利用一次函数解决实际问题课件2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学下册

yxO第1课时

利用一次函数解决实际问题湘教·八年级下册

伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：探索新知指尖距x/cm192021身高y/cm151160169新知探究思考伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：（1）身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？（2）若李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗？怎样判断它们是不是函数关系求函数表达式的方法有哪些？它们使用的条件分别是什么？等量关系待定系数法判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件：（1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化；（2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应.新知探究观察表格，你能不能判断它们的关系是一次函数？因变量随自变量的变化是均匀的，所以身高y是指尖距x的一次函数当指距增加1cm，身高就增加9cm-------待定系数法求身高y与指尖距x之间的函数表达式:+1+1+9+9（1）身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？

将x=21，y=169代入上式，也符合.19k+b=151，20k+b=160.

解：（1）由上表三组数据可知，身高y与指尖距x之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加1cm，身高对应增加9cm，于是可以尝试用一次函数来刻画.

设身高y与指尖距x之间的一次函数表达式为у=kx+b（k，b为常数，k≠0）.将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，得解得k=9，b=-20.于是y=9x-20.

故y=9x-20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式.（2）若李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗？指尖距x/cm192021身高y/cm151160169解：（2）当x=22时，y=9×22－20=178.因此，李华的身高大约是178cm.建立一次函数模型解决问题一般步骤：(1)找自变量和因变量(用两个字母)；(2)根据自变量和因变量的关系设解析式；(3)求表达式（考虑自变量取值范围）(4)检验是否符合这种关系(5)解决问题(6)答归纳总结基础巩固题新知应用1.给某长方体游泳池注水，池深2m.假如注水的时长与水深具有如下关系：（1）你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？（2）用求出的函数表达式分别估计注水2h、2.5h后的水深.当注水时长增加0.5h，水深就增加40cm+0.5+0.5+40+40水深与注水的时长之间的关系是一次函数因变量随自变量的变化是均匀的基础巩固题新知应用(1)解：由上表三组数据可知，水深与注水的时长之间的关系是一次函数设水深y与注水的时长x之间的函数表达式为y=kx+b.将x=0.5，y=60与x=1，y=100代入上式，得0.5k+b=60，k+b=100.解得k=80，b=20.于是y=80x+20.y=80x+20就是水深与注水的时长之间的函数表达式.(2)解：当x=2时，y=80×2+20=180；当x=2.5时，y=80×2.5+20=220；

将x=1.5，y=140代入上式，也符合.典例分析例1已知甲、乙两地相距40km，小徐8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小徐所用的时间为xh，小徐离甲地的距离为y1km，小李离甲地的距离为y2km.（1）分别写出y1，y2与x之间的函数解析式；（2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.注意：x代表意义，是小徐所用的时间（1）分别写出y1，y2与x之间的函数解析式；解：（1）由“路程=速度×时间”可知y1=8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5.由于小李比小徐晚出发2h，因此小李所用时间为(x-2)h，从而

y2=40(x-2)，自变量x的取值范围是2≤x≤3.典例分析根据题意，你能不能判断y2与x之间的函数是一次函数？根据题意，你能不能判断y1与x之间的函数是一次函数？不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求.也不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求.求函数表达式的方法有哪些？它们使用的条件分别是什么？等量关系待定系数法距离=速度x时间（2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地./km/hl小徐y1=8x小李y2=40(x-2)

过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与y2=40(x-2)的图象相交，这表明小李先到达乙地.M新知探究总结归纳关键是根据题意建立一次函数模型1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型.2.待定系数法建立函数模型一次函数与实际问题“建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数的表达式，并确定实际问题中自变量的取值范围.基础巩固题新知应用2.小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同.小强从A地出发，小刚从小强东边80m处出发，小刚、小强每分钟分别走40m，60m.（1）分别写出小刚、小强离A地的距离y（m）与行走时间t（min）之间的函数表达式.（2）在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象.（3）根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与A地相距300m的B地？不能用待定系数法，只能根据等量关系求.距离=速度x时间

解：（1）小刚离A地的距离y1与行走时间t之间的函数表达式为y1=40t+80，自变量t的取值范围是0≤t≤5.5；小强离A地的距离y2与行走时间t之间的函数表达式为y2=60t，自变量t的取值范围是0≤t≤5.（2）如图所示.（3）在出发后4分钟小强追上小刚.小强先到达与A地相距300m的B地.小强小刚新知探究总结归纳关键是根据题意建立一次函数模型1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数