDE＝δ﹣β，∠CED＝π﹣δ，代入CDsin∠CED所以CD＝DE•sin∠CEDsin∠DCE=msinδ故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）设a∈R，若复数（a﹣2i）（2+i）为纯虚数，则a＝﹣1．【考点】复数的运算．【答案】﹣1．【分析】结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：（a﹣2i）（2+i）＝2a+ai﹣4i+2＝2a+2+（a﹣4）i，复数（a﹣2i）（2+i）为纯虚数，则2a+2＝0且a﹣4≠0，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．13．（5分）已知向量a→=(2，2)，b→=(2，6)，则a→在b【考点】平面向量的投影向量．【答案】(4【分析】根据已知条件，结合投影向量的定义，即可求解．【解答】解：a→=(2，2)，则a→⋅b故a→在b→上的投影向量的坐标为：故答案为：(414．（5分）“广佛之眼”摩天轮半径为50m，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心O距地面的高度为60m，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱10min时他距离地面的高度为85m．【考点】三角函数应用．【答案】85．【分析】由题意可求A=50b=60，可得2πω=15，可得ω=2π15，可得函数解析式为h=60+50sin(2π15t+φ)，由t＝0时，可得60+50sinφ＝10，即sinφ＝﹣1，结合﹣π＜φ＜【解答】解：由题意，设在tmin时，距离地面的高度为h＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0），其中﹣π＜φ＜π，则A+b=110b=60可得A=50b=60则h＝60+50sin（ωt+φ），由题意可得2πω=15，可得ω=2π当t＝0时，可得60+50sinφ＝10，即sinφ＝﹣1，因为﹣π＜φ＜π，解得φ=−π所以h=60+50sin(2π令t＝10，可得h=60−50cos(2π所以游客进䑪10min时他距离地面的高度为85m．故答案为：85．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知z1＝5+10i，z2＝3﹣4i．（1）求z1z2的值；（2）设1z=1【考点】复数的除法运算．【答案】（1）55+10i；（2）5−5【分析】（1）根据复数的代数乘法运算即可；（2）根据复数的乘除法运算即可．【解答】解：（1）z1（2）1z∴z=z16．（15分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC=7（1）求∠ADC及△ACD的面积；（2）若BC＝2，求AB的长．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）32【分析】（1）利用余弦定理求解角的余弦函数值，然后求解三角形的面积．（2）利用余弦定理求解边长即可．【解答】解：（1）在△ACD中，cos∠ADC=A∵∠ADC∈（0，π），∴∠ADC=2π∴S△ACD（2）∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝π，∴∠ABC=π在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，即7=AB∴AB2﹣2AB﹣3＝0．解得AB＝3或AB＝﹣1．（舍去）∴AB＝3．17．（15分）已知对任意平面向量AB→=(x，y)，把AB→绕其起点逆时针方向旋转θ角得到向量AP→=(xcosθ−ysinθ，xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A（1）已知平面内点A（2，4），点B(2+2，4+42)，若把点B绕点A沿顺时针方向旋转π4（2）已知AB→=(1，1)，把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，CD→=(2，6)，若【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．【答案】（1）（7，7）；（2）−3【分析】（1）根据已知条件，结合向量的坐标运算，即可求解；（2）结合向量垂直的性质，推得tanθ＝﹣2，再将弦化切，即可求解．【解答】解：（1）平面内点A（2，4），点B(2+2则AB→把点B绕点A沿顺时针方向旋转π4得到点PAP→又A（2，4），所以点P的坐标为（7，7）．（2）由题意得：AP→因为AP→⊥CD所以2（cosθ﹣sinθ）+6（sinθ+cosθ）＝0，整理得：8cosθ+4sinθ＝0，①所以tanθ＝﹣2，cos2θ=cos18．（17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bsinA（1）求A；（2）若△ABC的重心为O，且3AO=2a，求【考点】正弦定理．【答案】（1）π3（2）3±5【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA2=1−2sin2（2）由题意可求3AO→=AB→+AC→，等式两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求得b2【解答】