高等数学教学课件1085

第1章函数与极限

1.1函数概念及其性质

1.2极限的概念

1.3无穷小量与无穷大量

1.4极限的运算法则

1.5两个重要极限

1.6函数的连续性

本章小结

内容提要：函数是微积分研究的对象，极限是研究微积分的工具。本章首先复习中学已经学习过的函数及其性质的有关知识，进而给出基本初等函数与初等函数的定义。

然后重点研究极限的概念与性质及函数的连续性。

学习要求：了解函数、复合函数、分段函数等概念；复述无穷小与无穷大的概念、极限的运算法则、函数连续与间断点的概念；熟悉复合函数的复合与分解，能用无穷小性质求极限、判断无穷小与无穷大；能够用极限的运算法则求极限，熟悉两个重要极限以及其在求极限中的应用。

1.1函数概念及其性质1.1.1函数的概念

1.函数的定义定义1设x

和y

为两个变量，

D为一个给定的数集.如果对每一个x∈D，按照一定的法则f，变量y

总有唯一确定的数值与之对应，就称y为x

的函数，记为

y

=f(x

)，x

∈D其中数集D称为该函数的定义域，记为D(f)，

x

叫做自变量，

y

叫做因变量。

对于确定的x

0

∈D，依法则f

的对应的值称为函数y=f(x)在x=x0

时的函数值，记作

y0=yx=x0=f(x0)

函数值的集合M={yy

=f(x)，

x∈D}，

称为函数y=f(x)的值域。

2.函数的两个要素

函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素。如果两个函数的定义域与对应法则分别相同，则称这两个函数是同一函数。例如，

u=v2

与

s=t2

就是相同的函数，由此可以看出，函数与表示其变量的符号是无关的。

例1

设

f(x)=x2

-2x+3

,求

f(2)、f(x+1)

.

解函数的对应规律为

f(

)=(

)2

-2×(

)+3

所以

f

(2)=22-2×2+3=3

f

(x+1)=(x+1)2

-2(x

+1)+3=x2

+2

3.函数的表示法

函数通常可以用表格法、图像法、解析法来表示,还可以用它们的综合来表示.

(1)表格法:将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.如三角函数表、常用对数表以及经济分析中的各种统计报表等.

(2)图像法:用图像表示两个变量的函数关系的方法.如图1－1所示例子即为图像法的应用.

(3)解析法:用一个等式表示两个变量的函数关系的方法.如y=2sinx

,y=2x3-lg(x

+5)等.图1－1

4.函数定义域的求解方法

函数定义域的求解方法如下:

(1)根据实际问题的实际意义确定.

(2)抽象的函数解析式必须使其解析式有意义.通常应

该考虑:分式中分母不能为零;偶次根式的被开方数非负;对数中真数表达式大于零;反三角函数,例如arcsinx

,arccosx

,要满足{x||x

|≤1};多个函数代数和的定义域应是各

项函数定义域的公共部分等等.

5.反函数

定义2设函数的定义域为Df，值域为Vf

。

对于任意的y∈V

f，

在Df上至少可以确定一个x

与y

对应，且满足y=f(x)。

如果把y

看做自变量，

x

看做因变量，就可以得到一个新的函数：

x=f-1(y

)。

我们称这个新的函数x=f-1(y

)为函数y=f(x)的反函数，而把函数y=f

(x

)称为直接函数。

反函数x=f

-1(y)与y=f

-1(x)，这两种形式都可能用到。

应当说明的是函数y

=f(x)与它的反函数x=f

-1(y)具有相同的图形。而直接函数y

=f

(x)与反函数y=f

-1(x)的图形是关于直线y=x

对称的，如图1－2所示。图1－2

1.1.2函数的几种特性

1.奇偶性

定义3设函数f

(x)的定义域D

关于原点对称,对于任意一个x∈D,都有f(-x

)=-

f(x),则称f(x)为奇函数;若有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.奇函数的图形关于原点对称;偶函数的图形关于y轴对称.如图1－3所示.图1－3

例如:f(x)=x2

是偶函数，因为f

(-x)=(-x)2=x2=f(x)；又如f(x)=x3

是奇函数，因为f

(-x)=(-x)3

=-x3=-f(x)；函数y=sinx

是奇函数，

y=cosx

是偶函数；

函数y=sinx

+cosx

既非奇函数，也非偶函数，称为非奇非偶函数。

2.函数的周期性

定义4设函数f(x)的定义域为D

。

若存在不为零的数T

使得对于任意的x

∈D，都有x±T∈D

，且

f(x+T)=f(x

)

