人教版八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 同步分层训练

人教版八年级下册20.1勾股定理及其应用同步分层训练一、夯实基础1．如图，已知OA=OB，BC=2，BC⊥OC于点C，则数轴上点A所表示的数为（）A．10 B．13 C．−10 D．2．在Rt△ABC中，两直角边分别是6cm，8cm，则第三边等于（）A．2cm B．8cm C．10cm或27cm 3．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．6 B．8 C．10 D．124．如图所示为画在方格纸上的温州部分旅游景点分布简图.建立平面直角坐标系后，狮子岩、永嘉书院与埭头古村的坐标分别是（3，2），（-1，-3），（-3，0）。下列地点中，离原点最近的是（）A．狮子岩 B．龙瀑仙洞 C．埭头古村 D．永嘉书院5．如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．514 B．8 C．16 D．646．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺7．如图，边长为1的小正方形组成7×7的网格，则图中阴影正方形的边长为。8．如图，圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为cm.9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,10．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB=1.3米，小狗的高CD=0.3米，小狗与小方的距离AC=2.4米（绳子一直是直的），则牵狗绳BD=米.11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，若AB=5，BC=6，则AD的长度为．12．如图，方格纸中小方格的边长均为1，请在方格纸中画出一条长为20的线段.13．已知△ABC中，∠C=90°，a，b为直角边，c为斜边.（1）若a=1，b=2.求c；（2）若a=4，c=5.求b.二、能力提升14．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．16m B．18m C．22m D．24m15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F，则线段BE的长为()

A．1 B．32 C．2 D．16．如图，已知等腰△ABO的底边BO在x轴上，且BO=8,AB=AO=5，点A．(−3,4) B．(3,17．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=3A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AB=3，D是边AB上的动点（点D与点A，B不重合），过点D作DE⊥BC，连结CD，F是CD的中点，连结AE，AF，EF。给出下列结论：①△AEF是等腰三角形；②当DE=1时，AD=AF；③A．①②③ B．①③ C．①② D．②③19．如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=．20．《九章算术》中有“折竹抵地”的故事，原文为：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远.（注：1丈=10尺）请问折断后竹子离地面的高度为尺．21．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将秋千往前推至点C处时，水平距离CD=6m，踏板离地的垂直高度CF=4m，秋千的绳索始终拉直，则AC的长是m.22．已知：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=5,（1）求AD的值．（2）如图2，P为线段AC上一点，连接PD，作点C关于直线PD的对称点E，连接PE，DE，①如图3，若点E落在线段AD上时，求此时DP的值．②如图4，若点E落在线段AB上时，求此时△APE的面积．23．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上.当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m.（1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少?（2）当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达A'处时，它的底端从B处滑动到B三、拓展创新24．如图，在锐角△ABC中，AC=2，AC边上的中线.BD=3A．a+b B．a-b C．a2+25．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点E，若BE=A．12 B．14 C．21 D．2526．美术课上，同学们要在长方形画框ABCD中粘贴两个全等的正方形图案，图1和图2是两位同学的设计．如图1．两正方形的顶点E,F，分别在BC，AD上，且E,P,F三点共线，点G，H分别在AB，CD上；如图2，仅改变正方形PMHF的位置，点M在BC上，点H在CD上，且EM=MC．已知长方形ABCD的面积为480c27．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA=OC，OB=OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA=FN=1，AB=3，则OD=39；④若FA=1，AB=3，∠ABE=60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是21.上述结论中，所有正确结论的序号是.

28．在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的动点，连接BE，CD交于点F.（1）如图1，若∠A=50度，BE，CD分别是△ABC的角平分线，求∠CFE（2）如图2，若∠CFE=60度，AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE.①求∠A的度数；②探究BC，DF，EF之间的数量关系，并说明理由.29．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D为边BC上一点（不与点B、C重合），连接AD，直线EF⊥AD，分别交边AB、AD、AC于点E、O、F、AO=DO，连接、DE、DF．（1）证明：△AEF≌△DEF；（2）设BD=x，用含有字母a和x的代数式表示△BDE的周长与△DFC的周长的差值；（3）如果△BDE为直角三角形，求EF的长（用含有字母a的代数式表示）．30．汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足：a2+b2=c2（1）如图1，已知a=6，b=8，则c=；（2）如图2，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；与此同时，点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动.连接AC，将AC绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD交y轴于点N.当BN=2时，求运动时间t；（3）如图3，已知G（0，m）（m＞0），点M是OG中点，过点G作直线l∥x轴，点P是直线l上的动点，连接MP，作MQ⊥MP，且MQ=MP，若MQ+OQ达到最小，且最小值为5时，求此时m的值.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

