2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末练习 专题二：求数列的通项公式（4考点6考法）

第第1页，共7专题二：求数列的通项公式（试卷 考法1：形如an1anfn的累加 2an1

fn的累乘 考法3：数列的周期性判断与应 考法4：形如an1panfn的构造 考点4：利用Sn与an的关系求通 考法5：已知Sn与n的关系求 考法6：已知Sn与an的关系求通 本试卷涵盖数列通项公式的多种求法，包括累加法、累乘法、构造法以及利用Sn与关系求通项练习时请注意识别不同递推关系的特征，选择合适的求法，并规范书写解答过程解答题中若涉及多问，请注意前后问之间的逻辑联系1：形如an1an

fn等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某二阶等差数列的前4项为2,3,6,11，则该数列的第27项为（ A. B. C. D. 2.（多选）给定数列a，定义差分运算：Δa a,Δ2a 列an满足an2n，数列b的首项为1，且Δbnn22n1,nN*，则 M0Δ2aMbnnM0nN*b

M0nN*

Δ nMΔ则数列bn的前50项的和为（

2an1

fnab50，abaa5，nN*3

1（2）若数列d满足d

d16d

n 5.（填空）aa33a13a2L3an111L1nnN*，则

a＿＿＿＿＿＿，λa4nnN

A. B. C. D.8.（多选）数列a满足 ,a1，则 1 A.a B.a为递增数 C.a为周期数 D.

9.（填空）数列a满足a1， nN，则

1

4：形如an1panfn10.（解答）已知数列a满足a1， 3a2n，ban

11.（解答）已知数列a满足a3, 3a3nnN*，数列b满足b3n 12.（解答）12,3,L

ank1kn1

aiai1ankk 的阶数.an1akakak11kn1an0 0.4,32,104,3,12112,343阶相邻递增数列12,3,L

随机排成一列，在得到的数列中，1bn4：利用Sn与an考法5：已知Sn与n的关系求an13.（填空）ann项和

S2n12

14.（解答）San3n133 比数列

n15.（解答）anS

6：已知Sn与an16.（解答）annSnanSn1 17.（解答）anS2S2a an 18.（多选）anSa

a

1nN* a2

a

S2

S19.（解答）Sana0a2a2S2 20.（解答）SanSnna1a

21.（解答）annSn2Snanan1bn为0b2a3b4a27.（1）anbn22.（解答）annSn2anSn2nN*23.（解答）annSna11S36 S an 24.（单选）若数列a满足111L1

