2023-2024学年广西南宁二中高二(上)第一次适应性数学试卷

2023-2024学年广西南宁二中高二（上）第一次适应性数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（）A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．∅2．（5分）设a∈R，（a+i）（1﹣ai）＝2，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝﹣lnx B． C． D．f（x）＝3|x﹣1|4．（5分）设甲：sin2α+sin2β＝1，乙：sinα+cosβ＝0，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．（5分）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A． B． C． D．6．（5分）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y+m﹣1＝0，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（）A． B． C． D．7．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（）A． B． C． D．8．（5分）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（）A．，F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2） C．， D．E（﹣2，2），二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知直线l1：mx+2y+1＝0，l2：x+（m+1）y+1＝0，则下列结论正确的是（）A．若l1∥l2，则m＝﹣2 B．若l1∥l2，则m＝1或m＝﹣2 C．若l1⊥l2，则 D．若l1⊥l2，则（多选）10．（5分）已知圆C：x2+y2＝1，直线l：y＝x+1，则（）A．直线l在y轴上的截距为1 B．直线l的倾斜角为 C．直线l与圆C有2个交点 D．圆C上的点到直线l的最大距离为（多选）11．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则（）A．直线A1G，C1E为异面直线 B．B1D⊥平面EFG C．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为 D．点P是侧面B1BCC1内一点（含边界），D1P∥平面BEF，则|DP|的取值范围是（多选）12．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为0 C．x2+y2的最大值为 D．x+y的最大值为三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量与的夹角为，且，则＝．14．（5分）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为．15．（5分）若y＝（x﹣1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a＝．16．（5分）在△ABC中，，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝．四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余各题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤）17．（10分）已知直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．（1）求直线l过的定点P的坐标；（2）直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当△AOB面积最小时，求直线l的方程；18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．19．（12分）已知＝（sin2x+1，cos2x），＝（﹣1，2），x∈[0，]．（1）若，求x的值；（2）求f（x）＝的最大值及取得最大值时相应的x的值．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．21．（12分）在△ABC中，c＝2bcosB，．（1）求∠B；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：；条件②：△ABC的周长为；条件③：△ABC的面积为．22．（12分）图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝．（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED；（2）在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年广西南宁二中高二（上）第一次适应性数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（）A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】A【分析】根据集合的基本运算，即可求解．【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）设a∈R，（a+i）（1﹣ai）＝2，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】复数的运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．【解答】解：（a+i）（1﹣ai）＝a﹣a2i+i+a＝2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝﹣lnx B． C． D．f（x）＝3|x﹣1|【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可．【解答】解：对于A，因为y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＝﹣lnx在（0，+∞）上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在（0，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，所以在（0，+∞）上单调递减，故B错误；对于C，因为在（0，+∞）上单调递减，y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减，所以在（0，+∞）上单调递增，故C正确；对于D，因为，f（1）＝3|1﹣1|＝30＝1，f（2）＝3|2﹣1|＝3，显然f（x）＝3|x﹣1|在（0，+∞）上不单调，D错误．故选：C．4．（5分）设甲：sin2α+sin2β＝1，乙：sinα+cosβ＝0，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【考点】两角和与差的三角函数；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解．【解答】解：当sin2α+sin2β＝1时，例如，但sinα+cosβ≠0，即sin2α+sin2β＝1推不出sinα+cosβ＝0；当sinα+cosβ＝0时，sin2α+sin2β＝（﹣cosβ）2+sin2β＝1，即sinα+cosβ＝0能推出sin2α+sin2β＝1．