2023-2024学年广东省清远市四校联盟高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知复数z＝3﹣4i，则（）A．z的虚部为﹣4i B．|z|＝3+4i C．z=3+4iD．z在复平面内对应的点在第三象限2．（5分）下列命题正确的是（）A．若a→，b→，c→B．若a→，b→为相反向量，则C．a→，bD．若a→，3．（5分）边长为1的正方形O'A'B'C'，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（）A．2 B．2 C．22 D．4．（5分）若向量a→，b→满足|a→|=3，|A．2 B．32 C．225．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC=19，AB＝2，则BCA．1 B．2 C．5 D．36．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+123 B．282 C．563 D．7．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD→A．23 B．−74 C．58．（5分）如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN为（）m．A．100 B．150 C．200 D．250二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有（多选）9．（6分）已知向量a→=(−2，1)，A．若a→⊥b→B．若a→∥b→，则C．若t＝0，则b→在a→D．若（a→+b→（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sin(x−π3)，g(x)=cos(2x−π3A．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移7π12B．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移π4C．将函数f（x）的图象向左平移π2个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1D．将函数f（x）的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．A＝ω＝2 B．函数y＝f（x）的图象关于直线x=−5π12C．函数y＝f（x）在[−π4D．将函数y=3sin2x−cos2x的图象向左平移π2个单位得到函数y＝f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知A（1，2），B（2，3），C（﹣1，﹣1），则AB→⋅13．（5分）如图为2017年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，φ＞0，π2＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度为14．（5分）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心O的距离等于球半径的1213，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则该球的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（1）在复数范围内解关于x的方程：x2+3x+4＝0．（2）设i是虚数单位，求复数1+ai2−i（3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，求点D对应的复数．16．（15分）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．（1）求∠EMF的余弦值；（2）设AM→=λAF17．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB＝bcosC．（1）求B的大小；（2）若点D满足BC→=2BD→，且AD=318．（17分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．（1）当ω=23时，求函数f（（2）设ω＝2，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=23sinA，a19．（17分）已知函数f(x)=1−2cos（1）求函数f（x）在[−π（2）将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，记方程g(x)=23在x∈[0，43π]上的根从小到大依次为x1，x2，x3…xn﹣1，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2

2023-2024学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知复数z＝3﹣4i，则（）A．z的虚部为﹣4i B．|z|＝3+4i C．z=3+4iD．z在复平面内对应的点在第三象限【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的模．【答案】C【分析】根据复数的有关定义和复数的意义分别判断即可．【解答】解：∵复数z＝3﹣4i，∴z的虚部是﹣4，故A错误；∴|z|=32+∴z=3+4i；故C∴z在复平面上对应点是（3，﹣4），在第四象限，故D错误．故选：C．2．（5分）下列命题正确的是（）A．若a→，b→，c→B．若a→，b→为相反向量，则C．a→，bD．若a→，【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线．【答案】D【分析】根据平面向量数量积的定义与运算性质与向量相等的概念，判断出A项的正误；根据相反向量的定义，判断出B项的正误；根据两个向量平行的充要条件，判断出C项的正误；根据向量的模的公式与单位向量的定义，判断出D项的正误．【解答】解：对于A，由于向量的数量积是一个实数，所以a→⋅(b→⋅c→)=λa→表示与因此，等式a→⋅(b对于B，若a→、b→互为相反向量，则a→+b对于C，若a→、b→是相等向量，则a→而a→∥b→表示向量a→、b→的方向相同或相反，因此a→对于D，若a→，b→均为单位向量，则|a→+b→|2＝|a→因为|a→|＝|b→|＝1，所以a→⋅b→=|a由此可得|a→+b→|2＝2+2a→⋅b→≤4，所以|a→+b→故选：D．3．（5分）边长为1的正方形O'A'B'C'，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（）A．2 B．2 C．22 D．【考点】平面图形的直观图．【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，还原出原来的图形，求出它的面积即可．