OA=OB=OC2+B故答案为：D【分析】根据勾股定理，结合无理数在数轴上的表示即可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，两直角边分别是6cm，8cm，∴第三边等于62故答案为：D【分析】本题考查勾股定理在直角三角形中的应用，核心是掌握直角三角形三边的数量关系。勾股定理指出，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，题目明确给出两直角边长度，因此第三边必然是斜边，无需考虑第三边为直角边的情况。解题时直接将两直角边的长度代入勾股定理公式，计算623．【答案】C【解析】【解答】解：正方体的部分展开图如图所示，连接PQ，即PQ的长度即为蚂蚁爬行的最短路程

由题意可得：PB=AB=6，AQ=2

∴BQ=6+2=8

∴PQ=P故答案为：C【分析】根据正方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】

解：如图所示：

点O到狮子岩的距离为：32+22=13，

点O到龙瀑仙洞的距离为：2，

点O到埭头古村的距离为：3.

点O到永嘉书院的距离为：32+12=5．【答案】D【解析】【解答】解：如图，设直角三角形的三边长分别为a，b，c，由题意得a2∴a2∴字母A所代表的正方形的面积为a2故选：D．【分析】设直角三角形的三边长分别为a，b，c，根据勾股定理可得a26．【答案】D【解析】【解答】解：设芦苇长AB＝AB因为边长为10尺的正方形，所以B'在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故选D．【分析】设芦苇长AB＝AB7．【答案】5【解析】【解答】解：如图，根据网格可得出图中阴影正方形的边长为：32故答案为：5.【分析】根据勾股定理在网各种的应用，即可得出图中阴影正方形的边长。8．【答案】5π【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，

∵BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，即AC=12×6π=3π（cm）

∴AB=(3π)2故答案为：5π.【分析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，根据题意可得出BC=4πcm，AC=12×6π=3π9．【答案】25【解析】【解答】解：设CD=x

在Rt△ABC中，D为AB的中点

∴AB=2CD=2x，AD=CD=x

∵AE⊥CD

∴∠AEC=90°

在Rt△ACE中，CE=AC2−AE2=4

∴DE=4-x

在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即32+(4-x)故答案为：25【分析】设CD=x，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AB=2CD=2x，AD=CD=x，根据勾股定理可得CE，则DE=4-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.10．【答案】2.6【解析】【解答】解：根据题意可知AB=1.3m，CD=0.3m，AC=2.4m，

过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：

则AE=CD=0.3m，DE=AC=2.4m，

∴BE=AB-AE=1m，

在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD=BE2+DE2=2.6m，11．【答案】4【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，BD=12BC，

∴∠ADB=90°，

∵BC=6，∵AB=5，∴AD=AB2−BD12．【答案】解：由22+42=20知，以2，4为直角三角形直角边，则其斜边为20，

故2013．【答案】（1）解：∵a，b为直角边，c为斜边，a=1，b=2，∴c=a（2）解：∵a，b为直角边，c为斜边，a=4，c=5，∴b=c【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；（2）利用勾股定理直接计算即可.14．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知，大树折断后，折断处到地面的部分（BC）、地面上树根到树顶端的距离（AC）与折断的树干部分（AB）构成直角三角形，其中∠C=90°，BC=7.根据勾股定理，即AB代入数值计算：AB2=42树折断前的高度为折断部分（AB）与未折断部分（BC）的长度和，即8.故答案为：A。【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题需先将实际场景转化为几何图形：大树折断后，未折断的树干垂直于地面，形成直角三角形的一条直角边，树顶端到树根的距离是另一条直角边，折断的树干是斜边。先利用勾股定理求出斜边（折断部分）的长度，再将斜边长度与未折断部分的长度相加，即可得到树折断前的总高度。15．【答案】C【解析】【解答】解：由作图可知：AD=AC=6，DE=BE，在Rt△ABC中，AB=A∴BD=AB−AD=10−6=4，BE=1故选：C．【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到AD=AC=6，DE=BE，在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB=10，由BD=AB−AD，BE=116．【答案】C【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，∵BO=8，AB=AO=5，∴OC=12BO=4，AC=A∴点A的坐标是：(−4故答案为：C.【分析】过点A作AC⊥OB于点C，根据等腰三角形的性质和勾股定理得OC=4，AC=3，进而即可求解．17．【答案】D【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF，∴①正确；∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°，∵DE⊥AB，∠EAD=30°，∴ED=1同理：DF=1∴DE+DF=AD，∴②正确；∵ED=DF，∴若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，∴③错误；如图所示：连接BD、DC，∵DM是BC的垂直平分线，∴DB=DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DFBD=DC∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴BE=FC，∴AB+AC=AE−BE+AF+FC=AE+AF，∵Rt△AED中，ED=12AD，Rt△AFD∴AE=AF=A∴AB+AC=AE+AF=3∴④正确；综上可知，正确的有①②④，故答案为：D.【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，可得③错误；连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到18．【答案】C【解析】【解答】解：∵DE⊥BC

