2023-2024学年河北省沧州市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年河北省沧州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={x|−1＜x＜2}，B={x|y=ln(x−12)}，则A∩（∁A．{x|−1＜x＜12} B．{x|−1＜x≤12}2．（5分）已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝3D（X）＝2，则P（X⩽1）＝（）A．2027 B．49 C．7273．（5分）(x+1A．C63 B．C84 C．4．（5分）下列各不等式成立的是（）A．log26＜52 C．ln2＜23 5．（5分）设随机变量X的分布列P（X＝k）=m4k2−1（kA．235 B．325 C．22256．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数；且在（﹣∞，0]上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式f（ax）＞f（x2+1）恒成立，则a的取值范围是（）A．(−12，1C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）7．（5分）高二（1）班从5名同学a，b，c，d，e中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a，b中选一人跑，且a，b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有（）A．18种 B．20种 C．24种 D．28种8．（5分）设平行于x轴的直线与函数y＝ex和y＝ex+2的图象分别交于点A，B，若在y＝ex的图象上存在C(x0，ex0)，使得△A．﹣ln（e﹣1） B．ln（e﹣1） C．﹣ln（e﹣2） D．ln（e﹣2）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）如图所示的的散点图中，可选取的拟合曲线为（）A．ŷ=b̂x+â （多选）10．（6分）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，M1＝{a，b}，M2＝{c，d}，且M1≠M2，M1⊆U，M2⊆U，设事件A＝“a+b＝5”，事件B＝“a+b+c+d＝10”，则下列结论正确的是（）A．P(A)=15 B．P(B)=19 C．（多选）11．（6分）已知函数f(x)=−x2+6x−5，x≥1，|log2(1−x)|，x＜1，关于x的方程f（x）＝m有从小到大排列的四个不同的实数根x1，x2，A．m∈（0，4） B．x1∈（﹣14，0） C．M的最小值为112 D．M的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）用三种颜色给图中的四个区域涂色，相邻区域涂不同颜色，共有种涂色方法．13．（5分）已知随机变量X服从正态分布X～N（0，σ2），若a＞0，P（X＜a）＝m，P（|X|＜a）＝m2﹣0.04，则m＝．14．（5分）已知a＞0，函数f(x)=|x−a|−|x+a|+4ex+1+b是奇函数，则b＝；若f（x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图如图．（1）求a的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；（2）若80分以上（含80分）有奖且男性有2人，80分以下男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关．单位：人性别成绩合计80分以上（含80分）80分以下女性男性224合计50附：临界值表及参考公式：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ16．（15分）某药物研究所为了研究小白鼠的身长x（mm）与体重y（g）的关系，随机抽测了20只小白鼠，得到如下数据：序号12345678910身长x/mm113889196977991878885体重y/g39313533343642394039序号11121314151617181920身长x/mm899887941039985908291体重y/g41434043373238413742（1）若从序号为1～10的10只小白鼠中任取2只，其中序号是5的倍数的小白鼠个数为X，求X的分布列与数学期望；（2）请根据序号为5的倍数的几组数据，求出y关于x的经验回归方程（精确到0.01）．附：经验回归方程ŷ=b17．（15分）有4枚硬币，其中三枚是均匀的，另一枚由于正面缺失一部分，它是不均匀的，经多次抛掷试验，正面向上的概率为35．抛掷一枚硬币，若正面向上记2分，正面向下记1分．现将4枚硬币一起抛掷一次，所得分数记为X（1）求X的分布列和数学期望；（2）在X≥6的前提下，求不均匀硬币正面向上的概率．18．（17分）已知均不等于1的正数x，y满足logax=logby=log12(a+b)4＝m，a＞0且（1）若m＝2，求x+y的最小值；（2）当m＞0时，求xy的最大值；（3）若1a+4b的最小值为19．（17分）已知（1+x）（2+x）2n﹣1＝a0+a1x+…+akxk+…+a2nx2n，n∈N*．（1）当n＝3时，求a1+a2+…+a2n的值；（2）当k≥1时，证明：2kak＝（2n+k）C2n−1k−1•22n﹣（3）设2k•（2n﹣k）ak＝22n﹣1•（2n+k）bk，求和：b0+3b1+5b2+7b3+…+（4n﹣1）b2n﹣1．

