北师大版初中数学九年级上册第四章第七节：相似三角形的性质及其应用教案

北师大版初中数学九年级上册第四章第七节：相似三角形的性质及其应用教案

  一、课标依据与理论支撑

  本节课的设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，聚焦于初中阶段“图形与几何”领域的重要内容。课标明确指出，学生应“探索并掌握相似三角形的判定定理和性质定理，并能运用这些定理解决一些简单的实际问题”。本节课以“相似三角形的性质”为核心，旨在引导学生从定性认识（形状相同）迈向定量分析（对应元素比例关系），完成从直观感知到逻辑推理，再到实际应用的认知跃迁。教学设计以建构主义学习理论为基础，强调学生在已有全等三角形性质和初步相似概念上的主动建构；同时融入社会建构主义视角，重视通过合作探究、对话交流深化对数学关系的理解。教学过程贯彻“以学生发展为本”的理念，不仅关注知识与技能的习得，更着力于发展学生的几何直观、逻辑推理、数学建模等核心素养，并通过跨学科联系（如物理、地理、艺术）拓宽学生的数学视野，体现数学的普遍应用价值。

  二、学习目标

  依据课程标准、教材内容及九年级学生的认知发展水平，制定以下三维学习目标：

  （一）知识与技能

  1.理解并掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比（即对应边的比）。

  2.理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比。

  3.通过猜想、验证、证明和归纳，深刻理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方。

  4.能够综合运用相似三角形的判定与性质，进行有关线段长度、图形周长与面积的计算和证明。

  5.能够初步建立模型思想，运用相似三角形的性质解决测量、设计等简单的实际问题。

  （二）过程与方法

  1.经历“观察特例—提出猜想—逻辑证明—归纳性质”的完整数学探究过程，体会从特殊到一般、化归与转化的数学思想方法。

  2.通过将相似三角形的性质与全等三角形的性质进行类比与对比，完善对图形变换（全等是相似比为1的特殊相似）下不变量的整体认知结构。

  3.在解决实际问题的过程中，经历“实际问题抽象为数学问题—建立几何模型—运用数学知识求解—解释实际意义”的数学建模过程，提升应用意识。

  4.通过小组合作探究与交流，发展有条理的数学表达能力和批判性思维能力。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在探究性质的过程中，体验数学发现带来的乐趣和严谨逻辑论证的力量，增强学习数学的自信心。

  2.通过了解相似性质在金字塔测量、地图绘制、摄影构图等方面的历史与现实应用，感受数学的文化价值与应用价值，激发学习内驱力。

  3.在小组协作中培养乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度和合作精神。

  三、教学重点与难点

  （一）教学重点

  1.相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比、周长比等于相似比的性质。

  2.相似三角形面积比等于相似比的平方的性质。

  3.相似三角形性质的综合应用。

  （二）教学难点

  1.对“相似三角形面积比等于相似比的平方”这一性质的理解与灵活运用，学生容易与周长比性质混淆。

  2.在实际问题中，如何准确识别或构造相似三角形模型，并选择恰当的性质进行求解，特别是涉及面积关系转化的问题。

  3.性质的证明过程中，如何将“对应线段之比”的问题转化为“已知相似三角形对应边成比例”的问题，涉及的推理链条较长。

  四、教学策略与方法

  针对教学重难点和学生特点，采用以下融合策略：

  1.情境驱动法：创设源于历史、生活、科技的真实问题情境（如测量不可达物体高度、计算地图面积等），激发探究欲望，彰显数学应用价值。

  2.探究发现法：摒弃直接告知性质的做法，设计层层递进的探究活动。引导学生通过测量、计算具体相似三角形（如网格中的三角形、给定数据的三角形）的对应高、周长、面积，发现数量关系，形成猜想。

  3.启发讲授法：在学生探究和猜想的基础上，教师通过系列启发性问题，引导学生自主完成关键性质（特别是面积比性质）的逻辑证明，明晰证明思路（如利用面积公式、等底等高转化等）。

  4.类比迁移法：将全等三角形中对应高、中线、角平分线相等，周长相等，面积相等这些“不变性”，迁移至相似三角形中，探究其“等比性”，帮助学生构建系统知识网络。

  5.合作学习法：在探究活动、例题分析和实际问题解决环节，采用小组合作形式，鼓励思维碰撞，互相启发，共同突破难点。

  6.信息技术融合法：动态几何软件（如GeoGebra）演示：动态改变相似三角形的形状和大小，实时显示各对应量及其比值，直观验证猜想的普遍性，深化对“变中之不变”规律的理解。