恒成立，则称f

(x)为周期函数，其中T

叫做函数的周期。通常周期函数的周期是指它的最小正周期。

例如，

y=sinx

，y

=cosx

都是以2π

为周期的周期函数，y

=tanx

，

y=cotx

都是以π为周期的周期函数。周期函数的图形是按照周期重复出现的，参见附录Ⅱ。

3.函数的单调性

定义5设函数f

(x)的定义域为D

，(a,b)⊆D

，任取x1

、x2

∈(a,b

)，且x1

<x2

，恒有

f(x1

)<f

(x2

)

则称函数f

(x)在(a,b)内是单调增加的，如图1－4(a)所示。

如果任x1

、x2

∈(a,b

)，且x1

<x2

，恒有

f(x1)>f(x2)

则称函数f(x)在(a,b)内是单调减少的,如图1－4(b)所示.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.图1－4

例如,函数f(x)=x2

在区间[0,+∞)内是单调增加的,在区间(-∞,0]内是单调减少的;但是在区间(-∞,+∞)内,函数f

(x)=x2

不是单调的.

又如,函数f(x)=x3

在区间(-∞,+∞)内是单调增加的.

如果函数y=f(x)在(a,b)内是增函数(或是减函数),则称函数f(x)在区间(a,b

)内是单调函数,区间(a

,b)叫做函数f(x)的单调区间.函数在区间(a,b)内的单调增加或单调减少的性质,叫做函数的单调性

4.函数的有界性

定义6设函数f(x)的定义域为D,数集I⊆D,如果存在正数M,使得与任一x

∈I所对应的函数值都满足不等式

|f(x)|≤M

则称f(x)在I内有界.如果这样的M不存在,就称函数f(x)在I内无界.这就是说,如果对于任何正数M,总存在x1∈I,使|f

(x1)|>M,那么函数f(x)在I内无界.

1.1.3初等函数

1.基本初等函数

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。

(1)常数函数

y=C(C

为常数)。

(2)幂函数y=xμ(μ

为常数,μ

∈R

)。

(3)指数函数y=ax(a

>0,a≠1,a

为常数);y=ex(e=2.71828182849…).

(4)对数函数y=logax(a

>0，a

≠1，

a为常数)；y

=lnx

(自然对数)。

(5)三角函数y

=sinx

，y

=cosx

，

y

=tanx

，

y

=cotx

，

y

=secx，

y

=cscx

。

(6)反三角函数y

=arcsinx

，

y

=arccosx，y

=arctanx

。

y

=arccotx。

上述基本初等函数的图形请读者参见附录Ⅱ。

例5

试求由函数y=u3

，u=tanx

复合而成的函数。

解将u=tanx

代入y=u3

中，即得所求复合函数y=tan3x

。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。

例如，由函数y=2u

，u

=sinv和v=x2+1

可以复合成函数y=2sin(x2+1)，其中u

和v都是中间变量。反之，分析一个复合函数的复合结构一般由外向里，每一步都应是基本初等函数的形式。

今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。

在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数称为分段函数。

一般说来分段函数不是初等函数，分段函数往往不能用一个解析式子表示。

例如

习题1－1

2.指出下列各组函数的同异性,为什么?

3.指出下列函数的复合过程:

1.2极限的概念

极限描述的是变量在某个变化过程中的变换趋势.比如现实生活中电池的充放电;从市场的变化趋势来预测产品需求状况,等等,这些过程从数学上看便体现了极限的思想.

1.2.1数列的极限

数列是按正整数的顺序排列的无穷多个数.通常也把数列写成

y

1,y2,…,y

n,…

数列中的每一个数叫做数列的项.第n项yn叫做数列的通项或一般项.

例如８页

等都是数列.

数列可用通项简记为{y

n}.

因此,上述数列可简写为:

我们要研究的问题是：给定一个数列{y

n}，当项数n

无限增大时，通项y

n的变化趋势.

定义1给定数列{y

n}，如果当n无限增大时,y

n无限接近于一个确定的常数A,则称n趋于无穷大时(记为n→∞),数列{y

n}以常数A为极限,也称数列{y

n}收敛于A.

记作

否则,称数列yn{}没有极限,也称该数列是发散的.

数列{(-1)n+1},当

n无限增大时，yn

总是在1与-1之间跳跃，永远不会趋近于某一个固定的数。因此它没有极限,是发散的。

数列{2n-1}，当n

无限增大时，yn

将随着n增大而增至无穷大，我们说它也没有极限，是发散的。

图1－5

例3考察y=sinx,当x→+∞时的变化情况。

解

由于y

=sinx是周期函数,当x

→+∞时,函数y=sinx的值在-1和1之间呈现周期性摆动,不趋向于任何常数.所以我们说当x→+∞时,函数y=sinx没有极限。

我们给出如下的定义:

定义2如果当x→+∞

时,函数f

(x)趋于某一个常数A,则称当x→+∞时,函数f(x)以A

为极限.记作

类似地,可以引入当x→-∞和x→∞时f(x)的极限.