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】A【分析】利用古典概型、排列组合等知识直接求解．【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m＝＝30，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P＝＝＝．故选：A．6．（5分）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y+m﹣1＝0，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（）A． B． C． D．【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．【答案】D【分析】先求出直线l所过定点P的坐标，数形结合可求出直线l的斜率的取值范围，即可得出直线l的倾斜角的取值范围．【解答】解：直线l的方程可化为m（x+y+1）+（2x﹣y﹣1）＝0，由，可得，所以直线l过定点P（0，﹣1），设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为α，则0≤α＜π，因为直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，因为直线l经过点P（0，﹣1），且与线段AB总有公共点，所以﹣1≤k≤1，即﹣1≤tanα≤1，因为0≤α＜π，所以或，故直线l的倾斜角的取值范围是．故选：D．7．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【答案】D【分析】根据题意，用、表示，利用模长公式求出cos＜，＞，再计算﹣与﹣的数量积和夹角余弦值．【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，所以＝++2•，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．8．（5分）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（）A．，F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2） C．， D．E（﹣2，2），【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【答案】C【分析】作C关于y轴的对称点G，作C关于y＝x+4的对称点D，连接DG交y轴于F，交AB于E，有EC+FC+EF＝ED+FG+EF＝DG，即此时△CEF周长最小，求出D点坐标，可得直线DG方程，与y＝x+4联立求出E点坐标，令x＝0，可得F点坐标．【解答】解：作C（﹣2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（﹣2，0）关于y＝x+4的对称点D（a，b），连接DG交y轴于F，交AB于E，所以FG＝FC，EC＝ED，此时△CEF周长最小，即EC+FC+EF＝ED+FG+EF＝DG，由C（﹣2，0），直线AB方程为y＝x+4，所以，解得，所以D（﹣4，2），可得直线DG方程为，即，由，解得，所以，令x＝0，可得，所以．故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知直线l1：mx+2y+1＝0，l2：x+（m+1）y+1＝0，则下列结论正确的是（）A．若l1∥l2，则m＝﹣2 B．若l1∥l2，则m＝1或m＝﹣2 C．若l1⊥l2，则 D．若l1⊥l2，则【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合直线平行、垂直的性质，即可求解．【解答】解：令m（m+1）﹣2＝0，解得m＝1或m＝﹣2，当m＝1时，l1与l2重合，当m＝﹣2时，l1∥l2，故A正确，B错误，若l1⊥l2，则m+2（m+1）＝0，解得，故C正确，D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）已知圆C：x2+y2＝1，直线l：y＝x+1，则（）A．直线l在y轴上的截距为1 B．直线l的倾斜角为 C．直线l与圆C有2个交点 D．圆C上的点到直线l的最大距离为【考点】直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．【答案】ABC【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD．【解答】解：A．当x＝0时，y＝1，直线l在y轴上的截距为1，故A正确；B．直线l的斜率为1，设直线l的倾斜角为θ，tanθ＝1，，所以直线l的倾斜角为，故B正确；C．圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线l与圆C有2个交点，故C正确；D．根据C可知，圆C上的点到直线l的最大距离为，故D错误．故选：ABC．（多选）11．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则（）A．直线A1G，C1E为异面直线 B．B1D⊥平面EFG C．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为 D．点P是侧面B1BCC1内一点（含边界），D1P∥平面BEF，则|DP|的取值范围是【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；异面直线的判定；直线与平面垂直．【答案】BC【分析】利用正方体的性质，结合每个选项的条件逐项判断或计算可得结论．【解答】解：对于A，连接EG，AC，A1C1，由题意可知EG∥AC，因为AC∥A1C1，所以EC∥A1C1，所以A1G，C1E共面，故A错误；对于B，由正方形A1D1DA，可得A1D⊥AD1，又A1B1⊥平面A1D1DA，AD1⊂平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1，又A1B1∩A1D＝A1，所以AD1⊥B1D，同理可证CD1⊥B1D，又AD1∩CD1＝D1，所以B1D⊥平面AD1C，又易证平面EFG∥平面AD1C，所以B1D⊥平面EFG，故B正确；所以过点B，E，F的平面截正方体的截面为等腰梯形EFC1B，又根据题意易得EB＝FC1＝，EF＝，C1B＝2，∴等腰梯形EFC1B的高为＝，∴等腰梯形EFC1B的面积为×（+2）×＝，故C正确．对于D，G，H分别为B1C1，BB1的中点，连接DG，DH，在△DGH中，DG＝＝3，DH＝＝3，HG＝＝，∴点D到GH的距离为＝＝，∴|DP|的取值范围为[，3]，故D错误；故选：BC．（多选）12．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为0 C．x2+y2的最大值为 D．x+y的最大值为【考点】直线与圆的位置关系；函数的最值及其几何意义；圆的一般方程．【答案】ABD【分析】对于ABD，结合点到直线的距离公式，即可求解，对于C，结合两点之间的距离公式，即可求解．【解答】解：∵实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，对于ABD，令y＝kx，x+y＝a，则两条直线都与圆有公共点，∴，，解得，0，故x+y的最大值为3+，的最大值为，最小值为0，故ABD正确，对于C，原点到圆心的距离为d＝，则圆上的点到原点的距离为[]，∴，∴，故x2+y2的最大值为6+2，故C错误．故选：ABD．三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量与的夹角为，且，则＝．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】．【分析】结合＝求解即可．【解答】解：已知向量与的夹角为，且，则＝＝．