2n 对一切正整数n恒成立，则λ的最大值 A. B. C. D.25.（多选）已知数列a满足a1，aa2Lan ，令b an1

2n

1012 则 a10

为整 第第10页，共12专题二：求数列的通项公式（解析卷 考法1：形如𝒂n+𝟏—𝒂n=𝒇(𝒏)的累加 考法2：形如𝒂n+𝟏𝒂n=𝒇(𝒏)的累乘 考法3：数列的周期性判断与应 考法4：形如𝒂n+𝟏=𝒑an+𝒇(𝒏)的构造 考点4：利用𝑺n与𝒂n的关系求通 考法5：已知𝑺n与𝒏的关系求 考法6：已知𝑺n与𝒂n的关系求通 ，320,+ —1：形如𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏=𝒇(𝒏)1.（单选【答案】【答案】{𝑎𝑛}𝑎12,𝑎23,𝑎3=6,𝑎4=𝑏𝑛=𝑎𝑛+1—𝑎𝑛𝑏1=1,𝑏2=3,𝑏3=5，{𝑏𝑛}1为首项，2为公差的等差数列，𝑏𝑛=1𝑛1)2=2𝑛1.𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑎1+(𝑎2—𝑎1(𝑎3—𝑎2𝑎𝑛—𝑎𝑛—=2+𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛—𝑛=1时，12—213=2=𝑎1，满足上式𝑎𝑛=𝑛22𝑛𝑛=27时，𝑎27=272—2273=729543=【点拨】本题考查利用累加法求数列的通项公式.𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑓(𝑛)的递推关系，通常采用累加法求解，注意最后要检验𝑛=1的情况.=2+(𝑛—1)[1+(2𝑛—3)]=𝑛2—2𝑛+𝑛=1时是否满足通项公式.𝑀>5𝑛∈𝑵∗Δ2𝑏𝑛>𝑀D错误1<1+4≤5(𝑛∈1+D，Δ2𝑏=(𝑛3)2𝑛—(𝑛2)2𝑛—1=(𝑛4)2𝑛—1BΔ2𝑏𝑛=1=—𝑛×2𝑛—𝑏𝑛𝑛2𝑛—1𝑏11𝑏𝑛𝑛2𝑛—1B正确；C𝑏𝑛+1𝑏𝑛=(𝑛1)2𝑛𝑛2𝑛—1=(𝑛2)2𝑛—1>0，{𝑏𝑛}𝑏𝑛10<𝑀<1𝑛∈𝑵∗𝑏𝑛<𝑀C—𝑏=1121+22+⋯+2𝑛—2—(𝑛1)2𝑛—1=11—2𝑛—1—(𝑛1)2𝑛—【答案】A𝑎𝑛=𝑛2+𝑛Δ𝑎𝑛=(𝑛+1)2+(𝑛+1)—(𝑛2+𝑛)=2𝑛2，Δ2𝑎𝑛=2(𝑛+1)+2—(2𝑛+2)=2，𝑀>2时，Δ2𝑎𝑛<𝑀ABΔ𝑏𝑛(𝑛2)2𝑛—1𝑏𝑛+1𝑏𝑛=(𝑛2)2𝑛—1，𝑛≥2时，𝑏𝑛=𝑏1+(𝑏2𝑏1(𝑏3𝑏2𝑏𝑛𝑏𝑛—1)𝑏𝑛=1+3×20+4×21+5×22+⋯+(𝑛+1)×2𝑛—2，2𝑏𝑛=220321422𝑛2𝑛—2+(𝑛1)2𝑛—3.