定义3如果当x→-∞时,函数f(x)趋于某一个常数A,则称当x→-∞时,函数f

(x)以A

为极限.记作

例4求。

解由指数函数的图形可知，当x→-∞时,3x

→0,所以

定义4如果当x→∞(包括x→+∞x

→-∞)时，函数f(x)趋于某一个常数A

，则称当x→∞时,函数

f(x)以A

为极限。记作

如

定理1当x→∞时,f(x)以A

为极限的充分必要条件是:

例5求

解由反正切函数图形1－6可以看出

因为

所以不存在

图1－6

定义5设函数y=f(x)在点x

0

的某个邻域(点

x

0本身可以除外)内有定义，如果当x趋于x

0

(但x≠x

0

)时，函数f(x)趋于一个常数A,则称当x趋于x

0时，

f(x)以A

为极

限。记作

亦称当x→x

0时，f(x)的极限存在。否则称当x→x

0时，

f(x)的极限不存在。

上述x

趋于x

0

的变化趋势并没有限定。事实上，一般x趋于x

0有两个方向：从x大于x

0趋于x

0时我们称为f(x)的右极限；从x小于x

0趋于x

0时我们称为f(x)的左极限。

记作

例7根据极限定义说明:

解(1)当自变量x

趋于x

0时，函数2x

就趋于2x

0

,于是依照定义有。

(2)无论自变量取何值，函数都取相同的值c，所以。

由上得知:常数的极限是它本身.

根据上面的定义,我们给出类似定理1极限存在的充分必要条件.

定理2当x→x

0时，

f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在点x

0处左、右极限存在并且都等于

A。即

例8设

。试判断是否存在。

解

先分别求f(x)当x→1时的左、右极限：

习题1－21.求下列极限:

1.3无穷小量与无穷大量

1.3.1无穷小量定义1若函数f(x)在自变量x

的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中,f(x)为无穷小量。简称无穷小。无穷小量常用希腊字母α

，β，γ等来表示。

例如,

,即当x→-∞时,3x

为无穷小量；,即当x→0时,x2

也为无穷小量.

理解无穷小概念时应注意：

(1)无穷小是以零为极限的变量,是一个函数。

不要把一个很小很小的数误认为是无穷小量。如10-30这个数虽然非常小,但它不以0为极限,所以不是无穷小量。常数0是特殊的无穷小量，除0之外，任何常数都不是无

穷小量。

其中limα=0.

在自变量的同一变化过程中,无穷小具有以下性质：

性质1有限个无穷小的代数和仍然是无穷小。

性质2常数与无穷小的积仍是无穷小。

性质3

有限个无穷小之积(自变量为同一变化过程时)仍然是无穷小。

性质4有界函数与无穷小之积仍是无穷小。

习题1－3

1.判断下列叙述是否正确，并说明理由。

(1)无穷小量是越来越接近于零的量；

(2)0是无穷小量；

(3)无穷小量是0；

(4)无穷小量是以零为极限的变量；

(5)无穷小量的倒数是无穷大量。

1.4极限的运算法则

利用极限定义求函数的极限,一般情况下是不方便的,而且有一定的局限性.本节介绍极限的四则运算法则,并利用运算法则求变量的极限.

推论1

如果limf(

x)存在，而C为常数，那么

推论2

limf(

x)=A

存在，而n为正整数，那么

例1求

解

例2求

解

例4求

解

当x→2时,分式的分子、分母的极限均为0,不能直接用商的极限法则求解.而当x

→2但x≠2时,分子、分母都有以零为极限的公因子x-2,可消去后再求极限.即

例5求

解

例7求

解

当x→∞时,分式的分子、分母均趋于无穷大,不能直接用商的极限法则求解.将分子、分母同除以x的最高次幂x3,得

例8求

解将分子、分母同除以x

的最高次幂x

3,得

例9求

解

将分子、分母同除以x

的最高次幂x

3,得

习题1－

4

1.求下列极限:

2.求下列极限:

1.5两个重要极限

从上表可以看出,当x→0时,函数,即

1.5.2第二重要极限

我们可以从表1－3中观察函数随x

无限增大的变化趋势。

更一般地,还可以有如下公式:

这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为e”

1.5.3等价无穷小在求极限中的应用

我们知道,如果α

，β

都是无穷小量，当limβα=1时，则β与α是等价的，记作α~β。关于等价无穷小,我们有下面两个等价代换法则，它们对于求极限有时是很有用的。

习题1－5

1.求下列极限:

2.求下列极限:

1.6函数的连续性

在现实生活中有许多量都是连续变化的，例如气温的变化，植物的生长,物体运动的路程，等等。这些反映在数学上就是函数的连续性，它是与函数的极限密切相关的另一个基本概念。

1.6.1连续函数的概念

1.增量

定义1

设变量u

从它的初值u

0

变到终值u

1,则终值与初值之差u

1

-u

0就叫做变量u

的增量,又叫做u的改变量,记作Δu,即Δu

=u

1-u

0

.