2023-2024学年河北省沧州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={x|−1＜x＜2}，B={x|y=ln(x−12)}，则A∩（∁A．{x|−1＜x＜12} B．{x|−1＜x≤12}【考点】对数函数的定义域；集合的交并补混合运算．【答案】B【分析】先求出B，再求出∁RB，最后求出交集即可．【解答】解：由x−12＞0，得x＞∴∁RB={x|x≤12}，又A∴A∩(∁故选：B．2．（5分）已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝3D（X）＝2，则P（X⩽1）＝（）A．2027 B．49 C．727【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．【答案】C【分析】根据二项分布的期望及方差公式计算求参，再根据二项分布概率公式计算即可．【解答】解：∵X～B（n，p），∴E(X)=np=2，D(X)=np(1−p)=2∴p=2P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C故选：C．3．（5分）(x+1A．C63 B．C84 C．【考点】二项式系数的性质．【答案】B【分析】先根据二项式系数最大项只有第5项求出n，再应用通项公式求常数项即可．【解答】解：(x+1x)∴n2则常数项为C8故选：B．4．（5分）下列各不等式成立的是（）A．log26＜52 C．ln2＜23 【考点】对数值大小的比较．【答案】B【分析】根据指数对数运算及单调性分别判断各个选项即可．【解答】解：对于A：log对于B：120.3＞130.2⇔（120.3）10＞（130.2）10⇔123＞132成立，对于C：ln2＜2对于D：log故选：B．5．（5分）设随机变量X的分布列P（X＝k）=m4k2−1（kA．235 B．325 C．2225【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】A【分析】根据分布列的性质，概率之和为1可求出参数．计算概率之和时用数列的裂项相消求和，进而求出P（X≥4）．【解答】解：P(X=k)=m∵k=15∴m2则m=115，∴故选：A．6．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数；且在（﹣∞，0]上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式f（ax）＞f（x2+1）恒成立，则a的取值范围是（）A．(−12，1C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】C【分析】根据偶函数在对称区间单调性相反，和偶函数的性质可解【解答】解：∵y＝f（x）是定义在R上的偶函数．且在（﹣∞，0]上单调递增，∴y＝f（x）在（0，+∞）上单调递减．且f（x）＝f（|x|），则f（ax）＞f（x2+1）⇔f（|ax|）＞f（|x2+1|）⇔|ax|＜|x|2+1⇔|x|2﹣|a|•|x|+1＞0，对称轴x=|a|∴只需要Δ＝a2﹣4＜0即可，解得﹣2＜a＜2．故选：C．7．（5分）高二（1）班从5名同学a，b，c，d，e中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a，b中选一人跑，且a，b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有（）A．18种 B．20种 C．24种 D．28种【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】D【分析】根据题意，先不考虑a，b是否相邻的情况下，取得共有36种排法，再由a，b相邻时，得到8种排法，进而求得符合条件的选取方法种数，得到答案．【解答】解：在不考虑a，b是否相邻的情况下，第一棒的选取有A21种，第四棒的选取有剩下两棒有A32种，此时共有若a，b相邻，则a，b只能是第一、二棒，在A22种，第四棒的选取有第三棒的选取有A21种，其有符合条件的选取方法共有36﹣8＝28（种）．故选：D．8．（5分）设平行于x轴的直线与函数y＝ex和y＝ex+2的图象分别交于点A，B，若在y＝ex的图象上存在C(x0，ex0)，使得△A．﹣ln（e﹣1） B．ln（e﹣1） C．﹣ln（e﹣2） D．ln（e﹣2）【考点】函数与方程的综合运用；由函数图象求解函数或参数．【答案】A【分析】根据题意，由函数图象平移的规律可得|AB|＝2，由点C的坐标可得A、B的坐标，进而可得ex【解答】∫解：根据题意，函数y＝ex的图象向左平移2个单位得到y＝ex+2的图象，若设平行于x轴的直线与函数y＝ex和y＝ex+2的图象分别交于点A，B，则|AB|＝2，若在y＝ex的图象上存在C(x0，ex取A、B的中点D，易得CD＝1，由于C(x0，ex0)，则A的坐标为（x0+1，ex故D的坐标为（x0，ex必有|CD|=ex0+1−ex则有x0＝﹣ln（e﹣1）．故选：A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）如图所示的的散点图中，可选取的拟合曲线为（）A．ŷ=b̂x+â 【考点】散点图．【答案】BD【分析】根据给定的散点图的形状，结合二次函数和指数函数的图象，即可求解．