∴∠DEC=90°

在Rt△ADC和Rt△CDE中，F是CD的中点

∴AF=12CD，EF=12CD

∴AF=EF

∴△AEF是等腰三角形，①正确

∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=3

∴AC=3

∵在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=1

∴BD=2DE=2

∵AB=3

∴AD=AB-BD=1

在Rt△ACD中，CD=AC2+AD2=2

∵F是CD的中点

∴AF=12CD=1

∴AD=AF，②正确

当D是AB中点时，BD=AD=故答案为：C【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得AF=12CD，EF=12CD，则AF=EF，根据等腰三角形判定定理可判断①；根据含30°角的直角三角形性质可得AC，BD，根据边之间的关系可得AD，根据勾股定理可得CD，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得AF，则AD=AF，可判断19．【答案】7【解析】【解答】在Rt△ABO中，由勾股定理可知OB=5，在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC=6，在Rt△OCD中，由勾股定理可知OD=7，∴OD2=7．故答案为7.【分析】根据勾股定理依次求得OB、OC、OD的长解答即可．20．【答案】91【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则斜边长为(10−x)尺，根据勾股定理得x2x2化简得9=100−20x，即20x=91，解得x=91即折断处离地面的高度为9120故答案为：9120【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则斜边长为(10−x)尺，根据勾股定理列方程解答即可．21．【答案】7.5【解析】【解答】解：设AC的长度为x米，则AB也为x米，

然后根据BE=1m，四边形DEFC为长方形，

∴DE=CF=4m，AE=AB+BE=(x+1)m，

∴AD=AE-DE=(x-3)m，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD2+CD2=AC2，

即(x-3)2+62=x2

解得x=7.5，即AC的长为7.5m，

故答案为7.5.

【分析】结合题意，设AC为x米，通过分析垂直高度变化及水平距离，构建直角三形，然后利用勾股定理，建立方程求解。22．【答案】（1）解：∵AB=AC,∴BD=DC=1在Rt△ABD中，AD=5（2）解：①过点P作PH⊥AD,PG⊥DC，设∵对称，∴△EDP≌△CDP,又∵∠ADC=90°，∴∠EDP=∠CDP=45°，∵∠EDP=∠CDP,∴PH=PG=x，∵S△ADC∴12∴12=4x+3x，解得x=12在等腰Rt△PDH中，则DP=12②连接EC，∵DB=DC,∴DB=DC=DE，∴∠DEC=∠DCE,∵△BEC内角和为180°，∴∠BED+∠DEC+∠EBD+∠DCE=180°，∴2∠BED+2∠DEC=180°，∴∠BED+∠DEC=90°，即∠BEC=90°，设AE=a,在Rt△BEC中，CE在Rt△AEC中，CE∴62−(5−a)∴EC=5∴S△AEC∵∠PEC=∠PCE,∴PA=PE,∴PA=PC，∴S△APE∴S△APE【解析】【分析】（1）根据三线合一得到BD=DC=3，然后根据勾股定理解答即可；（2）①过点P作PH⊥AD,PG⊥DC，设PH=x，根据角平分线的性质得到PH=PG=x，根据②连接EC，设AE=a,BE=5−a，在Rt△BEC和Rt△AEC中，根据勾股定理得到方程23．【答案】（1）解：已知云梯长AB=25m，底端离墙OB=7m，

