综合复习：函数与方程学案-高中数学人教B版（2019）必修第二册

函数与方程新课程标准考向预测1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．命题角度1．函数零点所在区间判断2．判断函数零点个数3．函数零点的应用核心素养直观想象、逻辑推理【知识梳理】一、函数的零点1.函数零点的概念函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有____________函数y＝f(x)有________函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2.函数零点的存在性定理函数零点存在性定理图象在[a，b]上连续不断，若__________，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点函数存在零点的判断方法解方程f(x)＝0使用零点存在性定理数形结合3.二次函数的零点Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点___________________无交点零点个数________________________特别提示：1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．基础小测1．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)2．(2020届河北廊坊高三上学期联合体考试)函数f(x)＝x3＋lgx－18的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3二、用二分法求函数f(x)的零点近似值方法对于在[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法步骤第一步确定[a，b]，验证__________，给定精确度ε第二步求(a，b)的中点c第三步计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；(4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二步和第三步(1)～(3)基础小测用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为()A．(1，2)B．(1.75，2)C．(1.5，2)D．(1，1.5)【考点突破】考点一零点所在区间的判定(高考热度：★)[例1](2019江西南昌模拟)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[例2]设函数y＝x3与y＝(eq\f(1,2))x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值为________．方法总结确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考点微练1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)的零点所在的区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)2．(2019云南昆明联考)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内3．(2020届吉林长春东北师大附中上学期一模)已知函数f(x)＝eq\r(2x－x2)－kx(0<x≤2)的零点在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，则实数k的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))B．(1，eq\r(3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))考点二判断函数零点个数[例3](2019四川成都七中期中)函数，的零点个数为()A．3B．2C．1D．0解题技法函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．考点微练1．(2019湖北武汉调研)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．42．(2019·郑州质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．考点三函数零点的应用考向1根据函数零点个数求参数值或范围[例4](2019江苏卷，14)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，f(x)＝eq\r(1－（x－1）2)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k（x＋2），0＜x≤1，,－\f(1,2)，1＜x≤2，))其中k＞0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．解题通法已知函数的零点(个数)求解参数问题的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，再利用数形结合思想求解．考点微练1．(2020届湖北宜昌一中高三月考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x＞0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，1)C．(－1，0)D．[－1，0)2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，则f(3)＝_______；若在(－2，6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是____________．考向2已知函数零点所在区间求参数的值或范围[例5](2020届安徽淮南一中高三月考)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则实数m的取值范围是________．对点变式若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(eq\f(1,2)，3)上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，eq\f(5,2))D．[2，eq\f(10,3))考点微练1.若函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)2．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．考点四用二分法求方程的近似解(高考热度：★)[例6]用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0，0.5),f(0.125)B．(0.5，1),f(0.875)C．(0.5，1),f(0.75)D．(0，0.5),f(0.25)[例7]用二分法求方程lnx＝eq\f(1,x)在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是____________．归纳点拨1．用二分法求方程近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是若中点的函数值为0，则这个中点就是方程的解；若中点的函数值不等于0，则下一个有根区间是和这个中点的函数值异号的值与中点所成的区间．2．