（单选【答案】【答案】𝑎𝑛+2+𝑎𝑛=2𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+2—𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1—𝑎𝑛+1{𝑏501— 1—+⋯ 1—=1—1= 𝑎𝑛+1—𝑎𝑛𝑎𝑛，是解决此类问题的通法=1 因为2𝑎⋅𝑏=1，所以𝑏 =𝑛1时，𝑎=1=1+2+3+⋯+𝑛{𝑎𝑛+1𝑎𝑛𝑎2𝑎1=2为首项，1𝑎𝑛+1𝑎𝑛=2𝑛1)1=𝑛𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑎1+(𝑎2—𝑎1(𝑎3—𝑎2𝑎𝑛—𝑎𝑛—考法2：形如𝒂𝒏+𝟏=𝒇(𝒏)4.（解答由𝑑1=16，𝑑1𝑑2=28—3=32，得𝑑2= 8𝑑,𝑑,𝑑,⋯𝑑=16113𝑑,𝑑,𝑑,⋯是以𝑑=2为首项，以1为公比的等比数 1024𝑛—𝑛为奇数时，𝑑=161=16{𝑏𝑛}𝑑=2,𝑞=𝑎𝑛=1𝑛1)×2=2𝑛1，𝑏𝑛=8𝑛—1=23𝑛—因为𝑏𝑛=23𝑛—3，所以log2𝑏𝑛+1= 2—【解析】解：（2）{𝑎𝑛}𝑑，{𝑏𝑛}𝑞𝑞>0，𝑎1=𝑏1=1，𝑎3𝑏2=50，𝑎5+𝑏2=𝑎3+𝑎4+5，(1+2𝑑)𝑞=(14𝑑)+𝑞=(1+2𝑑(1+3𝑑)+5𝑑=𝑞=8𝑑=𝑞= 𝑑𝑛𝑛+1= 8—𝑑𝑛+1𝑑𝑛+2=28—3(𝑛+1)=25— 4两式相除得 6公式公式.𝑑𝑛𝑑𝑛+1=𝑓(𝑛)𝑑𝑛+1𝑑𝑛+2=𝑓(𝑛1)两式相除，转化为奇偶 12,𝑛{𝑑𝑛𝑑𝑛= 11=𝑛为偶数时，𝑑=25.（填空【答案】 320,+3𝑎13𝑎23𝑎𝑛=1111𝑛(𝑛 𝑛≥23𝑎1+3𝑎2+⋯+3𝑎𝑛—1=1+1+1+⋯+1+𝑛— 𝑛— 两式相减可得3𝑎𝑛=1+1=𝑛+2，即当𝑛≥ 𝑎𝑛+1=6𝑛 𝑛=1𝑎=6𝑎2=2 所以𝑎=𝑎𝑛⋅𝑎𝑛—1⋯𝑎2𝑎=6𝑛—1(𝑛—1)!×3 𝑎𝑛—1𝑎𝑛—2𝑎1 由于𝜆𝑎≥4𝑛⇒𝜆≥ ⋅𝑛(𝑛+1)，令𝑐= 𝑛(𝑛+ 2由于𝑐𝑛+1= (𝑛+1)(𝑛+2)=2𝑛+4=2+4 2 𝑛=4时，𝑐4=𝑐5𝑛<4𝑛>4所以𝑐<𝑐<𝑐<𝑐=𝑐>𝑐>⋯，故数列最大项 ，即𝜆≥ 6.（单选 1—(—1=，𝑎 =2=𝑎 1—=—，𝑎𝑎=2𝑎=1+2=—3，𝑎==)=2(1𝑎)(1【答案】{𝑎{𝑎𝑛4的周期数列 ==𝑎=7.（单选【答案】【答案】𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2+𝑎𝑛𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1—𝑎1=6,𝑎2=𝑎3363，𝑎4336，𝑎563)3，𝑎636)𝑎7=3—(—3)=6=𝑎1，𝑎8=6—3=3={𝑎𝑛}6的周期数列2025=3376+𝑎2025=𝑎3=—【点拨】本题考查了数列周期性的判断与应用.𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1—𝑎𝑛形式的递推关系，可通过写6，这是解决此类问题的常用技巧.8.