对于函数y=f

(x

),当自变量x

从x

0变到x

0+Δx(自变量的改变为Δx)时,函数y有相应的改变量,记作Δy,即

Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

)

2.函数在点x0处的连续

定义2

设函数y=f(x),在点x

0的某个邻域内有定义,如果当自变量x

在点x

0处的改变量Δx

趋于零时,函数相应的改变量Δy=f

(x

0+Δx)-f(x

0)也趋于零,即

则称函数f(x),在点x

0处连续。

由上述定义，如果令x=x

0+Δx，则当Δx→0时，

x

→x

0，于是limΔx→0Δy

=0可以改写为

即

因此，函数在点x

0

处连续也可定义如下:

定义3

设函数y=f(x

)，在点x

0

的某个邻域内有定义，如果当x→x

0时函数f(x

)，的极限存在，

且等于f(x

)，在点x

0

处的函数值f

(x

0)，即

则称函数f(x)在点x

0处连续。

据此,函数f(x)在点x

0处连续必须同时满足以下三个条件:

(1)函数在x

0点有定义;

(2)函数f(x)当x→x

0时有极限;

(3)极限值等于该点处的函数值。

如果这三条中任何一条满足,则可判定函数f(x)在x

0

处就是不连续的。

同理,根据函数f(x)在x

0处左极限和右极限的定义,可给出f(x)左连续与右连续的定义:

定义4如果=f(x

0),则称函数y=f(x)在点x

0处左连续;如果li

=f(x

0),则称函数y=f(x)在点x

0处右连续。

例1讨论函数

在x=0处的连续性。

解

点x=0是函数f(x

)的分段点，且此点两侧函数的表达式不同，所以必须分别求左、右极限，再用连续的定义判定。

因为

所以

又因为f(0)=2,于是

故函数f(x)在点x=0处是连续的

3.函数在区间上的连续

定义5

如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,则称f(x)在区间(a,b)内连续.若函数f(x)在区间(a,b)内连续,且则称f(x)在区间[a

,b]上连续。

连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。

1.6.2初等函数的连续性

定理

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

根据这条定理，我们在求初等函数在其定义区间内某点的极限时，只需求初等函数在该点的函数值即可。

1.6.3函数的间断点

1.间断点

定义6

如果函数y=f(x)在点x

0处不连续，则称函数y=f(x)在点x

0处间断，点x

0称为函数y=f(x)的间断点。

2.间断点的分类

定义7

设x

0

为f(x)的一个间断点，如果当x→x

0

时，与均存在，则x

0称为函数y=f(x)的第一类间断点，否则，称x

0为f(x)的第二类间断点。

第一类间断点还可分为如下两类：

(1)跳跃间断点———左、右极限存在但不相等，即

(2)可去间断点———极限值存在但不等于函数值，即

例2

设函数f(x)=，讨论f(x)在x=0处的连续性。

解因为f(x)在x=0处有定义，且

显然

所以f(x)在x=0处不连续，且x=0是第一类间断点,且为可去间断点。

1.6.4闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数具有一些重要性质,这些性质在理论与实际中都有广泛的应用，

性质1

若函数f(x)在闭区间[a,b

]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上必然存在最大值与最小值。

性质2

设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,f(a)=A,f(b)=B,且A≠B,

则对于A

与B

之间的任一值C,在开区间(a

,b)内至少存在一点ξ,使得f

(ξ

)=C。

性质3

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且

f(a)·f(b)<0，则在开区间(a

,b

)内,至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

性质4

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界。

例4证明方程x

5-2x2+x+1=0在区间(-1,1)内至少有一个实根。

证明设f(x)=x

5-2x2+x+1=0，因为f(x)是初等函数,并在[-1,1]上连续；又因为f(-1)=-3<0，

f(1)=1>0，所以，根据性质4，在(-1,1)内至少有一点ξ

，使f

(ξ)=0，(-1<ξ<1)，即

ξ5

-2ξ2+ξ+1=0

所以，方程x

5-2x2+x+1=0在区间(-1,1)内至少有一个实根。

习题1－61.判断下列叙述的正误(说明判断理由):(1)如果f(x

0)存在,则

f(x)在点x

0处连续.