二分法求函数的零点的基本依据是函数零点存在性定理，在解决问题的过程中，要自始至终用这个定理不断判断函数的零点所在的区间，每次区间长度变为原来的一半，在经过n次取中点后，若n满足eq\f(|a－b|,2n)<ε，则就可以以此时区间的端点值当作函数近似的零点．素养提升含g(f(x))的方程如果已知函数y＝f(x)的解析式，则y＝f(f(x))也是关于x的函数，其解析式即把y＝f(x)的x换成f(x)得出；同样，如果已知y＝g(x)的解析式，那么y＝g(f(x))也是关于x的函数，其解析式即把y＝g(x)中的x换成f(x)得出．本专题研究含有f(f(x))，g(f(x))的一类方程．1．判断函数零点的个数[例8]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x＜0，,x2＋\f(1,2)，x≥0，))则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为()A．2B．3C．4D．5素养评析确定函数f(f(x))零点个数的基本思路：令f(x)＝t，根据已知确定t值，再根据求出的t值，确定方程f(x)＝t的解的个数，综合起来即得含有f(f(x))的方程解的个数．素养微练(2019河北石家庄3月质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x3－6x2＋1，x≥0，,ex，x＜0，))其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为()A．4B．5C．6D．32．根据方程解的个数求参数取值范围[例9](2019河北“五个一名校联盟”一诊)已知函数f(x)＝，关于x的方程f2(x)－mf(x)＋m2－3＝0有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围为()A．[－eq\r(3)，2)B．(－eq\r(3)，2)C．[eq\r(3)，2)D．(eq\r(3)，2)素养评析(1)作为选择题，本题在作出函数f(x)的图象后可以直接检验(排除选项A、B)；(2)根据含f(x)的方程实根的个数求参数范围的基本思路是：先研究函数f(x)的性质(单调性、值域)，再根据方程实根的个数确定m时，得到关于t的方程根的分布，得出关于参数的不等式(组)求得参数范围．素养微练1.(2019福建莆田高三下质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x＜0，,ln（x＋2），x≥0，))若方程|f(x)|－a＝0有四个不同的解，则a的取值范围是()A．(0，4)B．[0，4)C．[ln2，4)D．(ln2，4]2．(2019安徽江南十校综合素质检测)已知函数f(x)＝a(2x＋eq\f(1,2x)－1)－x2＋2bx(a，b∈R)，若函数y＝f(x)与函数y＝f(f(x))的零点相同，则a－b的取值范围为()A．[0，2)B．(－2，0]C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)3．(2019江西名校5月联考)设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－3x，若方程|f(x)|2＋t|f(x)|＋1＝0有12个不同的实根，则实数t的取值范围为____________．

参考答案【知识梳理】一、函数的零点基础小测1．解析：因为函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，所以方程x2＋2x＋a＝0无实根，即Δ＝4－4a＜0，由此可得a＞1.2．解析：f(x)在(0，＋∞)上单调递增且连续，f(2)＝23＋lg2－18＝lg2－10<0，f(3)＝33＋lg3－18＝9＋lg3>0，所以函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)．3．解析：由f′(x)＝ex＋3＞0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq\f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点．二、用二分法求函数f(x)的零点近似值基础小测解析：∵f(1)＝－2<0,f(2)＝3>0,f(1.5)＝－eq\f(5,8)<0，∴下一个有解区间是(1.5，2)，故选C.【考点突破】考点一零点所在区间的判定(高考热度：★)[例1]解析：因为y＝lnx与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上是增函数．又f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0,f(2)＝ln2＞0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝lnx＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．[例2]解析：设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示．因为f(1)＝1－＝－1＜0,f(2)＝8－＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1，2)．所以n＝1.考点微练1．解析：函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln2－2＜0,f(3)＝ln3－1＞0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2，3)．2．解析：∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0,f(b)＝(b－c)(b－a)＜0,f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．故选A.3．解析：由f(x)＝eq\r(2x－x2)－kx＝0得eq\r(2x－x2)＝kx，令g(x)＝eq\r(2x－x2)，x∈(0，2]，h(x)＝kx，x∈(0，2]，要使f(x)＝eq\r(2x－x2)－kx(0<x≤2)的零点在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，即在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))时，g(x)与h(x)有交点，画出g(x)与h(x)图象，如图：当x＝1时，g(1)＝1，此时k＝1；当x＝eq\f(3,2)时，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\r(2×\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up22(2))＝eq\f(\r(3),2)，此时k＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(3,2))＝eq\f(\r(3),3)，故k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))，故选C.考点二判断函数零点个数[例3]解析：(方法一)由f(x)＝0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．(方法二)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．考点微练1．