  五、教学资源与环境

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件（含探究表格、例题、实际应用案例、动画演示）、GeoGebra动态几何课件、实物投影仪。

  2.学生准备：课前复习相似三角形的定义及判定定理；直尺、量角器、计算器；每4-6人一个学习小组。

  3.教学环境：配备多媒体教学设备及互联网的教室，便于进行动态演示和实时信息检索（如地图比例尺、卫星照片的解读）。

  六、教学过程设计（两课时，共90分钟）

  第一课时：探究与证明相似三角形的基本性质

  （一）创设情境，温故知新（预计用时：8分钟）

  活动一：历史回眸——泰勒斯测金字塔。

  教师讲述：古希腊数学家泰勒斯利用一根木棍，通过测量其影长和金字塔影长，计算出了金字塔的高度。他是如何做到的？这背后隐藏着怎样的数学原理？

  学生思考并回顾：这运用了相似三角形的知识。太阳光线是平行的，因此木棍和它的影子构成的三角形与金字塔和它的影子构成的三角形是相似的。

  教师追问：已知相似，我们之前学习了可以根据对应边成比例来计算未知边长。那么，除了对应边，相似三角形的其他对应元素之间，如对应的高、中线、周长、面积，是否存在确定的数量关系呢？今天我们就来深入探究相似三角形的“性质”。

  设计意图：通过数学史故事引入，赋予知识以人文色彩，激发兴趣。同时从已知的“边”的关系自然引出对“其他元素”关系的探究，明确本课主题。

  （二）合作探究，提出猜想（预计用时：15分钟）

  活动二：实验探究——寻找不变的比值。

  1.教师利用GeoGebra展示一对动态变化的相似三角形△ABC∽△A‘B’C‘，设定相似比k为可调节参数（如k=2，k=0.5等）。

  2.学生分组任务：在学案上完成探究表格。给定几组具体的相似三角形（例如在坐标网格中给出，或给定具体角度和边长比例），要求学生测量或计算：

  (1)相似比k=A‘B’/AB。

  (2)对应高AD与A‘D’的比。

  (3)对应中线AE与A‘E’的比。

  (4)对应角平分线AF与A‘F’的比。

  (5)周长之比。

  (6)面积之比。

  3.小组内汇总数据，观察并讨论这些比值与相似比k之间存在什么关系？尝试用语言描述你们的发现。

  4.各小组代表分享发现。教师引导全班汇总猜想：

  猜想1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

  猜想2：相似三角形的周长比等于相似比。

  猜想3：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

  设计意图：让学生亲历数据收集、整理、分析的过程，通过多组实例的验证，归纳出共性规律，形成强烈的直观印象和合理的数学猜想，为严格证明做准备。合作学习促进了学生间的交流。

  （三）逻辑论证，形成定理（预计用时：20分钟）

  活动三：理性证明——从猜想到定理。

  教师引导：“实验测量可能会有误差，我们发现的规律是否具有普遍性？必须经过严格的逻辑证明。”

  1.证明猜想1（以对应高为例）：

  已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k。AD⊥BC于D，A’D‘⊥B’C‘于D’。

  求证：AD/A‘D’=k。

  师生共同分析：要证明线段比等于k，而已知条件是三角形相似，即对应角相等、对应边成比例。如何建立AD、A‘D’与已知边（如AB、A‘B’）的联系？

  思路启发：AD和A‘D’是垂直关系，可以构成直角三角形。能否证明△ABD与△A‘B’D‘相似？依据是什么？（∠B=∠B’，∠ADB=∠A‘D’B’=90°，两角对应相等，故△ABD∽△A‘B’D‘）。由相似可得对应边成比例，即AD/A’D‘=AB/A’B‘=k。

