一次函数与二元一次方程的关系课件2025-2026学年湘教版八年级数学下册

八年级下册数学（湘教版）3.5一次函数与二元一次方程的关系第3章一次函数情境导入数学王国的国王决定宴请群臣.他下令,让大臣们按照自己的家族入座.这时候,x+y=5来了...x+y=5二元一次方程一次函数到我这来！不,应该到我这来！它到底该去哪?探究新知无数个!画函数图象的一般步骤:①列表②描点③连线二元一次方程与一次函数图象的关系探究一:方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.探究二:请画出一次函数y=-x+5的图象.探究新知请画出一次函数y=-x+5的图象.①列表:x0y=-x+50yxO654321-1-2-3-4-5-6-5-4-3-2-1123456②描点:③连线:如图所示:55y=-x+5探究新知yxO654321-1-2-3-4-5-6-5-4-3-2-1123456y=-x+5都在!(-1,6)(0,5)(1,4)(2,3)二元一次方程与一次函数图象的关系探究三:以方程x+y=5的解为坐标的点,它们都在一次函数y=-x+5的图象上吗?yxO654321-1-2-3-4-5-6-5-4-3-2-1123456y=-x+5探究新知都满足!二元一次方程与一次函数图象的关系相同探究四:在一次函数y=-x+5的图象上任取一点,点的坐标满足方程x+y=5吗?探究五:以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗?小结归纳二元一次方程x+y=5的解:一次函数y=-x+5图象上点的坐标:(a,b)从数到形从形到数一次函数

y＝kx＋b二元一次方程

kx－y＋b＝0图象上所有点坐标满足解为坐标的点都在图象上二元一次方程ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)一次函数

任意一个解为坐标的点都在其图象上任意一点的坐标都是其一个解小结归纳

在平面直角坐标系中，关于

x，y

的二元一次方程

ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数

图象.二元一次方程与一次函数的关系二元一次方程的解一次函数图象上点的坐标一一对应小结归纳1.方程

x–y=

1

有一个解是

，则一次函数y=x–1的图象上必有一个点的坐标为

.2.一次函数y=2x–4的图象上有一个点的坐标为(3，2)，则方程2x–y=

4

必有一个解是________.(2，1)练一练例1

在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－2x＋3y－6＝0表示的直线.解

由

－2x＋3y－6＝0可得一次函数

，当

x＝0时，y＝2；当

x＝3

时，y＝4.在平面直角坐标系，描出

A(0，2)，B(3，4)两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数

的图象，从而它是二元一次方程－2x＋3y－6＝0表示的直线.A(0，2)B(3，4)2.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程

x－2y＝2的解的是()小试牛刀1.请将下列方程改写为y关于x的一次函数.(1)2x+y=1(2)x-y=2

(3)2y-x=-6y=-2x+1y=x-2y=0.5x-3C思考：对于二元一次方程组

你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？2x－y＝l，3x＋5y＝8，分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数

y＝2x－l与

方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标，因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.二元一次方程组与一次函数图象的关系探究新知观察

在坐标系中分别画出两条直线

y＝2x－l

和.1.它们的交点坐标____________.2.方程组

的解是____________.这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.(1，1)2x－y＝1，3x＋5y＝8y＝2x－l

“数”的角度“形”的角度两个一次函数

y=k1x+b1

(k1≠0)，y=k2x+b2(k2≠0)

的自变量

x，y

的一组相同的值⇔二元一次方程组的解直线

y=k1x+b1(k1≠0)，y=k2x+b2(k2≠0)的交点坐标(m，n)⇔二元一次方程组

的解为

x=m，y=n一次函数与二元一次方程组的关系例2

如图，求直线

l1与

l2

的交点坐标.分析：由函数图象可以求直线

l1与

l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.解方程组y=2x+2，y=-

x+3，解：因为直线

l1过点(-1，0)，(0，2)，用待定系数法可求得直线

l1的解析式为

y=2x+2.同理可求得直线

l2的解析式为

y=-

x+3.即直线

l1与

l2

的交点坐标为探究新知x=-10一元一次方程与一次函数图象的关系探究六:方程2x+20=0的解是什么?探究七:当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？x=-10xyO(-10,0)数形小结归纳从“函数值”角度理解方程55小结归纳从“函数图象”角度理解方程一次函数与一元一次方程的关系小结归纳(1)若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,____）.(2)若直线y=ax+b过点A(0，2)和点B(-3，0)，则方程ax+b=0的解是_______.练一练50x=-3一次函数与一次方程二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标一一对应在平面直角坐标系中，关于

x，y

的二元一次方程

ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数

图象课堂小结思考：下面三个不等式有什么共同特点?(1)3x+2＞2；(2)3x+2＜0；(3)3x+2≤-1．你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗?思考：应该构造哪个函数呢？如何从函数角度来理解？探究新知y=3x+232121-2Oxy-1-13y=3x+2不等式ax+b＞c的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c的对应的自变量取值范围.不等式ax+b＜c的解集就是使函数y=ax+b的函数值小于c的对应的自变量取值范围.探究新知