【解答】解：由题意，从曲线上考虑．曲线的形状和y＝x2，y＝ex的部分图象类似，结合选项B、D符合题意．故选：BD．（多选）10．（6分）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，M1＝{a，b}，M2＝{c，d}，且M1≠M2，M1⊆U，M2⊆U，设事件A＝“a+b＝5”，事件B＝“a+b+c+d＝10”，则下列结论正确的是（）A．P(A)=15 B．P(B)=19 C．【考点】古典概型及其概率计算公式；求解条件概率．【答案】ABD【分析】对于A，列举出和为5的情况，结合古典概型公式求解即可；对于B，列举出和为10的情况，结合古典概型公式求解即可；对于C，由前面的选项找出AB的所有情况，结合古典概型公式求解即可；对于D，根据前面的概率，再利用条件概率直接求解即可．【解答】解：对于A，5＝a+b＝1+4＝2+3，由元素的无序性知P（A）=2C5对于B，a+b=1+4c+d=2+3，a+b=2+3c+d=1+4，a+b=1+3c+d=1+5，a+b=1+5c+d=1+3，a+b=1+2c+d=3+4，a+b=3+4c+d=1+2，a+b=1+2c+d=2+5∴P（B）=10C5对于C，P（AB）=2C5对于D，P（A|B）=P(AB)P(B)=故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f(x)=−x2+6x−5，x≥1，|log2(1−x)|，x＜1，关于x的方程f（x）＝m有从小到大排列的四个不同的实数根x1，x2，A．m∈（0，4） B．x1∈（﹣14，0） C．M的最小值为112 D．M的最大值为【考点】分段函数的应用．【答案】AC【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图象，将方程的根的问题转化为f（x）与y＝m的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到x2+x4＝6，运用log2（1﹣x1）＝﹣log2（1﹣x2）将未知数减少，利用基本不等式即可求出M的范围．【解答】解：在平面直角坐标系内作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：关于x的方程f（x）＝m有从小到大排列的四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，等价于f（x）与y＝m有四个不同交点，则m∈（0，4），故A正确；令|log2（1﹣x）|＝4，则1﹣x＝16或116所以x＝﹣15或1516所以当m＝4时最小根x1＝﹣15，数形结合有x1∈（﹣15，0），故B不正确；由二次函数对称性，可知x3+x4＝6，log所以M=−12+12(1−x2)−2x2+6=11当且仅当x2=1根据图象m∈(0，4)⇒x则M无最大值，故D不正确．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）用三种颜色给图中的四个区域涂色，相邻区域涂不同颜色，共有种涂色方法．【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】24．【分析】应用分步乘法计数原理计算即可．【解答】解：从左边第一个区域开始涂色，第一个区域有3种方法．第二个区域有2种方法．第三个区域有2种方法．第四个区域有2种方法，共3×2×2×2＝24种涂色方法．故答案为：24．13．（5分）已知随机变量X服从正态分布X～N（0，σ2），若a＞0，P（X＜a）＝m，P（|X|＜a）＝m2﹣0.04，则m＝．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】45【分析】根据正态分布的对称性结合题意列方程求解即可．【解答】为X～N（0，σ2），a＞0，P（X＜a）＝m，所以P（X≥a）＝1﹣m，因为P（|X|＜a）＝m2﹣0.04，所以由正态曲线的对称性知2（1﹣m）+m2﹣0.04＝1，解得m=45或故答案为：4514．（5分）已知a＞0，函数f(x)=|x−a|−|x+a|+4ex+1+b是奇函数，则b＝；若f（x【考点】复合函数的值域；奇函数偶函数的性质．【答案】﹣2；12【分析】根据题意，设g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a|，h（x）=h(x)=4ex+1+b，分析可得h（x）为奇函数，则有h（0）＝0，求得b，再由g（x）∈[﹣2a，2a]和h（x）⊂（﹣2，2），求得函数f（x【解答】解：根据题意，函数f(x)=|x−a|−|x+a|+4设g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a|，h（x）=h(x)=4因为g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a|是奇函数，可得h(x)=4又因为h（x）的定义域为R，所以h（0）＝0，即4e0+1经检验，符合题意．又由g(x)=|x−a|−|x+a|=2a，x≤−a所以g（x）∈[﹣2a，2a]，可得h(x)=可得其值域为（﹣2﹣2a，2+2a），因为f（x）的值域为（﹣3，3），可得−2−2a=−32+2a=3，解得a=故答案为：﹣2；12四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图如图．