（多选{𝑎𝑛}3C正确；𝑎3>𝑎4{𝑎𝑛}B错误；2025=675×3𝑎2025=𝑎3=4D错误1—𝑎 =4，𝑎 =—1=𝑎=A1—(—1𝑎=𝑎=—【答案】9.（填空【答案】【答案】{𝑎𝑛3的周期数列100=333𝑎100=𝑎1=—1—=，𝑎 =2，𝑎 =—1=𝑎𝑎= 𝑎=—4：形如𝒂𝒏+𝟏=𝒑𝒂𝒏+𝒇(𝒏)【点拨】本题考查了利用构造法证明等比数列.𝑎【点拨】本题考查了利用构造法证明等比数列.𝑎𝑛+1=𝑝𝑎𝑛+𝑞𝑛𝑞𝑛+1𝑏𝑛+1=𝑝𝑏𝑛+𝑐的形式，再构造等比数列求解所以数列{𝑏+1}是以3为首项，3为公比的等比数 8𝑏+1=𝑎1+1=3≠即 +1=3(𝑏+ 6 因为𝑏𝑛=2𝑛，所以𝑏𝑛+1=2𝑏𝑛+ 42=3𝑎+2𝑛2𝑛+1𝑎𝑛+1=3⋅𝑎𝑛+1【解析】证明：（1）11.（解答 𝑏= 4𝑏=𝑎1=所以数列{𝑏}是以1为首项，1为公差的等差数 6【点拨】本题考查了利用构造法证明等差数列.𝑎𝑛+1=𝑝𝑎𝑛+𝑝𝑛𝑝𝑛+1即可构造出等差数列𝑏=3—𝑛𝑎=𝑎𝑛 —3𝑎=3𝑛，两边同除以3𝑛+1得𝑎𝑛+1—𝑎𝑛= 2【解析】证明：（1）12.（解答𝑛1,2,3,⋯,𝑛1𝑖𝑎𝑖<𝑎𝑖+1𝑛1𝑎𝑖的右侧或者放在𝑎1的左侧即可，此时共有2𝑏𝑛种排 3故𝑏𝑛+1=2𝑏𝑛+ 5所以𝑏𝑛+1+(𝑛+1)+1=2𝑏𝑛+2𝑛+2=2(𝑏𝑛+𝑛+ 7𝑏1=0𝑏111=所以{𝑏𝑛+𝑛+1}是首项为2，公比为2的等比数 9所以𝑏𝑛+𝑛+1=2𝑛，即𝑏𝑛=2𝑛—𝑛— 11𝑏𝑛+1𝑏𝑛的递推关系是解决本题的难点，随后利用待定系数法构造等比数列即可求出通项考点4：利用𝑺𝒏与𝒂𝒏5：已知𝑺𝒏与𝒏的关系求13.（填空【答案】【答案】𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=22—2=𝑛2时，𝑎𝑛𝑆𝑛𝑆𝑛—12𝑛+12—(2𝑛2)2𝑛，𝑛=1时，𝑎1=2𝑎𝑛=2𝑛.𝑝𝑞=10(𝑝,𝑞∈𝑎𝑝+𝑎𝑞=2𝑝+2𝑞≥22𝑝⋅2𝑞=𝑝=𝑞=5时等号成立.𝑎𝑝+𝑎𝑞64.𝑆𝑛𝑎𝑛的关系求通项公式，以及基本不等式求最值.𝑛=1𝑛≥2时的通项公式2𝑝+𝑞=210=14.（解答【解析】解：（1）由题意知3𝑛—1=3⋅3𝑛—1= 2所以𝑆=3𝑛— 4 𝑆𝑛𝑎𝑛的关系求通项公式.𝑎𝑛=𝑆𝑛𝑆𝑛—1𝑛=1时的情形，若不符合则需写成分段函数的形式𝑛=,𝑛≥ 10—211—当𝑛=1时 =5≠𝑎 83𝑛— 𝑛—当𝑛≥2时，𝑎=𝑆— 7 当𝑛=1时，𝑎=𝑆= 5【解析】解：（1）当【解析】解：（1）当𝑛=1时，𝑎=𝑆=1×1×2= 2 当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛—𝑆𝑛— 4 6=1𝑛(𝑛1𝑛1)= 7𝑛1时，𝑎11所以数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛= 8𝑆𝑛𝑎𝑛的关系求通项公式.𝑎𝑛=𝑆𝑛—𝑆𝑛—1(𝑛≥是解题的基础考法6：已知𝑺𝒏与𝒂𝒏16.