(

)(2)如果

f

(x)存在,则f(x)在点x0处连续.

(

)(3)如果f(x

0

)存在,

f

(x)存在,则f(x)在点x

0处连续.

(

)(4)如果f

(x

0

-0)=f

(x

0

+0),则f(x)在点x

0处连续.

(

)(5)一切初等函数在定义区间内连续.

(

)

2.讨论下列函数在指定点的连续性:

本章小结

一、函数的概念

1.函数的概念函数是高等数学研究的基本对象.函数的定义域确定函数存在的范围,函数的对应法则确定自变量如何对应到因变量,这是构成函数的两个要素.两个函数恒等当且仅当定义域和对应法则完全相等,若两者之一不同,就是两个不同的函数.

2.复合函数

设y=f(u

),而u

=φ(x)且函数φ(x)的值域全部或部分包含在函数f(u)的定义域内,那么我们把y叫做x

的复合函数,简单地说,复合函数就是函数嵌套函数或者函数的函数.但要注意:不是任何两个函数都能复合成一个函数.复合函数可以经过多次复合.

二、极限的概念

1.极限的定义

函数的极限是在中学研究函数的基础上对函数的进一步研究,它研究的是函数的变化趋势,即在自变量的某一变化过程中,函数是否无限接进某常数A.这里的“无限接近”就

是要多接近就能有多接近的意思.极限是微积分中最基本、最重要的概念之一,极限运算是微积分中的三大运算的最基本运算之一,而极限理论是微积分的理论基础.

(1)当x→x

0时,函数f(x)的极限是指x无限接近x

0时,f(x)的变化趋势而言,而不是求x=x

0时f(x)的函数值,因此,与f(x)在x

0是否有定义无关.

(2)极限不存在有两种情况:在自变量的某个变化过程中,函数值的绝对值趋于无限大;或函数值不会无限接近一个确定的常数.

2.左极限、右极限的概念

从x>x

0趋于x

0时f(x)的极限称为f(x)的右极限；从x<x

0趋于x

0时f(x)的极限称为f(x)的左极限.f(x)以A

为极限的充分必要条件是f(x)在点x

0处的左、右极限存在并且都等于A。

3.两个重要极限

4.无穷小量与无穷大量

若f(x)在自变量x

的某个变化过程中以零为极限,则称其为无穷小;若函数f(x)的绝对值无限增大,则称其为无穷大.

(1)零是常数中唯一的无穷小,其它任意常数都不可以看做无穷小.

(2)一般来说,无穷小量是变量,其变化趋势是无限接近常数零,不可把“很小很小的数”与之相混淆.

(3)一个函数是否为无穷小(大)量是相对的,它取决于自变量的变化过程,笼统地说某函数是无穷小(大)量是错误的。

(4)无穷小与无穷大之间是倒数关系,但需注意,无穷大的倒数是无穷小,不为零的无穷小的倒数是无穷大.无穷大与无穷小的这种关系是在自变量的同一变化过程中才成立的.

(5)无穷小与无穷小之比不一定是无穷小量.

三、极限的运算

1.极限的四则运算法则

必须注意这些法则是在都存在的前提下成立的,如果它们之中有任何一个不存在,那么这些法则就不成立。

四、函数的连续性

在讨论函数连续性时,常常见到两种情况:

(1)函数y=f(x)在点x

0的两侧表达式不同(即x

0为分段函数的分段点),此时y

=f(x)在点x

0连续的充分必要条件是

(2)函数y=f(x)在点x

0的两侧为同一表达式,此时数y=f(x)在点x

0连续的充分必要条件是

在一般情况下,判定函数f(x)在点x

0是否连续,是用“一切初等函数在其定义区间内都是连续的”结论来判定.应注意的是不能说“一切函数在其定义域内都是连续的”。

第2章导数与微分

2.1导数的概念2.2求导法则

2.3高阶导数

2.4微分与简单应用本章小结

第2章导数与微分内容提要:现实生活中诸如物体的变速运动的速度、交流电流强度、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等,所有这些在数量关系上都可归纳为函数的变化率,即导数问题.而微分则与导数密切相关.本章将重点阐明导数与微分的概念及其计算.学习要求:知道导数与微分的概念、几何意义及函数可导性与连续性之间的关系,能用导数描述一些简单物理量;熟悉导数和微分的运算法则以及基本公式;复述高阶导数的概念,能求简单初等函数、隐函数的一阶和二阶导数.