  学生口述证明过程，教师板书规范步骤。同理可简述中线、角平分线的证明思路（需通过两次相似或等腰三角形性质进行转化）。

  2.证明猜想2（周长比）：

  学生独立尝试：设△ABC∽△A‘B’C‘，AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘=k。

  则AB=kA’B‘，BC=kB’C‘，CA=kC’A‘。

  ∴C△ABC/C△A‘B’C‘=(AB+BC+CA)/(A’B‘+B’C‘+C’A’)=k(A‘B’+B‘C’+C‘A’)/(A‘B’+B‘C’+C’A’)=k。

  教师点评：此证明直接利用了比例的基本性质，体现了代数推理的简洁性。

  3.证明猜想3（面积比）——本课难点突破：

  教师引导：面积公式是S=(1/2)×底×高。对于相似三角形，我们可以选择一对对应边作为底。

  已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k，AD和A’D‘分别是BC和B’C‘边上的高。

  求证：S△ABC/S△A‘B’C‘=k²。

  小组讨论证明思路。教师巡视指导，提示联系已证明的“对应高的比等于k”。

  学生展示：S△ABC=(1/2)×BC×AD；S△A‘B’C‘=(1/2)×B’C‘×A’D‘。

  ∴S△ABC/S△A‘B’C‘=(BC×AD)/(B’C‘×A’D’)=(BC/B‘C’)×(AD/A‘D’)。

  由已知，BC/B‘C’=k，由已证定理，AD/A‘D’=k。

  所以，S△ABC/S△A‘B’C‘=k×k=k²。

  教师强调：面积比是相似比的“平方”，这是本节课的核心与易错点。可以借助几何画板动态演示，当相似比k变化时，面积比实时显示为k²，加深直观印象。

  设计意图：将直观猜想上升为理性认知，培养学生的逻辑推理能力和严谨的数学表达。重点剖析面积比性质的证明，揭示其与“底乘高”公式及已证性质的内在联系，突破难点。形成如下知识体系：

  （四）初步应用，巩固新知（预计用时：7分钟）

  例题1（基础巩固）：已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：2。

  (1)若△ABC的周长为24cm，则△DEF的周长为______cm。

  (2)若△ABC的一条中线长为9cm，则△DEF的对应中线长为______cm。

  (3)若△DEF的面积为16cm²，则△ABC的面积为______cm²。

  学生独立完成，并说明所用性质。教师关注(3)中学生是否误用为3：2。强调面积比是相似比的平方，即9：4。

  设计意图：通过直接应用性质的简单计算，及时巩固三条核心性质，特别是区分周长比与面积比。

  第二课时：性质的综合应用与实际问题解决

  （一）回顾迁移，深化理解（预计用时：5分钟）

  活动一：性质串联与对比。

  1.快速问答：相似三角形有哪些主要性质？（对应角相等；对应边成比例；对应线段比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方）。

  2.对比思考：与全等三角形的性质进行对比，完成下表（心智图式构建）：

  全等三角形（相似比为1的特殊相似）——对应元素完全相等（包括边、角、高、中线、角平分线、周长、面积）。

  相似三角形（相似比为k的一般情况）——对应角相等；对应边、对应线段、周长按比例放大缩小k倍；面积按比例放大缩小k²倍。

  设计意图：强化记忆，并通过与全等三角形的系统对比，将新知识纳入原有认知结构，理解“全等是相似的特例”，形成关于图形变换下不变量的完整图景。

  （二）综合应用，提升能力（预计用时：25分钟）

  例题2（综合计算）：如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD：DB=2：1。

  (1)求△ADE与△ABC的相似比。

  (2)若BC=12cm，求DE的长。

  (3)若△ADE的面积为8cm²，求四边形DBCE的面积。

  (4)连接CD和BE，交于点O，猜想并证明S△DOE与S△COB的面积比。

  学生分析：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC。已知AD：DB=2：1，可得AD：AB=2：3，即相似比k=2/3。

  解：(1)k=AD/AB=2/3。

  (2)∵DE/BC=k=2/3，BC=12，∴DE=8cm。

  (3)∵S△ADE/S△ABC=k²=(2/3)²=4/9，S△ADE=8，

  ∴S△ABC=8÷(4/9)=18cm²。

  ∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=18-8=10cm²。

  (4)猜想：S△DOE:S△COB=4:25。

  分析：需要证明△DOE∽△COB。由DE∥BC可得∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，故△DOE∽△COB。其相似比等于DE/BC=2/3。