【解答】解：如图所示，由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为2，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为22，其原来的图形是平行四边形，所以它的面积是1×22=22cm2故选：C．4．（5分）若向量a→，b→满足|a→|=3，|A．2 B．32 C．22【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算；平面向量的概念与平面向量的模．【答案】B【分析】根据向量数量积公式，化简求值．【解答】解：|a→−b→故选：B．5．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC=19，AB＝2，则BCA．1 B．2 C．5 D．3【考点】余弦定理．【答案】D【分析】设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19＝a2+4﹣2×a×2×cos120°，即a2+2a﹣15＝0，解得a＝3（a＝﹣5舍去），所以BC＝3．故选：D．6．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+123 B．282 C．563 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．【答案】D【分析】法一：过A作AE⊥A1B1，得A1E=4−22=1，AE=AA12−A1E2=3．连接AC，A1C1，过A作AG法二：由四棱台的几何特征算出几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式能求出结果．【解答】解法一：如图ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2．在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A1E=4−2AE=A连接AC，A1C1，AC=4+4=22，A1C1=过A作AG⊥A1C1，A1G=4AG=A∴正四棱台的体积为：V==2=28解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，∵该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，∴该棱台的高h=2下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，则该棱台的体积为：V=1故选：D．7．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD→A．23 B．−74 C．5【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】由DC＝2BD可得BD→=13BC【解答】解：由DC＝2BD可得，BD∴AD∵BC∴AD=−2故选：D．8．（5分）如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN为（）m．A．100 B．150 C．200 D．250【考点】解三角形．【答案】B【分析】根据C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝100m，利用勾股定理求解出AC，正弦定理求解出AM，在△MAN中即可求解山高MN．【解答】解：由题意：C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝100m，勾股定理，可得AC=1002在△MCA中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，那么∠AMC＝45°AC=1002正弦定理：AM×sin∠AMC＝AC×sin∠MCA即AM×sin45°＝AC×sin60°可得：AM＝1003．在Rt△MAN中，∠MAN＝60°，可得：MN=1003故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有（多选）9．（6分）已知向量a→=(−2，1)，A．若a→⊥b→B．若a→∥b→，则C．若t＝0，则b→在a→D．若（a→+b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】AB【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法可得A正确，由向量平行的坐标表示方法可得B正确，由投影向量的计算公式分析C，由向量数量积的性质分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量a→=(−2，1)，b→=(−1，t)，若a→⊥b→，则a→•b对于B，向量a→=(−2，1)，b→=(−1，t)，若a→∥b→，则（﹣2）×t对于C，若t＝0，则b→=（﹣1，0），则b→在a→上的投影向量为对于D，若（a→+b→）⊥（a→−b→），则（a→+b→）•（a→−故选：AB．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sin(x−π3)，g(x)=cos(2x−π3A．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移7π12B．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移π4C．将函数f（x）的图象向左平移π2个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1D．将函数f（x）的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】BC【分析】先利用诱导公式将函数g(x)=cos(2x−π【解答】解：g(x)=cos(2x−π由三角函数图象间的变换规律知：将函数f(x)=sin(x−π3)的图象向左平移π2个单位长度，得到函数h(x)=sin(x+π6)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1将函数f(x)=sin(x−π3)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到函数m(x)=sin(2x−π故选：BC．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．A＝ω＝2 B．函数y＝f（x）的图象关于直线x=−5π12C．函数y＝f（x）在[−π4D．