2.1导数的概念

实际问题中的物体运动往往是非匀速的,因此,上述公式只是表示物体走完某一段路程的平均速度,而不能反映出任一时刻物体运动的快慢.要想精确地刻画出物体在运动中

任一时刻的速度,就必须研究所谓的瞬时速度.

设一物体作变速直线运动,则物体在运动的过程中,其相应路程s

与时间t

之间存在函数关系:s=s

(t).现在我们来考察该物体在

t0

时刻的瞬时速度.

图2－1

其中，φ

是割线MN的倾角，当Δx

很小时，点N

就沿

着曲线向点M

靠拢，而割线MN

即绕着点M

转动。当Δx→0时，点N

就无限趋近于点M

，而割线MN

就无限趋近于它的极限位置直线MT

，直线MT

就是曲线在点M处的切线。因而切线倾角α

是割线倾角φ

的极限,故切线的斜率tanα是割线斜率的极限，亦即

2.1.2导数的概念

1.导数的定义

定义

设函数y=f(x)在x

0点的某邻域内有定义，且当自变量在x

0点有一增量Δx时，函数y=f(x)相应地有增量Δy=f(x

0

+Δx)-f(x

0

)，如果极限

下面的两种形式与导数的定义形式等价:

如果x

0=0,有等价形式

如果y=f(x)在点x

0及其右侧邻域内有定义，当

存在时,则称该极限为f(x)在点x

0

处的右导数,并记为f‘+(x

0)或f’(x

0+0)，即

同理定义左导数

联系到函数f(x)在点x

0处极限存在的充要条件,同理可得f(x)在点x

0处可导的充分必要条件是它在该点处的左导数和右导数均存在,并且相等,即

函数的左导数与右导数常常用于判定分段函数在其分段点处的导数是否存在.

通常说y=f(x)在[a,b]上可导,是指函数f(x)在(a,b)内可导,且在左端点a处右导数存在,在右端点b处左导数存在.

3.导数的几何与物理意义

如果函数y=f(x)在x=x

0

处的导数f‘(x

0)存在，则在几何上表明曲线y=f(x)在点(x

0，

f

(x

0))处存在切线，且切线斜率为k

=f’(x

0)。由解析几何知识可知，曲线y=f(x)在点(x

0，

f

(x

0))处的切线方程为：

y-f

(x

0)=f'(x

0)(x-x

0)

如果f‘(x

0)≠0,则此时曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为

如果f‘(x

0)=0，则y=f(x

0)即为曲线y=f(x)在点(x

0，

f

(x

0))处的水平切线。

设物体作直线运动，其路程s与时间

t的关系为s=s(

t

)，且s(t)在t=t0

处的导数s’

(t0)存在，那么s'(t0

)即表示物体在时刻t0

的瞬时速度v(t0)

4.可导与连续之间的关系

如果函数y=f(x

)在x=x

0

点处可导,那么函数y=f(x)在该点处必连续。

事实上，若函数y=f(x)在x=x

0点处可导，即

存在，这时，

故数y=f(x)在点x=x

0处连续.

然而,函数y=f(x)在x=x

0点连续而它在该点处不一定可导.

例4

求函数y=sinx的导数.

解

(1)求增量:因为f

(x

)=sinx,f(x+Δx)=sin(x+Δx),所以

Δy=f

(x+Δx)-f(x)=sin(x+Δx)-sinx

应用三角学中的和差化积公式有

(2)计算比值:

(3)取极限:

(3)取极限:

习题2－1

2.2求导法则

按照导数的定义可以求一些简单函数的导数,对于一般函数的求导,如果按照定义去做将会很繁琐.本节首先给出导数的求导法则,然后介绍复合函数、隐函数、反函数等的求导方法,最后介绍三个求导技巧.

2.2.1导数的四则运算法则

设函数u=u

(x

),v=v(x)在点x

处可导,则

(u±v)‘=u’±v‘

(uv

)’=u‘v

+uv’

特别地

(cu)‘=cu’(c

为常数)

特别地

用类似的方法可求得

2.2.2复合函数的求导法则

如果函数y=f(u),u=φ(x)复合成y=f[φ(x

)],当u=φ(x)在点x

0

可导,且y=f(u)在u

0

=φ(x

0

)点也可导时,则复合函数y=f

[φ(x)]在x=x

0

点也可导,且有

上述方法称为复合函数的求导链式法则,此法则可以用于多层复合的情形.

2.2.3反函数的求导法则

设函数y=f(x)为x=φ(y)的反函数,若φ(y)在y

的某邻域内连续单调,且φ'(y)≠0,则f(x)在x=φ(y)处也可导,且有

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例

8

设y=

ax

(a

>0,a≠1),求y‘。

解由y=

ax可得

x=loga

y,因为两者互为反函数,于是

特别地,当a=e

时,y=ex

的导数为

为便于记忆和方便使用,我们将基本初等函数的导数的基本公式整理如下,其中尚未证明的公式读者可自行推导.