  所以，S△DOE/S△COB=(2/3)²=4/9。但注意，此比例是△DOE与△COB的比，题目问的是S△DOE与S△COB的比，即为4：9？不对，需仔细审图，△COB与△DOE并非直接由DE与BC构成相似？实际上，由DE∥BC易得△ODE∽△OCB，相似比为DE/BC=2/3，故面积比为4：9。但题目中图形通常包含梯形DBCE，O是对角线交点，此猜想正确。教师可引导学生证明△DOE与△COB的相似关系。

  设计意图：本题综合运用了相似判定（平行）、相似比求解、线段计算、面积计算（涉及整体与部分）、以及复杂图形中寻找相似三角形并应用面积比性质。第(4)问更具挑战性，训练学生的观察力和推理能力。

  例题3（证明推理）：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。

  求证：(1)AC²=AD·AB；BC²=BD·AB。

  (2)CD²=AD·BD。

  (3)(AC·BC)/(AB·CD)=1（等积式）。

  小组合作探究：观察图形，图中有几个直角三角形？它们之间有什么关系？

  分析：由∠ACB=90°，CD⊥AB，易知∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，故有△ACD∽△ABC∽△CBD（“母子型”相似或“射影定理”基本图形）。

  证明：(1)∵△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC，∴AC²=AD·AB。同理可证BC²=BD·AB。

  (2)∵△ACD∽△CBD，∴AD/CD=CD/BD，∴CD²=AD·BD。

  (3)方法一：利用面积。S△ABC=(1/2)AC·BC=(1/2)AB·CD，直接可得AC·BC=AB·CD。

  方法二：利用比例。由△ACD∽△CBD，得AC/BC=AD/CD，交叉相乘得AC·CD=BC·AD，此式与目标形式不同。结合其他比例式可推导，但面积法更简洁。

  教师总结：此图形是相似三角形性质应用的经典图形，结论非常重要（射影定理雏形）。它建立了直角三角形边与斜边上高、投影之间的数量关系，是几何计算和证明的重要工具。同时，方法(3)的等积式揭示了“两直角边乘积等于斜边与斜边上高的乘积”，这也是求斜边上高的常用公式。

  设计意图：深入挖掘基本图形中的相似关系，将性质应用于等积式的证明，提升学生的综合分析和演绎推理能力。引入面积法作为证明线段乘积相等的新思路，体现思维灵活性。

  （三）联系实际，建模应用（预计用时：15分钟）

  活动二：数学建模——解决现实世界问题。

  问题1（测量问题）：小河对岸有一棵古树A，为计算其高度，小明在河岸这边选取一点B，测得∠ABD=90°（D为树底）。他在B点直立一根1.6米长的标杆BC，并后退到点E，恰好看见标杆顶端C与树梢A在一条直线上。已知BD=20米，BE=2米，人眼离地面高度EF约为1.5米（可忽略或计入）。求古树AD的高度。

  学生分组讨论，尝试画出几何示意图，抽象出数学模型。

  引导：将实际问题数学化。地面可看作直线，忽略人眼高度时，问题转化为：已知CB⊥BD，AD⊥BD，CE//DA（视线），CB=1.6，BD=20，BE=2，求AD。

  识别模型：由CE//DA，得△CBE∽△ABD。相似比？对应边：CB与AD？不，CB对应AB？注意：视线CA连接的是树梢A和标杆顶C，人眼E在直线CA上。所以，实际的相似三角形是△CEB与△ADB？需要仔细构图。正确的模型是：人眼位置E、标杆顶C、树梢A三点共线。构成“A”字型相似：△AEB（大）与△CEB（小）？不对。更准确的是，过E作EG//BD交AD于G，交BC于H，则GH=BD？较复杂。

  简化且合理的模型：将人眼视为点E，它到地面的垂足为F。则EF可视为“观测水平线”。连接并延长AE交BD所在直线于某点？通常的测量模型是“利用相似三角形测量高度”，常见的构图是标杆和被测物均垂直于地面，观测者调整位置使视线经过标杆顶端和被测物顶端，此时构成两个相似直角三角形。教师可展示标准示意图。

  最终抽象：如图，AH表示树高，BC表示标杆，DE表示人眼到地面的距离（可忽略或作为加数）。由△ADE∽△ABC（或△ADE与△ABC的对应部分相似）求解。设AH=h，BC=1.6，BH=BD=20，CH=BE=2。由相似得：(h-EF)/1.6=(20+2)/2？需根据具体图形列比例式。

