2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第6讲 空间向量在立体几何中的应用

第八章立体几何与空间向量第6讲空间向量在立体几何中的应用1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.3.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，把与a________的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．平行n1·n2＝02．空间位置关系的向量表示m·n＝0m·n＝04．向量法求空间的距离(1)点到直线的距离如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离d＝______________________．(2)点到平面的距离如图，A是平面α内的定点，B是平面α外一点，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝_____________．(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．3．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为________．4．(人教B选择性必修第一册1.2.5练习BT4改编)在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)，已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d为________．25．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到直线l的距离d为________．核心考向突破考向一

利用空间向量证明平行、垂直

如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.1．向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题2.向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.考向二

利用空间向量求空间角角度1求异面直线所成的角(2025·河北保定模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BD，A1C1的中点，则直线A1M与BN所成角的余弦值为(

)

向量法求异面直线所成角的步骤(2025·广西桂林模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为BC的中点，则异面直线EG与BF所成角的正弦值为________．角度2求直线与平面所成的角

如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l.因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC，又PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD.因为DC∩PD＝D，DC，PD⊂平面PDC，所以l⊥平面PDC.

向量法求线面角的步骤

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若AB⊥MN，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．角度3求平面与平面的夹角解：(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC，①因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，所以AC＝AB，所以AE⊥BC，②由①②，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA.

向量法求平面与平面夹角的步骤解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，又AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.考向三

利用空间向量求空间距离

如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离．课时作业一、单项选择题1．(2025·浙江金华期末)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中正确的是(

)A．v∥n1⇔l∥α B．n1⊥n2⇔α⊥βC．n1∥n2⇔α⊥β D．v⊥n1⇔l⊥α解析：由题意v∥n1⇔l⊥α，n1⊥n2⇔α⊥β，n1∥n2⇔α∥β，v⊥n1⇔l∥α或l⊂α.故选B.8．(2024·广州越秀区期中)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》中描述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”一个长方体ABCD－A1B1C1D1沿对角面斜解(图1)，得到两个一模一样的堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2)，得到一个四棱锥，称为阳马(图3)，一个三棱锥，称为鳖臑(图4)．若