2.2.4隐函数求导法

由方程F

(x

,y)=0所确定的函数y

=y(x)叫做隐函数.隐函数的求导方法是:

(1)将方程F(x,y)=0的两端每一项对x

求导,求导时将y看做x

的复合函数;

(2)利用复合函数的求导法则求导后,解出y'即可.

例9

设y

=y

(x

)是由y3

-3y

+2ax=0所确定的函数,求y‘。

解将所给式子两端对x

求导,可得

3y2y'-3y'+2a=0

整理可得

2.2.5由参数方程所确定的函数的求导法

在实际应用中，函数y

与自变量x

的关系常常通过某一参变量t表示出来，即

称为函数的参数方程.

由于y

是参数t

的函数,x

是t

的函数,所以,易求得y

对x

的导数为

2.2.6对数求导法

对于幂指函数y=u

(x)v

(x)，或y

为若干个函数连乘、除、乘方、开方所构成的函数，通常可以先对两边取自然对数改变其函数类型，再求导，这样可以达到事半功倍的效果。

习题2－2

1.求下列函数的导数:

2.3高阶导数

类似地,函数的二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,……,一般地,(n

-1)阶导数的导数叫做n

阶导数,分别记作

或

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。对于求n

阶导数的情况，需要注意从中找出规律，以便得到n阶导数的表达式。

2.3.2二阶导数的物理意义

设物体作变速直线运动，其运动方程为s=s

(t)，瞬时速度为v=s‘(t

)。此时，若速度v

仍是时间t

的函数，我们可以求速度v对时间t

的变化率：

v’

(t)=(s‘

(t))’=s″(

t)

在力学中把它叫做物体在给定时刻的加速度,用a表示.也就是说,物体的加速度

a是路程s对时间t

的二阶导数,即

例3

设物体的运动方程为s=2sin(2t+3)，求物体运动的加速度。

解因为s=2sin(2t+3)，所以瞬时速度v=s‘

=4cos(2t+3)；则加速度为a=s″=-8sin(2t+3)

习题2－3

2.4微分与简单应用

函数的导数描绘了函数变化的快慢程度。在工程技术和经济活动中，有时还需了解当自变量取得一个微小的增量Δx

时，函数取得的相应增量的大小，这就是函数微分的问题。

当Δx

很小时,(Δx

)2

可以忽略不计,2x

0

·Δx

为Δs

的主要部分.即2x

0

·Δx

可以近似地代替Δs;我们把2x

0

·Δx

就叫做正方形面积的微分.图2－2

1.微分的定义

设函数y=f

(x

)在x

0

的某个邻域内有定义,当自变量在x

0处取得增量Δx

时,如果函数的增量Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

)可以表示为

Δy=AΔx+ο(Δx

)

其中A

是与x

0有关而与Δx

无关的常数,ο(Δx)是比Δ

x高阶的无穷小量,则称函数y

=f(x)在点x

0处可微,A

Δx叫做函数y=f(x)在点x

0的微分,记作dy,即

dy=AΔx

因此,上例中正方形面积的微分dS=2x

0

Δx.由微分定义可知,A=2x

0

,即A

=(x2)'|x=x

0

.可以证明,一般地,A=f'(x

0

)

例1函数y=2x

2

,当自变量x从2

改变到2.01时,求函数的增量与函数的微分.

解

x

0=2,Δx=0.1,则函数的增量为

Δy=2×2.012

-2×22

=2(2.01+2)(2.01-2)

=2×4.01×0.01

=0.0802

函数的微分为

dy=y‘|x=2

Δx=4x|x=2

·(2.01-2)

=4×2×0.01

=0.08

例2

求函数y=xn(n

∈R)的微分.

解dy=y‘dx=(

xn)’dx=nxn

-1dx

3.微分的几何意义

函数y=f(x)在点x

0处的微分dy=f‘(x

0

)Δx,在几何上表示曲线y=f(x)在点(x

0

,f

(x

0

))当自变量x

有增量Δx

时切线的纵坐标的增量,如图2－3所示.图2－3

2.4.2微分法则与微分基本公式

由微分公式可以知道,计算函数的微分,只要求出函数的导数,在乘以自变量的微分即可.因此,根据导数的运算法则与求导基本公式即可得到微分法则与微分基本公式.