  设计意图：此问题具有真实的测量背景，引导学生经历从复杂现实情境中抽象出几何图形、识别相似三角形、利用性质建立方程的全过程，完整体验数学建模。锻炼学生的阅读理解、信息提取和模型构建能力。

  问题2（地图与比例尺）：在一张1：5000的地形图上，一片多边形森林区域的图上面积为24平方厘米。这片森林的实际面积是多少平方公里？

  学生分析：地图上的图形与实际地形是相似图形，相似比（图上距离：实际距离）即为比例尺1：5000。注意单位换算。

  解：相似比k=1/5000。

  面积比=k²=(1/5000)²=1/25,000,000。

  ∴实际面积=图上面积÷(1/25,000,000)=24×25,000,000=600,000,000(平方厘米)。

  换算：600,000,000cm²=60,000m²=0.06km²。

  教师拓展：比例尺是相似比在地图学中的应用。面积比是相似比的平方，这解释了为什么在大比例尺地图上，一小块区域可能代表实际巨大的面积，并且实际面积是图上面积的巨大倍数。

  设计意图：将数学知识与地理学科知识（地图比例尺）紧密结合，解决实际问题，体现数学的跨学科应用价值。强调单位换算的重要性。

  （四）课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

  活动三：思维导图与反思。

  1.学生以小组为单位，用思维导图的形式梳理本节课的核心知识（性质内容、证明关键、应用类型）。

  2.分享与反思：通过本节课的学习，

  -你掌握了相似三角形的哪些性质？它们之间有什么联系？

  -在探究和证明这些性质的过程中，用到了哪些数学思想方法？（从特殊到一般、转化、类比、数形结合、建模）

  -你能举例说明这些性质在生活中的应用吗？

  -你还有哪些疑惑或想进一步探究的问题？（例如，相似多边形是否具有类似性质？）

  教师总结：相似三角形的性质揭示了图形在形状不变、大小变化过程中，各种几何量之间精确的协变规律。它不仅是解决几何计算和证明的有力工具，更是我们认识世界、解决实际问题的数学模型。希望同学们能带着这种“数学的眼睛”去发现生活中更多的“相似之美”与“比例之谐”。

  设计意图：通过构建思维导图，促进学生自主梳理知识，形成系统化、结构化的认知。通过反思性问题，引导学生回顾学习过程，感悟思想方法，展望后续学习（相似多边形的性质），实现认知和情感的升华。

  七、板书设计（主版面规划）

  左侧：核心性质定理区

  标题：§4.7相似三角形的性质

  1.对应线段比性质：

  已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k。

  则：对应高的比=k

  对应中线的比=k

  对应角平分线的比=k

  2.周长比：C△ABC/C△A‘B’C‘=k

  3.面积比：S△ABC/S△A‘B’C‘=k²

  （关键证明思路：面积公式S=½底×高，结合对应高之比）

  中间：经典例题与图形区

  例题2的图形（△ABC中，DE∥BC）及关键步骤。

  例题3的图形（Rt△ABC中，CD⊥AB）及射影关系式：

  AC²=AD·AB；BC²=BD·AB；CD²=AD·BD；AC·BC=AB·CD。

  右侧：实际应用与思想方法区

  关键词：测量、地图比例尺、数学模型

  数学思想：从特殊到一般、转化、类比、数形结合、建模。

  学生疑问或精彩发现记录区。

  八、作业设计（分层递进）

  A组（基础巩固，全体必做）：

  1.教材课后练习题：直接应用性质进行计算。

  2.已知两个相似三角形的一组对应边长分别为5cm和7cm。

  (1)若它们的面积之差为48cm²，求这两个三角形的面积。

  (2)若大三角形的一条角平分线为14cm，求小三角形的对应角平分线。

  3.如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F。已知BE：AB=2：3，S△BEF=4cm²，求S△CDF。

  B组（能力提升，大部分学生选做）：

  4.如图，△ABC被通过其重心的三条直线分成六个小三角形。如果其中四个小三角形的面积已在图中标出（例如1，2，3，4），求△ABC的面积。（提示：重心分中线为2：1，结合相似与