解析：g(x)＝f(1－x)－1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－x）2＋2（1－x）－1，1－x≤0，,|lg（1－x）|－1，1－x>0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋2，x≥1，,|lg（1－x）|－1，x＜1，))易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x＜1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.2．解析：如图，作出g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)与h(x)＝cosx的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3.答案：3考点三函数零点的应用考向1根据函数零点个数求参数值或范围[例4]解析：作出函数f(x)，g(x)的图象，如图：由图可知，函数f(x)＝eq\r(1－（x－1）2)的图象与g(x)＝－eq\f(1,2)(1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8)的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有2个不同的实数根．要使关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则f(x)＝eq\r(1－（x－1）2)，x∈(0，2]与g(x)＝k(x＋2)，x∈(0，1]的图象有2个不同的交点．由点(1，0)到直线kx－y＋2k＝0的距离为1，可得eq\f(|3k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(\r(2),4)(k＞0)．∵两点(－2，0)，(1，1)连线的斜率k＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,3)≤k＜eq\f(\r(2),4).综上可知，满足f(x)＝g(x)在(0，9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(2),4))).考点微练1．解析：当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq\f(1,3).因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a＜0.2．解析：由f(x＋2)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数，则f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up22(－1)－1＝eq\r(2)－1.画出函数f(x)与函数y＝loga(x＋2)在(－2，6)上的大致图象，如图所示．要使函数f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有且只有4个不同的交点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,loga（6＋2）<1，))解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)．考向2已知函数零点所在区间求参数的值或范围[例5]解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠2，,f（－1）·f（0）＜0,f（1）·f（2）＜0，))，解得eq\f(1,4)＜m＜eq\f(1,2).对点变式解析：由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有实数解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).考点微练1.解析：因为函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.2．解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解．即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))eq\s\up22(2)－eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))eq\s\up22(2)－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).考点四用二分法求方程的近似解(高考热度：★)[例6]解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1,f(0)<0,f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.[例7]解析：令f(x)＝lnx－eq\f(1,x)，f(1)＝－1<0,f(2)＝ln2－eq\f(1,2)＝lneq\f(2,\r(e))>ln1＝0,f(1.5)＝ln1.5－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(ln1.53－2)．因为1.53＝3.375，e2>4>1.53，故f(1.5)＝eq\f(1,3)(ln1.53－2)<eq\f(1,3)(lne2－2)＝0，f(1.5)f(2)<0，下一个有根区间是[1.5，2]．素养提升1．判断函数零点的个数[例8]解析：由题意，令f(f(x))－1＝0，得f(f(x))＝1，令f(x)＝t，由f(t)＝1，得t＝－1或t＝eq\f(\r(2),2).(方法一)若f(x)＝－1，解得x＝－3；若f(x)＝eq\f(\r(2),2)，解得x＝－2＋eq\f(\r(2),2)或x＝eq\r(\f(\r(2),2)－\f(1,2)).故y＝f(f(x))－1的零点个数为3.(方法二)作出函数f(x)的图象，如图所示，结合函数f(x)的图象可知，f(x)＝－1有1个解，f(x)＝eq\f(\r(2),2)有2个解(也可以直接根据函数解析式，通过解方程确定)，故y＝f(f(x))－1的零点个数为3.故选B.素养微练解析：当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f(x)递减，当x＞1时，f(x)递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，也为最小值－1，且f(0)＝1，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或eq\f(1,3)，当t＝eq\f(1,3)，即f(x)＝eq\f(1,3)时，g(x)有三个零点；当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，综上g(x)共有四个零点．故选A.2．根据方程解的个数求参数取值范围[例9]解析：当x＞0时，f′(x)＝eq\f(（x－1）ex,x2)，当0＜x＜1时，f′(x)＜0,f(x)在(0，1)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0,f(x)在(1，＋∞)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝0，且x→0＋时f(x)趋向＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x≤0时，f(x)＝－eq\f(1,x－1)在(－∞，0]单调递增，且x→－∞时，f(x)＞0且无限趋向0,f(0)＝1.函数y＝f(x)的图象如图所示．从图象上可知，当0＜t≤1时，