1.微分的基本公式

2.微分的运算法则

3.复合函数的微分法则

设函数y=f

(u

)与u=g(x)皆为可微函数,则y=f[g(x)]可微,且

dy=y‘x

dx=f’(u)g‘(x)dx

由于g’(x)dx=du,故上式可写为

dy=f'(u)du

由此可见,无论

u是自变量还是中间变量,微分形式dy=f'(u)du都保持不变,这一性质称之为微分形式不变性.

例5设ylnx=x

lny

确定函数y=y(x),求dy.

解

将所给方程两端关于x

求导,得

例6设y=2sinx,求dy.

解法1

运用微分计算公式,先求导函数

y‘=2sinx

ln2(sinx)’=2sinx

·ln2·cosx

dy=y‘d

x=ln2·2sinx

cosx

dx

解法2

运用微分形式不变性

dy=d(2sinx

)=2sinx

ln2d(sinx)=2sinx

ln2cosx

dx

2.4.3微分在近似计算中的应用

从微分的定义可知,如果函数y=f

(x

)在点x

0

处的导数

f‘(x0)≠0,函数的微分dy与增量Δy

相差一个高阶无穷小量ο(Δx),当Δx很小时,可以忽略ο(Δx),而把dy作为Δy

的近似值,即

而

所以

即

习题2－41.设函数y=x2

-1,当自变量从1改变到1.02时,求函数的增量与函数的微分.2.求下列函数的微分:3.计算下列各数的近似值:

本章小结一、导数的概念

1.导数的定义设函数y=f(x

)在点x

0及其附近有定义,给自变量x

在点x

0处取变量Δx,相应地,函数y有改变量Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

),如果极限

关于导数的定义,在学习中应注意以下几点:

(1)函数y=f(x)在点x

0处的导数有以下两种等价形式,即

(2)导数定义属于构造性的定义,定义本身不仅规定了概念的内涵,同时也给出了计算导数的方法.

(3)函数y=f(x)在点x

0

处的左导数和右导数:

(4)可导数与连续的关系:

函数y=f(x)在点x

0处可导是函数在点x

0处连续的充分条件,而连续是可导的必要条件,即可导必连续,但连续不一定可导.

(5)从数学角度看导数是函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限;从物理角度看导数表示函数在点x

0处的瞬间变化率;从几何角度看导数f'(x

0

)表示曲线y=f(x)在(x

0

,f

(x

0

))处的切线斜率.y=f(x)在点(x

0

,f(x

0

))处的切线和法线方程如下:

切线方程为

法线方程为

2.导函数

如果函数y=f(x)在某一区间内每一点都有导数,那么对于此区间内x

的每一个确定的值,都对应着一个确定的导数f‘(x),f’(x)就叫做函数y=f(x)的导函数(简称导数),即

因此,函数y=f(x)在点x

0的导数f'(x

0

)就是导函数f'(x

)在x=x

0的值.

二、导数的运算

1.导数的四则运算法则

设函数u=u(x

)和v=v(x)的导数均存在,则

2.导数基本公式

(略)

3.复合函数的求导法

若y=f(u

)及u=φ(x)均可导,则

应用法则时,可引进适当的中间变量,弄清复合关系.求导遵循“由外往里”,“逐层求导”原则;所谓“由外往里”指的是从式子的最后一次运算程序开始往里复合;“逐层求导”指的是每次只对一个中间变量进行求导.

4.隐函数的求导法

(1)将确定隐函数的方程的两端同时对自变量x

求导,凡遇到含有因变量y

的项时,把y

当作x

的复合函数看待,按复合函数求导.

(2)从得到的含导数y‘x的等式中解出y’x

,就是所要求的隐函数的导数.

5.对数求导法

对于幂指函数y=u

(x)v

(x)[u

(x)>0]以及由多个因子通过乘、除、乘方和开方等运算构成的复杂函数的求导,可先对等式两边取对数,然后再求导,这可使对积商的导数运算转化为和差的导数运算,从而使求导过程大为简化.

6.由参数方程确定的函数的求导法

三、微分的概念

1.函数微分的概念

设函数y=f(x)在x

0的某个邻域内有定义，在x

0处给增量Δx

，函数得增量Δy

=f(x

0+Δx)-f

(x

0)。若函数增量可写为Δy=AΔx+ο(Δx

)，其中A是与x

0有关而与Δx无关的常数，

ο

(Δx)是比Δx

高阶的无穷小量，则称函y=f(x)在点x

0处可微，

A

Δx

叫做函数y=f(x)在点

x

0的微分，记作dy

，即

注意，当f‘(x

0)≠0时,微分有以下两个特征:

(1)dy是自变量Δx

的一次函数;

(2)Δy－

dy=ο(Δy)是较Δx

的高阶无穷小,函数微分d

y是函数增量Δy

的线性主部

2.微分与导数的区别和联系

(1)区别。导