（解答𝑆𝑛𝑎𝑛的关系证明等比数列.𝑆𝑛𝑎𝑛𝑆𝑛—𝑆𝑛—1=𝑎𝑛𝑆𝑛𝑎𝑛的递推关系所以数列{𝑎}是以1为首项，1为公比的等比数 10𝑎=1≠𝑎𝑛— 𝑛—整理得2𝑎= ，即𝑎𝑛= 8当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛—𝑆𝑛—1=(1—𝑎𝑛)—(1—𝑎𝑛— 6 当𝑛=1时，𝑎+𝑆=1，即2𝑎=1，解得𝑎= 4【解析】证明：（1）由𝑎𝑛+𝑆𝑛=1得𝑆𝑛=1— 217.（解答【解析】解：（1）2𝑆𝑛=2𝑎𝑛+𝑛2—1当𝑛≥2时，2𝑆𝑛—1=2𝑎𝑛—1+(𝑛—1)2—1 2①-②得：2𝑆𝑛—2𝑆𝑛—1=2𝑎𝑛—2𝑎𝑛—1+𝑛2—(𝑛— 4即2𝑎𝑛=2𝑎𝑛—2𝑎𝑛—1+2𝑛— 6𝑛— 8𝑛—所以𝑎=𝑛+1(𝑛≥ 10𝑆𝑛𝑎𝑛的关系求通项公式.𝑛1𝑆𝑛的标准处理方法18.（多选【答案】𝑎【答案】𝑎𝑛+1𝑎1𝑎2𝑎𝑛=𝑆𝑛𝑎2=𝑎1=1A错误；𝑎𝑛+1=𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛=𝑆𝑛𝑎𝑛+2=𝑆𝑛+1，𝑎𝑛+2𝑎𝑛+1=𝑆𝑛+1𝑆𝑛=𝑎𝑛+1𝑎𝑛+2=𝑛=1时，𝑎3=2𝑎2{𝑎𝑛}1为首项，2𝑎𝑛2𝑛—𝑛=𝑛≥2B𝑆2=𝑎1+𝑎2=1+1=2C𝑛=1时，𝑆1=1𝑛2,𝑛𝑵∗时，𝑆=120212𝑛—2=11—2𝑛—1=2𝑛—1D𝑆𝑛𝑎𝑛𝑛项和.𝑎𝑛从第二项起成——𝑎2+∵𝑎𝑛>0，∴𝑎𝑛+1+𝑎𝑛>𝑎𝑛+1𝑎𝑛= 6—𝑎= —𝑎2— 𝑎= 4 由②-= +2 2+ 【解析】解：（1）𝑎2+𝑎=2𝑆+2𝑛𝑛1𝑎2𝑎1=2𝑆12𝑎1=2𝑎1=—1（舍去）8即𝑎𝑛=𝑛+1,𝑛∈ 10𝑆𝑛𝑎𝑛的关系求通项公式.作差后利用因式分解提取公因式，结合数列20.（解答【解析】解：（1）因为𝑆𝑛+𝑛=𝑎+1，所以𝑆+𝑛2=𝑛𝑎+𝑛 2当𝑛≥2时，𝑆𝑛—1+(𝑛—1)2=(𝑛—1)𝑎𝑛—1+𝑛—1 4①-②得：𝑆𝑛—𝑆𝑛—1+𝑛2—(𝑛—1)2=𝑛𝑎𝑛—(𝑛—1)𝑎𝑛—1+ 6𝑎𝑛2𝑛1=𝑛𝑎𝑛𝑛1)𝑎𝑛—11，2(𝑛1)=(𝑛1)𝑎𝑛—(𝑛1)𝑎𝑛—1，所以𝑎𝑛—𝑎𝑛—1= 8𝑎1=1{𝑎𝑛}1为首项，2所以𝑎𝑛=1+2(𝑛—1)=2𝑛— 10𝑆𝑛𝑎𝑛的关系求通项公式.𝑆𝑛，21.（解答【解析】解：（1）当𝑛=1时，且𝑎𝑛>0，解得𝑎1= 1𝑛2时，2𝑆𝑛—1=𝑎𝑛—1(𝑎𝑛—12𝑎𝑛=𝑎2+𝑎𝑛—𝑛——𝑎𝑛— 3(𝑎𝑛+𝑎𝑛—1)(𝑎𝑛—𝑎𝑛—1—1)=𝑎𝑛>0𝑎𝑛𝑎𝑛—1>𝑎𝑛—𝑎𝑛—1=1(𝑛≥ 5∴{𝑎𝑛}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以𝑎𝑛= 6{𝑏𝑛}𝑞(𝑞>0)𝑏2=𝑎3=3,𝑏4=𝑎27=𝑏1𝑞=𝑏1𝑞3=，解得𝑏=1,𝑞= 8所以𝑏𝑛=3𝑛— 10𝑆𝑛𝑎𝑛的关系求通项公式以及等比数列的基本运算.作差