将函数y=3sin2x−cos2x的图象向左平移π2个单位得到函数y＝f【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】ABC【分析】由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω＝2，将(π12，2)代入函数f（x），结合|φ|＜π2，可求φ=π3，即可得解函数解析式即可判断A【解答】解：由图可知A＝2，函数f（x）的周期T=4×(π由T=2πω，解得因为f（π12）＝2，可得2sin(解得φ=π由|φ|＜π则φ=π所以f(x)=2sin(2x+π3)对于B，由f（−5π12）＝2sin（−5π根据正弦函数的对称性，可知直线x=−5π12是函数f（x）的对称轴，故对于C，由x∈[−π则2x+π根据正弦函数的单调性，函数f（x）在[−π4，0]对于D，由y=3该函数图象向左平移π2个单位可得新函数的解析式为y=2sin[2(x+π2故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知A（1，2），B（2，3），C（﹣1，﹣1），则AB→⋅【考点】平面向量的数量积运算．【答案】﹣5．【分析】先求出AB→，AC【解答】解：∵A（1，2），B（2，3），C（﹣1，﹣1），∴AB→=（1，1），∴AB→故答案为：﹣5．13．（5分）如图为2017年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，φ＞0，π2＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度为20﹣52【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】见试题解答内容【分析】根据函数y的图象求出函数解析式，再计算x＝8时y的值．【解答】解：根据函数y＝Asin（ωx+φ）+b的半个周期图象知，A+b=30−A+b=10，解得A＝10，b又T2所以T＝16，所以ω=2π又x＝6时，y＝10，即10sin（π8×6+解得φ＝2kπ−5π4，k∈又π2＜φ＜所以φ=3π所以y＝10sin（π8x+x＝8时，y＝10sin（π8×8+3π即该天8h的温度为20﹣52．故答案为：20﹣52．14．（5分）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心O的距离等于球半径的1213，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则该球的表面积为676π【考点】球的体积和表面积．【答案】676π．【分析】求出△ABC的外接圆半径，根据勾股定理可得出关于R的等式，即可解得R的值，再利用球体的表面积公式可求得球O的表面积．【解答】解：因为AB＝6，BC＝8，AC＝10，则AB2+BC2＝AC2，所以，AB⊥BC，所以，△ABC的外接圆半径为r=1设球O的半径为R，由题意可知，R2即513R=r=5，解得因此，球O的表面积为S＝4πR2＝4π×132＝676π．故答案为：676π．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（1）在复数范围内解关于x的方程：x2+3x+4＝0．（2）设i是虚数单位，求复数1+ai2−i（3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，求点D对应的复数．【考点】复数的运算；纯虚数．【答案】（1）x2+3x+4＝0的解为x1=−32−72i，（2）a＝2．（3）点D对应的复数为1+3i．【分析】（1）利用求根公式和复数的性质求解．（2）利用复数的运算法则和纯虚数的定义求解．（3）设点D对应的复数为a+bi，（a，b∈R），则A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（a，b），由平行四边形的性质得BC→=AD【解答】解：（1）∵x2+3x+4＝0，∴x=−3±∴x2+3x+4＝0的解为x1=−32−72i，（2）1+ai2−i=∵复数1+ai2−i∴2−a5=02a+1∴复数1+ai2−i为纯虚数的充要条件是a（3）设点D对应的复数为a+bi，（a，b∈R），∵在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，∴A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（a，b），∴BC→=（﹣1，2），AD→=（由平行四边形的性质得BC→∴（﹣1，2）＝（a﹣2，b﹣1），∴a−2=−1b−1=2，解得a＝1，b∴点D对应的复数为1+3i．16．（15分）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．（1）求∠EMF的余弦值；（2）设AM→=λAF【考点】平面向量的基本定理．【答案】（1）210（2）37【分析】（1）建立平面坐标系，利用夹角的坐标表示计算即可；（2）利用向量共线的充要条件待定系数计算即可．【解答】解：（1）以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，6），E（3，0），A（0，0），F（6，2），所以DE→=(3，−6)，因为∠EMF是DE→与AF所以cos∠EMF=cos〈DE所以∠EMF的余弦值为210（2）因为AM→=λAF→，所以AM→=(6λ，2λ)，则又D，M，E三点共线，所以设DM→=tDE即（6λ，2λ﹣6）＝t（3，﹣6），则6λ=3t2λ−6=−6t，解得λ=17．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB＝bcosC．（1）求B的大小；（2）若点D满足BC→=2BD→，且AD=3【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）π3（2）13．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理化简已知等式可得cosB=12，结合B∈（0，π），即可求解（2）由题意可求BD＝CD＝2，在△ABD中，由余弦定理可得BA2﹣2BA+1＝0，解得BA＝c＝1，在△ABC中，由余弦定理可得b的值．【解答】解：（1）因为（2a﹣c）cosB＝bcosC，即2acosB＝bcosC+ccosB，所以由正弦定理可得2sinAcosB＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，又A为三角形内角，sinA＞0，所以可得cosB=1因为B∈（0，π），所以B=π（2）因为点D满足BC→=2BD→，且AD=3，所以BD＝CD＝2，在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝BA2+BD2﹣2BA•BD•cosB，可得3＝BA2+4﹣2×BA×2×12，整理可得BA2﹣2解得BA＝c＝1，所以在△ABC中，由余弦定理可得b=a18．（17分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．（1）当ω=23时，求函数f（（2）设ω＝2，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=23sinA，a【考点】解三角形；三角函数的周期性．【答案】（1）T＝3π，图象相邻两条对称轴的距离：3π2（2）2