（1）求a的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；（2）若80分以上（含80分）有奖且男性有2人，80分以下男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关．单位：人性别成绩合计80分以上（含80分）80分以下女性男性224合计50附：临界值表及参考公式：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ【考点】频率分布直方图的应用；列联表与独立性检验．【答案】（1）a＝0.010，平均数为68.4；（2）“有奖”与“性别”有关，此推断犯错误的概率小于0.1．【分析】（1）根据频率和为1，列方程求出a，再计算此次成绩的平均数即可；（2）计算80分以上（含80分）的频率与频数，补全列联表，零假设H0，计算X2，根据小概率值的独立性检验原理，推断即可．【解答】解：（1）根据频率和为1，得10×（2a+0.016+0.026+0.032+0.006）＝1，解得a＝0.010，估计此次成绩的平均数为45×0.10+55×0.16+65×0.26+75×0.32+85×0.10+95×0.06＝68.4；（2）80分以上（含80分）的频率为0.1+0.06＝0.16，且50×0.16＝8，补全列联表如下：性别成绩合计80分以上（含80分）80分以下女性61824男性22426合计84250零假设为H0：有奖与性别之间无关，根据列联表中数据，计算X2=50×(6×24−2×18)28×42×24×26根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断假设H0不成立，即认为“有奖”与“性别”有关，此推断犯错误的概率小于0.1．16．（15分）某药物研究所为了研究小白鼠的身长x（mm）与体重y（g）的关系，随机抽测了20只小白鼠，得到如下数据：序号12345678910身长x/mm113889196977991878885体重y/g39313533343642394039序号11121314151617181920身长x/mm899887941039985908291体重y/g41434043373238413742（1）若从序号为1～10的10只小白鼠中任取2只，其中序号是5的倍数的小白鼠个数为X，求X的分布列与数学期望；（2）请根据序号为5的倍数的几组数据，求出y关于x的经验回归方程（精确到0.01）．附：经验回归方程ŷ=b【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线．【答案】（1）随机变量X的分布列为：X012P28451645145E（X）=2（2）ŷ【分析】（1）根据题意，得到变量X的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得数学期望．（2）根据题意，分别求得x=94，y=38，利用公式求得b̂【解答】解：（1）由题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，可得P(X=0)=C所以随机变量X的分布列为：X012P28451645145所以数学期望E(X)=0×28（2）根据序号为5的倍数的几组数据，可得x=97+85+103+914则b̂所以â所以y关于x的经验回归方程为ŷ17．（15分）有4枚硬币，其中三枚是均匀的，另一枚由于正面缺失一部分，它是不均匀的，经多次抛掷试验，正面向上的概率为35．抛掷一枚硬币，若正面向上记2分，正面向下记1分．现将4枚硬币一起抛掷一次，所得分数记为X（1）求X的分布列和数学期望；（2）在X≥6的前提下，求不均匀硬币正面向上的概率．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为6110（2）2129【分析】（1）由题意随机变量X的可能取值为4，5，6，7，8，计算每个可能取值的概率，并写出其分布列及数学期望；（2）设事件A＝“X≥6”，事件B＝“不均匀硬币正面向上”，分别计算P（A），P（AB），再由条件概率公式计算即可．【解答】解：（1）X的所有可能取值为4，5，6，7，8，则P(X=4)=(1−3P(X=5)=3P(X=6)=CP(X=7)=CP(X=8)=3所以X的分布列为：X45678P120940381140340则E(X)=4×1（2）设事件A＝“X≥6”，B＝“不均匀硬币正面向上”，则P(A)=29P(AB)=C故所求概率为P(B|A)=P(AB)18．（17分）已知均不等于1的正数x，y满足logax=logby=log12(a+b)4＝m，a＞0且（1）若m＝2，求x+y的最小值；（2）当m＞0时，求xy的最大值；（3）若1a+4b的最小值为【考点】运用基本不等式求最值；对数的运算性质．【答案】（1）8；（2）16；（3）m=2【分析】（1）把m＝2代入，结合指数与对数的转化关系及基本不等式即可求解；（2）由题意得，41m=12（x（3）结合（2）的结论可得，1a【解答】解：（1）当m＝2时，x＝a2，y＝b2，（a+b）2＝16，∴x+y=a2+b2∴x+y的最小值为8；（2）∵a=x1m，b=∴41m=12∴xy≤16，当且仅当x＝y时取等号，∴xy的最大值为16；（3）由（2）知a+b=2⋅4∴1a+4b=解得m=23，当且仅当b＝219．（17分）已知（1+x）（2+x）2n﹣1＝a0+a1x+…+akxk+…+a2nx2n，n∈N*．（1）当n＝3时，求a1+a2+…+a2n的值；（2）当k≥1时，证明：2kak＝（2n+k）C2n−1k