故答案为：．14．（5分）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【答案】见试题解答内容【分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，即，解得F＝0，D＝﹣4，E＝﹣6，所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6y＝0．同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0．过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣y＝0．过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0．故答案为：x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．15．（5分）若y＝（x﹣1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a＝2．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】2．【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝x2+2x﹣ax+1+cosx＝x2﹣2x+ax+1+cosx＝f（x），变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x+）＝x2﹣2x+ax+1+cosx，其定义域为R，若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝x2+2x﹣ax+1+cosx＝x2﹣2x+ax+1+cosx＝f（x），变形可得（a﹣2）x＝0，必有a＝2．故答案为：2．16．（5分）在△ABC中，，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝2．【考点】三角形中的几何计算．【答案】2．【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B，C，即可根据三角形的特征求出．【解答】解：如图所示：如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a，方法一：由余弦定理可得，22+b2﹣2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得：，由S△ABC＝S△ABD+S△ACD可得，，解得：．方法二：由余弦定理可得，22+b2﹣2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以C＝45°，B＝180°﹣60°﹣45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2．故答案为：2．四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余各题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤）17．（10分）已知直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．（1）求直线l过的定点P的坐标；（2）直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当△AOB面积最小时，求直线l的方程；【考点】恒过定点的直线；直线的截距式方程．【答案】（1）（2，3）；（2）3x+2y﹣12＝0．【分析】（1）将直线l的方程变形，列出方程组即可求解；（2）利用直线的截距式方程设出直线l的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）由题意，直线l的方程可化为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0，联立方程组，解得，所以直线l过的定点P（2，3）．（2）设直线，则A（a，0），B（0，b），由（1）知，直线l过的定点P（2，3），可得，因为a＞0，b＞0，所以，解得ab≥24，当且仅当且即a＝4，b＝6时，等号成立，所以△AOB面积为，此时对应的直线方程为，即3x+2y﹣12＝0．18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】（1）这100名学生得分的平均数为70.5，（2）中位数约为71.67，（3）两人得分在[90，100]的概率为．【分析】利用频率分布直方图相关知识可解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数，（2）因为成绩在[40，70）的频率为0.45，成绩在[70，80）的频率为0.3，所以中位数为，（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为100×（0.015×10）＝15和100×（0.01×10）＝10人，故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两人得分在[90，100]的概率为．19．（12分）已知＝（sin2x+1，cos2x），＝（﹣1，2），x∈[0，]．（1）若，求x的值；（2）求f（x）＝的最大值及取得最大值时相应的x的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的最值．【答案】（1）x＝；（2）f（x）＝的最大值为1，此时x＝0．【分析】（1）由平面向量的数量积为0可得，再由x的范围求得x值；（2）f（x）＝﹣sin（2x﹣），结合x的范围求解．【解答】解：（1）＝（sin2x+1，cos2x），＝（﹣1，2），若，则（sin2x+1，cos2x）•（﹣1，2）＝﹣sin2x﹣1+2cos2x＝﹣sin2x+cos2x＝0，∴sin2x﹣cos2x＝0，即，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[，]，可得2x﹣＝0，即x＝；（2）f（x）＝＝﹣sin2x+cos2x＝﹣sin（2x﹣），∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[，]，可得当2x﹣＝，即x＝0时，f（x）＝取最大值为1．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA⊥BC，再利用勾股定理证得BC⊥PB，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，所以△PAB为直角三角形，又因为，，所以PB2+BC2＝PC2，则△PBC为直角三角形，故BC⊥PB，又因为BC⊥PA，PA⋂PB＝P，所以BC⊥平面PAB．（2）由（1）BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），B（1，0，0），所以，设平面PAC的法向量为，则，即令x1＝1，则y1＝﹣1，所以，设平面PBC的法向量为，则，即，令x2＝1，则z2＝1，所以，所以，又因为二面角A﹣PC﹣B为锐二面角，所以二面角A﹣PC﹣B的大小为．21．（12分）在△ABC中，c＝2bcosB，．（1）求∠B；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：；条件②：△ABC的周长为；条件③：△ABC的面积为．【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【答案】（1）π/6；（2）选①，不存在满足条件的三角形；选②，；选③，．【分析】（1）由正弦定理化边