根据勾股定理AO=AB（2）解：顶端下滑4m后，A'O=24-4=20m，

根据勾股定理O底端滑动的距离为BB'=OB'-OB=15-7=8m≠4m。因此，云梯底端在水平方向滑动的距离不是4m。【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AO长解答即可；

（2）根据下滑得到A'O的长，然后根据勾股定理求出OB'的长解答即可.24．【答案】D【解析】【解答】解：连接线段DE，并过点D作DF垂直于BC于点F，此时∠BFD和∠CFD均为90°。

已知BD是AC边上的中线且长度为3，因此点D是AC的中点。

由于AE垂直于BC且AC=2，根据直角三角形的性质可得DE=CD=12AC=1。

设BC的长度为a，BE的长度为b，则CE=a-b。

根据中点性质可得EF=FC=12CE=12(a-b)，

因此BF=BE+EF=12(a+b)。

在直角三角形BDF中，根据勾股定理：

DF2=BD2-BF2=32-a+b22

在直角三角形CDF中，同理可得：

DF2=CD2-CF2=12-a−b22

联立这两个方程得到：

32-a+b22=12-25．【答案】D【解析】【解答】解：延长ED到点G，使GD=DE，连接AG，FG，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD，又∵∠ADG=∠BDE，∴△ADG≌△BDE(SAS)，∴GD=ED，AG=BE，∠GAD=∠B，∵FE⊥GE，∴FD垂直平分GE，∴FG=FE，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∴∠GAD+∠CAB=∠GAC=90°，∵BE=12CF=7∴在Rt△GAF中，AG=BE=7，AF=AC+CF=AC+2BE=10+2×7=24，∴FG=A∴EF=FG=25．故答案为：D.【分析】延长ED到点G，使GD=DE，连接AG，FG，根据题意易证△ADG≌△BDE(SAS)，得到GD=ED，AG=BE，∠GAD=∠B，进而得到FD垂直平分GE，△GAF为直角三角形，然后由垂直平分线的性质可知FG=FE，最后利用勾股定理求得FG即可得到答案．26．【答案】10【解析】【解答】解：如图1，过点P作RS⊥AD于点R，交BC于点S，如图2，作PT⊥BC于点T，

∵∠GEB+∠BGE=90°，∠GEB+∠PES=90°

∴∠BGE=∠PES

又∵EG=EP，∠B=∠PSE

∴△BGE≌△SEP(AAS)

同理得△EPS≌△FPR≌△HFD，△BEG≌△TPE，△PMT≌△MHC，

设DH=a，DF=b，则PR=b，PS=b，BE=b，ES=a，

BC=a+b+a+b=2a+2b，CD=RS=2b，

而EM=CM得b=2a

SABCD=(2a+2b)2b=480，得a=25，b=45

GE=a2+b2=27．【答案】①②④【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC，OB=OD，①正确

∵EF⊥BD，OB=OD

∴EF是BD的垂直平分线

∴EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴∠FBO=∠EDO

在△FBO和△EDO中

∠FOB=∠EOD=90°OB=OD∠FBO=∠EDO

∴△FBO≌△EDO(ASA)

∴FB=ED

∴EB=ED=FB=FD

∴四边形BEDF是菱形，②正确

∵FA=FN=1，AB=3

∴FB=FA+AB=4，∠FNA=∠FMB，∠OAN=∠OCM

∴∠FBM=∠FMB

∴FM=FN=4

在△OAN和△OCM中

∠OAN=∠OCMOA=OC∠AON=∠COM

∴△OAN≌△OCM(ASA)

∴OM=ON

∴MN=2ON

∴FM=FN+MN=1+ON=4

∴ON=32

∴OF=FN+ON=52

在Rt△OBF中，OB=FB2−OF2=392

∴OD=OB=392，③错误

过点A作AH⊥BD与点H，连接PD

∴△ABH和△ADH都是直角三角形

∵FA=1，AB=3

∴FB=FA+AB=4

∵四边形BEDF是菱形

∴EB=ED=FB=FD=4

∵∠ABE=60°

∴△BEF是等边三角形

∴FE=FB=4，∠FBO=12∠ABE=30°

∴OE=OF=12EF=2

在Rt△OBF中，OB=FB2−OF2=23

∴OD=OB=23

∴BD=OD+OB=43

在Rt△ABH中，∠FBO=30°

∴AH=故答案为：①②④【分析】根据平行四边形性质可判断①；根据垂直平分线判定定理可得EF是BD的垂直平分线，则EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°，根据平行四边形性质可得AB∥CD，则∠FBO=∠EDO，根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则FB=ED，根据菱形判定定理可判断②；根据边之间的关系可判断FB，再根据角之间的关系可得∠FBM=∠FMB，根据等角对等边可得FM=FN=4，再根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则OM=ON，根据边之间的关系可得OF，再根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系可判断③；过点A作AH⊥BD与点H，连接PD，根据直角三角形判定定理可得△ABH和△ADH都是直角三角形，根据边之间的关系可得FB，根据菱形性质可得EB=ED=FB=FD=4，再根据等边三角形判定定理可得△BEF是等边三角形，则FE=FB=4，∠FBO=12∠ABE=30°，OE=OF=12EF=2，根据勾股定理可得OB，则28．【答案】（1）解：∵∠A=50°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°，∵BE,CD分别是∴∠ABE=∠CBE=1∴∠CBE+∠BCD=1∴∠CFE=∠CBE+∠BCD=65°；（2）①如下图，延长CD至点K，使得CK=BE，在△BCK和△CBE中，BC=CB∠BCK=∠CBE∴△BCK≌△CBE(SAS)，∴BK=CE，∠K=∠BEC，∵BD=CE，∴BD=BK，∴∠K=∠BDK=∠ADC=∠BEC，∵∠BEC+∠AEB=180°，∴∠ADC+∠AEB=180°，∴∠A+∠DFE=360°−180°=180°，∵∠CFE+∠DFE=180°，∠CFE=60°，∴∠A=∠CFE=60°；②BC=3如下图，延长FE至点G，使得FG=FC，连接CG，过点F作FH⊥BC，交BC于点H，∵∠CFE=60°，FG=FC，∴△CFG为等边三角形，∴∠G=∠CFE=∠FCG=60°,∵∠BCD=∠CBE，∴BF=CF=CG，∵∠A=∠G=60°，且∠BEC=∠A+∠DBF=∠G+∠ECG，∴∠DBF=∠ECG，在△DBF和△ECG中，BD=CE∠DBF=∠ECG∴△DBF≌△ECG(SAS)，∴DF=EG，∴BF=CF=FG=EG+EF=DF+EF，∵∠CFE=∠BCD+∠CBE=60°，且∠BCD=∠CBE，∴∠BCD=∠CBE=1∵FH⊥BC，BF=CF，∴BC=2BH，FH=1∴BH=B∴BC=2BH=2×3【解析】【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=130°，结合角平分线的定义可知∠CBE+∠BCD=1（2）①延长CD至点K，使得CK=BE，证明△BCK≌△CBE，由全等三角形的性质可得BK=CE，∠K=∠BEC，再证明BD=BK，进一步可知∠K=∠BDK=∠ADC=∠BEC，然后证明∠A+∠DFE=180°，进而确定∠A的度数；②延长FE至点G，使得FG=FC，连接CG，过点F作FH⊥BC，交BC于点H，易得△CFG为等边三角形，结合全等三角形的性质以及三角形外角的定义和性质证明△DBF≌△ECG，由全等三角形的性质可得DF=EG，易知BF=DF+EF，再证明BC=2BH，BH=329．【答案】（1）证明：∵EF⊥AD，AO=DO，

∴EF是线段AD的垂直平分线，

∴AE=ED，AF=DF，

在△AEF和△DEF中，

∵AE=EDAF=DFEF=EF，

（2）解：由（1）可知，AE=ED，AF=DF，

△BDE的周长=BD+DE+BE

=BD+AE+BE

=BD+AB

=x+a，

△DFC的周长=DC+CF+FD

=BC-BD+CF+AF

=BC-BD+AC

=a-x+a

=2a-x，

则△BDE的周长与△DFC的周长的差值为x+a-(2a-x)=x+a-2a+x=2x-a.（3）解：当∠BDE=90°时，如图所示，

∵△ABC是等边三角形，△AEF≌△DEF，

∴AE=DE，AF=DF，∠DFE=∠AFE，∠EAF=∠EDF=60°，

∵∠BDE=90°，

∴∠FDC=90°-∠EDF=30°，

∵∠FDC+∠C+∠DFC=180°，

∴∠DFC=180°-30°-60